2) Рассмотрим зависимость срока окупаемости n* проекта (7.1) от ставки дисконтирования I при заданных r, n, I. Здесь n* - точное значение срока окупаемости, удовлетворяющее определению.

Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Тогда ставка дисконтирования . Найдем все решения уравнения (7.4) для . Те из них, которые удовлетворяют условию n^* n, являются сроком окупаемости проекта.

Согласно определению срока окупаемости, Ra_n*,i = I. Тогда a_n*,i = . Дифференцируем это выражение по i: . Отсюда . Так как , то . С другой стороны, так как , то . Следовательно, . Кроме того, . Из (7.7) находим . График зависимости n^* от ставки дисконтирования i показан на рисунке:

Рис. 1.7.9

Если параметры R, n, I таковы, что I > nR, то проект не имеет срока окупаемости, так как все значения n^* > n. Если же R, n, I удовлетворяют условию I < nR, проект имеет срок окупаемости. В этом случае существуют значения n^* n. Одновременно условие I < nR означает положительное значение показателя IRR проекта. С увеличением ставки дисконтирования i срок окупаемости проекта растет. При i = r, где r - значение показателя IRR проекта, срок окупаемости n^* = n (см. свойство 2 срока окупаемости, параграф 1.6). Срок окупаемости имеют те проекты, для которых i r, так как для этих проектов n^* n. Значениям ставки дисконтирования i > r соответствуют n^* > n. Это означает то, что при i > r проект не имеет срока окупаемости. Этот результат соответствует свойству 5 DPP (параграф 1.6).

Как уже отмечалось, в ходе реализации проекта ставка дисконтирования может измениться. При увеличении i срок окупаемости проекта может превысить ограничение по этому показателю, если оно существует, и проект может оказаться неприемлем. В примере 6.5 уже рассматривалось влияние увеличения ставки дисконтирования на оценку проекта. Увеличение ставки дисконтирования на 1 % привело к тому, что проект стал убыточным и перестал иметь срок окупаемости.

3) Для проекта (7.1) рассмотрим зависимость показателя pi от ставки дисконтирования I при заданных r, n, I.

Согласно определению индекса доходности, для проекта (7.1) значение показателя PI равно:

.

При заданных значениях R, n, I зависимость показателя PI от ставки дисконтирования i определяется зависимостью коэффициента дисконтирования годовой ренты a_n,i от i (рассмотрена в параграфе 1.5). Имеем:

.

Рис. 1.7.10

С увеличением ставки дисконтирования i индекс доходности проекта уменьшается. При i = r, где r - значение показателя IRR проекта, индекс доходности d = 1 (см. свойство 2 индекса доходности, параграф 1.6). Если i < r , то d > 1 – проект прибыльный; значениям i > r соответствуют d < 1, что означает убыточность проекта. Эта зависимость согласуется с ранее установленной зависимостью NPV(i) от i (рис. 22).

Пример 7.2. Рассмотрим влияние ставки дисконтирования на показатели эффективности проекта А(-100,-20,20,20,80,50,10,20) из примера 7.1. Его показатель IRR = 13,3%.

i	11%	11,5%	12%	12,5%	13%	13,5%
NPV(i)	10,2	7,9	5,6	3,5	1,3	-0,7
DPP	6 (5,95)	7 (6,14)	7 (6,34)	7 (6,56)	7 (6,78)	нет
PI	1,086	1,067	1,048	1,029	1,011	0,994

В скобках в третьей строке указаны точные значения срока окупаемости. Получены из предположения о непрерывном и равномерном поступлении дохода в течение того года, когда сумма ΣR_k/(1+i)^k изменяет знак, с постоянной годовой интенсивностью, равной величине платежа за этот год. Например, во 2-м - 4-м столбцах точное значение n^* найдено из уравнения NPV_n*(i) = 0 (см. свойство 3 DPP), или

= 0.

Итак, зависимость показателей эффективности от ставки дисконтирования i следующая: NPV(i), PI – убывающие функции, DPP – возрастающая функция i. Следовательно, при возрастании i все показатели указывают на снижение эффективности проекта. В отношении показателя IRR можно сказать, что при этом уменьшается резерв безопасности проекта, характеризуемый величиной IRR – i. Значит, ставку дисконтирования желательно минимизировать, особенно в случае, если проект финансируется за счет заемных средств.