4. Гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности

Одной из наиболее распространенных одновыборочныхзадач является проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

При использовании -статистикипосле построения непрерывного вариационного ряда вычисляется значение статистики (случайной величины, связанной с опытными данными):

,

(4.24)

где n– объем выборки (как правило – не менее 200);l– число разрядов непрерывного вариационного ряда (не менее 8);n_j– частота;p_j– вероятность, найденная расчетом по нормальной кривой, выравнивающей выборку:

,.

(4.25)

В последнем соотношении – оценка математического ожидания,s– оценка среднего квадратичного отклонения,– функция Лапласа (или функция стандартного нормального распределения).

Статистика ( 4 .24) подчинена -распределению с числом степеней свободы. С учетом этого ищется вероятность критического события, состоящего в том, что для выборки из нормально распределенной генеральной совокупности истинное (неизвестное) значение статистики окажется столь же большим (большим или равным), как и наблюдаемое на опыте значение. Если указанная вероятность близка к нулю (меньше выбранного уровня значимости), то нулевая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается.

Вместо нахождения вероятности критического события можно сравнить найденное значение статистики ( 4 .24) с квантилью распределения длястепеней свободы и выбранного уровня значимости. При выполнении неравенства

считают, что на уровне значимости нет оснований отвергать нулевую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности (вновь отметим, чтоистинностьгипотезы этим не доказывается!).

1. Использование средствMsExcelдля проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Пусть требуется проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, из которой извлечена выборка с объемом 1000. Пусть варианты помещены в первый столбец рабочего листа (ячейкиA1:A1000).

Для нахождения оценок среднего и стандартного отклонения, а также для построения непрерывного вариационного ряда можно воспользоваться пакетом анализа.

Из меню СервисвыбратьАнализ данных, далее –Описательная статистика. Входной интервал –$A$1:$A$1000; верхняя левая ячейка выходного интервала$B$1. Установить флагИтоговая статистика.

Для данной выборки минимальное и максимальное значения оказались равными –277 и 302 соответственно, поэтому в качестве границ первого и последнего разрядов можно выбрать –280 и 310:

Так как , то число разрядов можно взять равным 10. Тогда длина разряда

.

В столбце Dвведем равномерную сетку от–280до310с шагом59(можно воспользоваться средствами автозаполнения: ввести в ячейкуD1значение–280, в ячейкуD2– формулу=D1+59, выделить ячейкиD1:D2и переместить маркер автозаполнения до ячейкиD11).

Для построения непрерывного вариационного ряда из меню Сервисследует выбратьАнализ данных, далее –Гистограмма. Входной интервал –$A$1:$A$1000; границы разрядов –$D$1:$D$11; верхняя левая ячейка выходного интервала$E$1.

Найдем вероятности p_j,, соответствующие нормальной кривой, выравнивающей выборку. Для каждой из одиннадцати границx_j,можно вычислить значение

,

соответствующее «стандартному» положению разрядов. В ячейку G2следует ввести формулу

=(E2-$C$3)/$C$7

и переместить маркер автозаполнения до ячейки G12(обратить внимание – запись ссылок$C$3и$C$7на ячейки, содержащие среднее и оценку стандартного отклонения, говорит о том, что эти ссылкине следует изменять в процессе автозаполнения).

Для нахождения вероятностей p_jпоместим в ячейкуH3формулу

=НОРМСТРАСП(G3)-НОРМСТРАСП(G2)

и переместим маркер автозаполнения до ячейки H12.

Вычислим сумму

.

В ячейку I3введем

=(F3-$C$15*H3)^2/H3

и переместим маркер автозаполнения до ячейки I12.

После этого в ячейку I13 введем

=СУММ(I3:I12)/$C$15

Число разрядов , поэтому число степеней свободы‑распределения равно. Для вычисления вероятности критического события, состоящего в том, что значение случайной величины, подчиненной‑распределению, окажется столь же большим, как и наблюдаемое на опыте значение, в ячейкуI14введем

=ХИ2РАСП(I13;7)

Окончательный результат:

Пусть уровень значимости выбран равным . Так как, то на данном уровне значимости гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности не противоречит опытным данным.