3) Рассмотрим зависимость индекса доходности d от срока n проекта (7.1) при заданных I, r, I. Будем считать, что параметры I, r, I проекта таковы, что выполняется условие (7.6): .

Согласно определению, индекс доходности проекта (7.1) рассчитывается по формуле (7.5). Тогда

= ,

где . Отсюда

.

Характер зависимости d(n) показан на рисунке:

Рис. 1.7.3

С увеличением срока проекта (7.1) его показатель PI возрастает, приближаясь к значению PI проекта, поток доходов которого – вечная рента. Значению d = 1 соответствует срок проекта n = n^*, где n^* - срок окупаемости проекта (свойство 3 PI, параграф 1.6). Если n > n^*, то проект имеет срок окупаемости, при этом d > 1. При n < n^* проект не имеет срока окупаемости, его индекс доходности d < 1.

Заметим, что условие (7.6) обеспечило существование проектов, индекс доходности которых d 1.

Итак, показатели NPV(i), IRR, PI возрастают при увеличении срока проекта (7.1). При этом срок окупаемости проекта существует, когда его NPV(i) 0, PI  1, а следовательно, IRR i (см свойство 5 PI, параграф 1.6), т.е. когда все остальные показатели указывают на приемлемость проекта. Заметим, что неравенство (7.6) при условии, что срок проекта n n^*, обеспечивает приемлемость проекта по всем показателям, что также подчеркивает согласованность показателей в оценке проекта.

Замечание. Чем более протяжен во времени проект, тем более тщательная оценка требуется для членов денежного потока последних лет реализации проекта. Здесь инвестиционный проект рассматривается в условиях определенности, когда поступление платежей точно в срок и в полном объеме считается гарантированным.

Зависимость показателей эффективности от величины вложенных инвестиций I рассмотрим, считая заданными срок проекта n, размеры поступающих платежей R и ставку дисконтирования i.

1) Увеличение инвестиций в проект влечет уменьшение его irr (формула 6.14). Рассмотрим подробнее зависимость показателя irr проекта (7.1) от величины инвестиций I.

Уравнение NPV(r) = 0 для проекта (7.1) имеет вид: I = Ra_n,r, где . Так как , , то , . Значит, r(I) – убывающая выпуклая функция на множестве значений I . Если , то ; если r = 0, то I = nR; если , то . График зависимости r(I) показан на рисунке:

Рис. 1.7.4

С увеличением инвестиций I доходность проекта r уменьшается. При I > nR доходность отрицательна, r < 0, проект заведомо убыточен. На этом рисунке значению r = i, где i – ставка дисконтирования проекта, соответствует максимальный уровень затрат I_max, при котором проект не является убыточным. Действительно, NPV(r = i) = 0, откуда I_max = Ra_n,i. Если I > I_max , то r < i , что означает убыточность проекта (см. свойство 3 IRR, параграф 1.6). И наоборот, значениям I < I_max соответствуют r > i, при которых проект является прибыльным.

Замечание. Если исходить из того, что инвестиции в проект не могут превышать стоимости вечной ренты, т.е. выполняется условие (7.6): , тогда анализ функции r(I) требует уточнения. Рекомендуется рассмотреть это самостоятельно.

2) Чистая современная стоимость проекта (7.1) рассчитывается по формуле:

NPV(i) = Ra_n,i – I .

Определим множество значений показателя. Если считать, что I при заданных R, n, i, то NPV(i)  . Если предполагается, что , то NPV(i)  , где < 0.