1) Рассмотрим зависимость срока окупаемости n* проекта (7.1) от его npv(I). Изменяя инвестиции I в проект, тем самым изменяем показатель npv(I) проекта.

Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Значит, инвестиции I в проект таковы, что . Следовательно, показатель NPV(i) = Ra_n,i – I будем рассматривать для значений . Тогда NPV(i)  . Учитывая равенство (7.4), имеем NPV(i) = Ra_n,i – I = Ra_n,i - Ra_n*,i = Ra_n,i - R . Отсюда несложно установить, что n^*(NPV(i)) - убывающая выпуклая функция, характер зависимости которой имеет вид:

Р ис. 1.7.14

Значения n^* n являются сроком окупаемости проекта. Заметим, что n^* n когда NPV(i) 0, что соответствует свойству 4 DPP. С увеличением NPV(i) срок окупаемости проекта уменьшается. На этом рисунке значению n^* = n, где n – срок проекта, соответствует NPV(i) = 0. Проекты с NPV(i) < 0 не имеют срока окупаемости, что подтверждает свойство 4 DPP, параграф 1.6.

2) Рассмотрим зависимость индекса доходности d проекта (7.1) от его npv(I) при заданных r, n, I. Изменяя инвестиции I в проект, тем самым изменяем показатель npv(I) проекта.

Имеем: = , где в общем случае NPV(i) .

Х арактер зависимости d(NPV(i)) имеет вид:

Рис. 1.7.15

С увеличением показателя NPV(i) проекта его индекс доходности растет. Значения индекса доходности d > 1 имеют проекты с NPV(i) > 0, что подтверждает свойство 4 показателя PI, параграф 1.6.

Замечание. Уточнить самостоятельно анализ зависимости d(NPV(i)) и рисунок, если предположить, что .

Таким образом, срок окупаемости уменьшается, а индекс доходности увеличивается при увеличении NPV(i) проекта. С учетом ранее рассмотренной зависимости показателей NPV(i) и IRR, можно утверждать, что с увеличением NPV(i) все показатели, включая сам показатель NPV(i), указывают на возрастание эффективности проекта. 

Связь срока окупаемости n^* и индекса доходности d установим при заданных R, n, i. Изменяя инвестиции в проект I, тем самым изменяем его срок окупаемости n^* (см. зависимость DPP от I).

Согласно определению индекса доходности и срока окупаемости, имеем: , Ra_n*,i = I. Тогда , где . Так как , , то ,

. Следовательно, d(n^*) – убывающая выпуклая функция на множестве . Так как , то < 1. Так как , то . График зависимости d(n^*) показан на рисунке:

Рис. 1.7.16

Значения n^* n являются сроком окупаемости проекта. С увеличением срока окупаемости проекта n^* его индекс доходности уменьшается, т.е. оба показателя указывают на снижение эффективности проекта (см. пример 7.1). При n^* = n, где n – срок проекта, d = 1 (свойство 3 показателя PI). Индекс доходности d > 1 тех проектов, которые имеют срок окупаемости n^*< n. И наоборот: проекты, не имеющие срока окупаемости (для этих проектов n^*> n), имеют d < 1. Таким образом, анализ зависимости d(n^*) приводит к ранее полученным выводам.

Рассмотренные в этом параграфе зависимости показателей эффективности от параметров проекта и связь показателей подтверждают согласованность показателей в оценке проекта, установленную в параграфе 1.6: если какой-либо из показателей изменяется и указывает, например, на повышение эффективности проекта по этому показателю, то и остальные показатели при этом изменяются так, что проект оценивается как более эффективный и по всем остальным показателям. И наоборот: снижение эффективности проекта по одному из показателей означает точно такой же вывод в отношении остальных показателей. Очевидно, что снижение эффективности по разным показателям происходит в разной мере. Окончательная оценка проекта – за лицом, принимающим решение о финансировании проекта.

Заметим, что здесь рассматривались лишь проекты с классической схемой инвестирования – сначала расходы, затем отдача. Проекты с неординарными денежными потоками и проблемы выбора проектов для реализации среди альтернативных рассмотрены в специальной литературе, например [5, 10].

119