11. Частотные критерии устойчивости Михайлова (2 стр. 26-27)

В основу частотных критериев исследования устойчивости САР положено следующее:

Если расположить корень р_i характеристического уравнения в комплексной плоскости и рассматривать вектор при измененииотдо, то каждый векторповернется на угол, если корень р_i расположен в правой части комплексной плоскости и на угол , если корень р_i расположен в левой части комплексной плоскости.

Таким образом, если принять, что k корней характеристического уравнения n-порядка имеют положительную вещественную составляющую, а (n-k) – отрицательную, то полином А(р)

(1)

при замене наи измененииотдополучит приращение аргумента:

. (*)

Для установившейся системы при изменении отдо, для неустановившейся .

Частотный критерий устойчивости Михайлова

Заменим в полиноме А(р) на, тогда:

, где U – вещественная часть полинома ,

V – мнимая часть полинома .

Функция называется характеристическим вектором.

На комплексной плоскости он может быть представлен в виде вектора. При изменении отдовекторсвоим концом опишет в комплексной плоскости кривую, которая называется годографом Михайлова или характеристикой кривой. Поскольку функцияявляется чётной функцией, а- нечётная, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси. Поэтому нет необходимости рассматривать весь годограф Михайлова, а достаточно рассмотреть лишь одну его часть, которая вычерчивает вектор при изменении отдо. Тогда из уравнения (*) следует, что для установившейся системы приращение аргумента векторапри измененииотдодолжно быть:

Полученное выражение и есть частотный критерий устойчивости Михайлова, в математической форме. Словами его можно выразить так:

САР устойчива тогда и только тогда, когда характеристический вектор при изменении от 0 допоследовательно обходит число квадратов, равное порядку характ-кого уравнения, нигде не обращается в нуль

12. Частотный критерий устойчивости Найквиста (2 стр. 28-29)

Критерий устойчивости Найквиста, основанный на использовании частотных характеристик, позволяет судить об устойчивости замкнутой САР по виду АФЧХ системы в разомкнутом состоянии.

Пусть дана система:

В разомкнутом состоянии передаточная функция системы:

Так как , то порядок полиномаи полиномаодинаков.

Для получения АФЧХ системы положим

,

где - АФЧХ замкнутой САР,

- АФЧХ разомкнутой САР.

1.Если САР в разомкнутом состоянии устойчива, то по критерию Михайлова

(так как порядок остается тем же), то есть в этом случае приращение аргумента вектора

при изменении равно

,

то есть устойчивое состояние означает, что годограф вектора не огибает начало координат комплексной плоскости.

Удобно рассматривать ту же кривую, но для вектора - поскольку годографесть АФЧХ разомкнутой системы, для этого, очевидно, нужно перенести мнимую ось вправо на 1.

Таким образом, критерий Найквиста может быть сформулирован следующим образом:

Если система регулирования устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) системы в разомкнутом состояниине охватывала точку с координатами.

2.Рассмотрим случай, когда система в разомкнутом состоянии неустойчива, то есть характеристическое уравнение имеетq корней, лежащих в правой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Если реальная система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет q корней в правой полуплоскости, то в замкнутом состоянии САУ устойчива, если АФЧХ САУ в разомкнутом состоянии раз охватывает в положительном направлении точку с координатами

3. В случае, когда САУ в разомкнутом состоянии имеет нулевых корней (интегрирующих звеньев) анализ устойчивости замкнутой САУ можно вести аналогично случаю устойчивой САУ в разомкнутом состоянии.

Если САУ в разомкнутом состоянии имеет нулевых корней, то замкнутая САУ устойчива, если АФЧХ в разомкнутом состоянии дополняется окружностью бесконечно большого радиуса, начинающейся с положительной полуоси и проходящей черезквадрантов, не огибает точку с координатами.