5. Некоторые двухвыборочные задачи

На практике часто встречается случай, когда средний результат одной серии экспериментов отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос, является ли обнаруженное расхождение средних статистически значимым– можно ли объяснить его случайными ошибками или же оно имеет закономерное значение. В промышленности задача сравнения средних часто возникает при контроле качества продукции, изготовленной при различных технологических режимах.

Задача сравнения средних решается различно в зависимости от того, являются ли известными дисперсии двух совокупностей (и если они известны – то в зависимости от того, равны ли они). Очевидно, что значимость различия средних зависит от дисперсий генеральных совокупностей – малость различия в сравнении со стандартным отклонением указывает на его незначимость. Однако тогда, когда генеральные средние оцениваются по результатам эксперимента (т.е. заменяются выборочными средними), то различие между средними может быть значимым даже в том случае, если оно мало по сравнению со стандартным отклонением (указанная ситуация имеет место для выборок большого объема). Именно по этой причине «количественной характеристикой» различия между средними является стандартная ошибка– частное от деления стандартного отклонения на корень квадратный из объема выборки (следует вспомнить, что дисперсия среднего изnнезависимых слагаемых вnраз меньше дисперсии каждого из них).

1. Проверка гипотезы о равенстве средних: случай известных и равных дисперсий

Наиболее просто задача сравнения генеральных средних ирешается в том случае, если дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки

,,,

известны и равны и, соответственно. Тогда можно принять, что выборочные средниеиподчинены нормальным распределениями– распределениям с плотностью

,.

Пусть проверяется гипотеза H₀о равенстве генеральных средних. В случае справедливости этой гипотезы случайная величина, равная разностивыборочных средних, подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием

и дисперсией

.

В последнем соотношении слагаемые в правой части представляют собой ни что иное, как квадраты соответствующих стандартных ошибок.

Так как неслучайный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

,

то связанная с разностью выборочных средних статистика

подчинена стандартному нормальному закону .

Пусть в качестве конкурирующей гипотезы выбрана гипотеза H₁, состоящая в том, что для генеральных средних имеет место неравенство

.

Тогда критическое событие Aсостоит в том, что случайная величина, подчиненная стандартному нормальному закону, окажетсяне принадлежащей интервалу. Вероятность этого события

,

где – функция Лапласа,^– функция стандартного нормального распределения.

Если вероятность оказывается меньше заранее заданного уровня значимости, то гипотезаH₀о равенстве генеральных средних отвергается.

2. Проверка гипотезы о равенстве средних: случай неизвестных равных дисперсий

Пусть дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки инеизвестны (но предполагаются равными). Решение задачи сравнения генеральных средних начинается с вычислениясмешаннойоценки дисперсии разности выборочных средних:

.

После этого находится эмпирическое значение статистики

.

(5.26)

Статистика ( 5 .26) подчинена распределению Стьюдента с степенями свободы. При альтернативевероятность критического события находится по формуле

,

где

– бета-функция.

Зависимость вероятности критического события от значения модуля статистики tдля выборок объемомприведена на рис. 5 .4.

Рис. 5.4. Вероятность критического события в задаче сравнения генеральных средних

Если вероятность оказывается меньше заранее заданного уровня значимости, то гипотезаH₀о равенстве генеральных средних отвергается в пользу альтернативы.