1). Абсолютный прирост (сокращение) – характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени:

а) цепной – ;

б) базисный.

где - уровень сравниваемого периода;

- уровень предыдущего периода;

- уровень базисного периода.

2). Коэффициент роста (снижения) – показывает во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение. Для оценки интенсивности, т.е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой – либо период времени исчисляют темпы роста (снижения) – всегда положительное число.

а) цепной;

б) базисный ..

3). Темп прироста (сокращения) – дает относительную оценку скорости измерения уровня ряда в единицу времени.

а) цепной ;

б) базисный .

4) Абсолютное значение одного процента прироста – показывает, что скрывается за каждым процентом прироста:

,

5) Средний абсолютный прирост – представляет обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики.

а) по цепным данным – средняя арифм. простая

, где n – число цепных абсолютных приростов () в изучаемом периоде.

б) по накопленному (базисному) абс. приросту, для равных интервалов:

, где m – число уровней ряда динамики в изучаемом периоде, включая базисный.

Таблица 16.2

Год	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Площадь млн.м2	17	18	19	20	21	20	22	23
Абсолютный  прирост, млн.р
цепные	-	1	1	1	1	-1	2	1
базисные	-	1	2	3	4	3	5	6
Темпы роста %
цепные	-	105,88	105,56	105,26	105,00	95,24	110,00	104,55
базисные	100,00	105,88	111,76	117,65	123,53	117,65	129,41	135,29
Темпы прироста%
цепные	-	5,88	5,56	5,26	5,00	-4,76	10,00	4,55
базисные	0,00	5,88	11,76	17,65	23,53	17,65	29,41	35,29
Абс. знач. 1% прироста, млн. м2	-	0,17	0,18	0,19	0,2	0,21	0,2	0,22
Средний абсолютный прирост (цепной)	0,86
Средний абсолютный прирост (базисный)	3,43

Исходя  из полученных данных можно сделать  вывод о положительной 

динамике показателей, в среднем абсолютный прирост каждый год составляет 0,86 млн. м² . В сравнении с 1996 г. В 2003г. достиг максимального прироста в 6 млн.р

До 2001г. каждый год наблюдается стабильный рост показателей вводимого жилья, в 2001 году в связи с кризисом наблюдается резкое падение (-4,76%), но в 2002 начинается резкий рост (+10%).

В сравнении  с 1996 г. каждый год дает рост значений, кроме 2001 и в 2003 г достигает 35,29%, что оценивается положительно. 

Пример 6.2. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие в таблице базисные показатели динамики по следующим данным о производстве часов в регионе за 1995 – 2003 гг.:

Таблица 17

Год	Производство часов, млн. шт.	Базисные показатели динамики
		Абсолютный прирост, млн. шт.	темп роста, %	темп прироста, %
1995	55,1	–	100,0	-
1996		2,8
1997			110,3
1998				14,9
1999				17,1
2000			121,1
2001		13,5
2002				25,4
2003		14,0

Решение:

Для упрощения расчета добавим в таблицу 17 столбец i , и сформируем таблицу 17.2. Результаты последующих расчетов будем заносить в нее.

Таблица 17.2

i	Год	Производство часов, млн. шт.	Базисные показатели динамики
			Абсолютный прирост, млн. шт.	темп роста, %	темп прироста, %
0	1995	55,10	–	100,00	-
1	1996	57,90	2,80	105,08	5,08
2	1997	60,78	5,68	110,30	10,30
3	1998	63,31	8,21	114,90	14,90
4	1999	64,52	9,42	117,10	17,10
5	2000	66,73	11,63	121,10	21,10
6	2001	68,60	13,50	124,50	24,50
7	2002	69,10	14,00	125,40	25,40
8	2003	69,10	14,00	125,41	25,41

1. y₁ найдем используя формулу ,

тогда y₁ = y₀ +∆^б_y1= 55,1 + 2,8 = 57,9

Далее по формуле определим темп роста

= 57,9/55,1*100 = 105,08

Темп прироста определяем из :

Т^б_пр1 = 105,08 – 100 =5,08 Т^б_пр2 = 110,3 – 100 =10,3

2. y₂ найдем используя формулу

y₂ = Т^б_р2*y₀/100 = 10,3*55,1/100 = 60,78

тогда ∆^б_y2 = y₂ - y₀ = 60,78- 55,1 = 5,68

3. определим темп роста Т^б_р3 = Т^б_пр3 +100 = 14,9+100 = 114,9

y₄ = Т^б_р4*y₀/100 = 114,9*55,1/100 = 63,31

тогда ∆^б_y4 = y₄ - y₀ = 63,31- 55,1 = 8,21

4. определим темп роста Т^б_р4 = Т^б_пр4 +100 = 17,1+100 = 117,1

y₄ = Т^б_р4*y₀/100 = 117,1*55,1/100 = 64,52

тогда ∆^б_y4 = y₄ - y₀ = 64,52- 55,1 = 9,42

5. определим y₅ = Т^б_р5*y₀/100 = 121,1*55,1/100 = 66,73

тогда ∆^б_y5= y₅ - y₀ = 66,73- 55,1 = 11,63

и темп прироста

Т^б_пр5 = 121,1 – 100 =21,1

6. y₆ найдем используя формулу ,

тогда y₆ = y₀ +∆^б_y6= 55,1 + 13,5 = 68,6

Далее по формуле определим темп роста

= 68,6/55,1*100 = 124,50

и темп прироста

Т^б_пр6 = 124,50 – 100 =24,5

7. определим темп роста Т^б_р7 = Т^б_пр7 +100 = 25,4+100 = 125,4

y₇ = Т^б_р7*y₀/100 = 125,4*55,1/100 = 69,1

тогда ∆^б_y7= y₇ - y₀ = 69,1- 55,1 = 14,0

8. тогда y₈ = y₀ +∆^б_y8= 55,1 + 14,0 = 69,1

= 69,1/55,1*100 = 125,4

Пример 6.3. Имеются условные данные о розничном товарообороте во всех каналах реализации в регионе, млрд. руб. (таблица 18).

Таблица 18

Месяц	2001	2002	2003
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	7,4 7,9 8,7 8,2 7,9 8,2 8,3 8,8 8,7 8,8 8,3 9,0	7,8 8,2 9,2 8,6 8,3 8,7 8,8 9,3 8,9 8,2 8,8 9,5	8,3 8,6 9,7 9,1 8,8 9,1 9,3 9,9 9,3 9,9 9,8 9,3

Для изучения общей тенденции розничного товарооборота региона по месяцам за 2001-2003 гг. произведите:

1) преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени: а) в квартальные; б) в годовые уровни;

2) сглаживание квартальных уровней розничного товарооборота с помощью скользящей средней.

Изобразите графически фактические и сглаженные уровни ряда динамики.

Сделайте выводы о характере общей тенденции розничного товарооборота во всех каналах реализации в регионе.

Решение:

1. Метод укрупнения интервалов ‑ это когда периоды исходного ряда динамики преобразуются в более продолжительные периоды (например, месячные периоды преобразуются в квартальные, квартальные в годовые и т.д.). Укрупнение интервалов при осреднении сглаживает сильные колебания уровней более коротких периодов и тренд становится более заметным.

При этом

а) при расчете средней за квартал используем формулу:

,

где y₁, y₂, y₃ – порядковые номера месяцев в квартале

б) при расчете средней за год используем формулу:

,

где y₁, y₂, …, y₁₂ – порядковые номера месяцев в году

Результаты расчетов поместим в таблицу 18.2

Таблица 18.2

Месяц	Годы
	2001	Для интервала	2002	Для интервала	2003	Для интервала
Январь	7,4		7,8		8,3
Февраль	7,9		8,2		8,6
Март	8,7		9,2		9,7
Сумма за квартал		24		25,2		26,6
Средняя за месяц		8		8,4		8,87
Апрель	8,2		8,6		9,1
Май	7,9		8,3		8,8
Июнь	8,2		8,7		9,1
Сумма за квартал		24,3		25,6		27
Средняя за месяц		8,1		8,53		9
Июль	8,3		8,8		9,3
Август	8,8		9,3		9,9
Сентябрь	8,7		8,9		9,3
Сумма за квартал		25,8		27		28,5
Средняя за месяц		8,6		9		9,5
Октябрь	8,8		8,2		9,9
Ноябрь	8,3		8,8		9,8
Декабрь	9		9,5		9,3
Сумма за квартал		26,1		26,5		29
Средняя за месяц		8,7		8,83		9,67
Сумма за год	100,2		104,3		111,1
Средняя за год	8,35		8,69		9,26

2. Произведем сглаживание квартальных уровней розничного

товарооборота с помощью скользящей средней.

Метод скользящей средней, когда вместо каждого уровня ряда динамики исчисляются средние из уровней рядом стоящих периодов. Они сглаживают случайные колебания. При исчислении каждой следующей скользящей средней слева один член ряда динамики отбрасывается, а справа - прибавляется

, и т.д.

Занесем данные, полученные таким методом в таблицу 18.3

Таблица 18.3

Месяц	Годы
	2001	За квартал	2002	За квартал	2003	За квартал
Январь	7,4		7,8		8,3
Февраль	7,9		8,2		8,6
Март	8,7		9,2		9,7
Сумма		24		25,2		26,6
Скользящая средняя		-		-		-
Апрель	8,2		8,6		9,1
Май	7,9		8,3		8,8
Июнь	8,2		8,7		9,1
Сумма		24,3		25,6		27
Скользящая средняя		24,7		25,93		27,37
Июль	8,3		8,8		9,3
Август	8,8		9,3		9,9
Сентябрь	8,7		8,9		9,3
Сумма		25,8		27		28,5
Скользящая средняя		25,4		26,37		28,17
Октябрь	8,8		8,2		9,9
Ноябрь	8,3		8,8		9,8
Декабрь	9		9,5		9,3
Сумма		26,1		26,5		29
Скользящая средняя		-		-		-

Построим графики фактических и сглаженных уровней ряда динамики.

Рис. 1. График тенденции розничного товарооборота региона по месяцам за 2001-2003 гг

Рис. 2. График тенденции месячного розничного товарооборота региона в среднем по кварталам за 2001-2003 гг

Рис. 3. График тенденции квартального розничного товарооборота региона по кварталам, по методу скользящей средней, за 2001-2003 гг.

Исходя из графиков можно сделать вывод, что тенденция роста товарооборота для 2001 и 2003 г. была в среднем одной и той же. А для 2002 г. рост товарооборота снизился в 4-ом квартале.

Тренды графика на рис. 3 показывают, что наиболее сильно рост товарооборота проявился в 2003 г.

Изучение тенденции развития явления

Пример 7.1. Используя метод приведения параллельных данных, установите направление и характер связи между основными фондами в экономике по полной балансовой стоимости, на конец года и объемом промышленной продукции по 18 областям Центрального федерального округа в 2003 г.:

Таблица 22

Номер области	Основные фонды в экономике, на конец года, млрд. руб.	Объем промышленной продукции, млрд. руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18	145,8 113,4 129,3 211,6 84,6 105,3 83,7 124,5 129,1 659,7 64,4 110,2 125,2 111,6 175,9 156,6 185,4 1349,7	41,4 14,5 36,0 33,1 14,4 22,1 13,3 26,1 61,2 137,5 13,9 22,9 27,0 12,6 28,9 45,6 45,5 224,3

Решение:

Метод параллельных рядов заключается в том, что полученные в результате сводки и обработки материалы располагают в виде параллельных рядов и сопоставляют их между собой для установления характера и тесноты связи.

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции, которые, давая количественную характеристику тесноты связи между признаками, позволяют определять «полезность» факторных признаков при построении уравнения множественной регрессии.

Рассчитаем параметры парной линейной регрессии.

Для этого построим таблицу 22.2

Таблица 22.2

Номер области	Основные фонды в экономике, на конец года, млрд. руб. (x)	Объем промышленной продукции, млрд. руб. (y)	x2	y*x	y2
1	145,8	41,4	21257,64	6036,12	1713,96
2	113,4	14,5	12859,56	1644,30	210,25
3	129,3	36	16718,49	4654,80	1296
4	211,6	33,1	44774,56	7003,96	1095,61
5	84,6	14,4	7157,16	1218,24	207,36
6	105,3	22,1	11088,09	2327,13	488,41
7	83,7	13,3	7005,69	1113,21	176,89
8	124,5	26,1	15500,25	3249,45	681,21
9	129,1	61,2	16666,81	7900,92	3745,44
10	659,7	137,5	435204,09	90708,75	18906,25
11	64,4	13,9	4147,36	895,16	193,21
12	110,2	22,9	12144,04	2523,58	524,41
13	125,2	27	15675,04	3380,40	729
14	111,6	12,6	12454,56	1406,16	158,76
15	175,9	28,9	30940,81	5083,51	835,21
16	156,6	45,6	24523,56	7140,96	2079,36
17	185,4	45,5	34373,16	8435,70	2070,25
18	1349,7	224,3	1821690,09	302737,71	50310,49
∑	4066	820,3	2544180,96	457460,06	85422,07
Среднее	225,8888889	45,57222222		25414,44778

Выборочные средние.

= 4066/18 = 225,88; = 820,3/18 = 45,57;

= 457460,06/18 = 25414,44

Среднеквадратическое отклонение :

= 300,53

= 51,66

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле: 0,9738

Тогда

0,17x + 7,76

Линейное уравнение регрессии имеет вид: y = bx + a

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: a = 7.76, b = 0.17

Приводим линейное уравнение регрессии имеет к виду

y = 0.17 x + 7.76

Коэффициент регрессии b = 0.17 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением основные фондов в экономике на 1 млрд. руб. объем промышленной продукции повышается в среднем на 0.17 млрд. руб.

Коэффициент a = 7.76 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.

Пример 7.2. Имеются следующие данные по строительной фирме об объеме выполненных работ по месяцам 2001-2003 гг. по сметной стоимости, млн. руб.:

Таблица 23

Месяц	2001	2002	2003
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8 3,2 3,3 3,2 2,9 2,7 2,5	2,0 2,1 2,4 2,6 2,8 3,0 3,3 3,5 3,3 3,1 2,7 2,5	2,2 2,4 2,8 2,9 3,1 3,2 3,4 3,4 3,0 3,2 3,2 3,0
Итого за год	31,2	33,3	35,8

Для анализа внутригодовой динамики объема выполненных работ в строительстве:

а) определите объем выполненных работ по месяцам, используя периодическую функцию ряда Фурье по первой и второй гармоникам;

б) сравните полученные результаты путем расчета сумм квадратов отклонений исходных и выровненных данных;

в) вычислите индексы сезонности как отношение выровненных уровней объема выполненных работ по месяцам к среднегодовому;

г) постройте график сезонной волны.

Решение:

В качестве аналитической формы сезонной волны применя­ется уравнение следующего вида:

где — степень точности гармоники тригонометрического много­члена;

— время.

Это уравнение представляет собой ряд Фурье, где время выража­ется в радиальной мере или в градусах:

Месяцы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Радиальная мера	0
Градусы	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	320
Уровни

При уравнение Фурье будет иметь вид:

Параметры уравнения выровненных уровней, определяемых рядом Фурье, находят по способу наименьших квадратов. Параметры уравнения ряда Фурье определяются следующим образом:

Для их расчета составим таблицы 23.2, 23.3 и 23.4, в которые внесем рассчитанные значения у*Cos(t), у*Sin(t), у*Cos(2t), у*Sin(2t)

Таблица 23.2 (2001 г.)

Месяц	yi	t	y*Cos(t)	y*sin(t)	y*Cos(2t)	y*sin(2t)	yt	[y-y(t)]^2
Январь	1,6	1	1,60	0,00	1,60	0,00	1,89	0,0842
Февраль	1,8	2	1,56	0,90	0,90	1,56	1,84	0,0017
Март	2,2	3	1,10	1,91	-1,10	1,91	2,04	0,0241
Апрель	2,4	4	0,00	2,40	-2,40	0,00	2,37	0,0011
Май	2,6	5	-1,30	2,25	-1,30	-2,25	2,67	0,0051
Июнь	2,8	6	-2,42	1,40	1,40	-2,42	2,91	0,0117
Июль	3,2	7	-3,20	0,00	3,20	0,00	3,09	0,0114
Август	3,3	8	-2,86	-1,65	1,65	2,86	3,23	0,0056
Сентябрь	3,2	9	-1,60	-2,77	-1,60	2,77	3,24	0,0015
Октябрь	2,9	10	0,00	-2,90	-2,90	0,00	3,05	0,0226
Ноябрь	2,7	11	1,35	-2,34	-1,35	-2,34	2,66	0,0014
Декабрь	2,5	12	2,17	-1,25	1,25	-2,17	2,21	0,0850
Итого за год	31,2		-3,61	-2,05	-0,65	-0,09	31,20	0,26

Для 2001 г.:

Тогда уравнение Фурье будет примет вид:

Внесем рассчитанные и выровненные значения y_t в таблицу 23.2

Сравним полученные результаты путем расчета сумм квадратов отклонений исходных и выровненных данных по формуле:

Таблица 23.3 (2002 г.)

Месяц	yi	t	y*Cos(t)	y*sin(t)	y*Cos(2t)	y*sin(2t)	y(t)	[y-y(t)]^2
Январь	2	1	2,00	0,00	2,00	0,00	2,13	0,0158
Февраль	2,1	2	1,82	1,05	1,05	1,82	2,14	0,0017
Март	2,4	3	1,20	2,08	-1,20	2,08	2,33	0,0055
Апрель	2,6	4	0,00	2,60	-2,60	0,00	2,58	0,0006
Май	2,8	5	-1,40	2,42	-1,40	-2,42	2,83	0,0006
Июнь	3	6	-2,60	1,50	1,50	-2,60	3,06	0,0036
Июль	3,3	7	-3,30	0,00	3,30	0,00	3,27	0,0007
Август	3,5	8	-3,03	-1,75	1,75	3,03	3,41	0,0082
Сентябрь	3,3	9	-1,65	-2,86	-1,65	2,86	3,37	0,0055
Октябрь	3,1	10	0,00	-3,10	-3,10	0,00	3,12	0,0006
Ноябрь	2,7	11	1,35	-2,34	-1,35	-2,34	2,73	0,0006
Декабрь	2,5	12	2,17	-1,25	1,25	-2,17	2,34	0,0257
Итого за год	33,3		-3,45	-1,64	-0,45	0,26	33,30	0,07

Для 2002 г.:

Тогда уравнение Фурье будет примет вид:

Внесем рассчитанные и выровненные значения y_t в таблицу 23.2

Сравним полученные результаты путем расчета сумм квадратов отклонений исходных и выровненных данных по формуле:

Для 2003 г.:

Тогда уравнение Фурье будет примет вид:

Таблица 23.4 (2003 г.)

Месяц	yi	t	y*Cos(t)	y*sin(t)	y*Cos(2t)	y*sin(2t)	y(t)	[y-y(t)]^2
Январь	2,2	1	2,20	0,00	2,20	0,00	2,51	0,0962
Февраль	2,4	2	2,08	1,20	1,20	2,08	2,41	0,0002
Март	2,8	3	1,40	2,42	-1,40	2,42	2,59	0,0452
Апрель	2,9	4	0,00	2,90	-2,90	0,00	2,92	0,0002
Май	3,1	5	-1,55	2,68	-1,55	-2,68	3,19	0,0088
Июнь	3,2	6	-2,77	1,60	1,60	-2,77	3,30	0,0101
Июль	3,4	7	-3,40	0,00	3,40	0,00	3,27	0,0161
Август	3,4	8	-2,94	-1,70	1,70	2,94	3,24	0,0271
Сентябрь	3	9	-1,50	-2,60	-1,50	2,60	3,25	0,0605
Октябрь	3,2	10	0,00	-3,20	-3,20	0,00	3,23	0,0012
Ноябрь	3,2	11	1,60	-2,77	-1,60	-2,77	3,09	0,0122
Декабрь	3	12	2,60	-1,50	1,50	-2,60	2,80	0,0402
Итого за год	35,8		-2,29	-0,96	-0,55	-0,78	35,80	0,32

Внесем рассчитанные и выровненные значения y_t в таблицу 23.2

Сравним полученные результаты путем расчета сумм квадратов отклонений исходных и выровненных данных по формуле:

Сведем данные из таблиц 23.2-23.4 в таблицу 23.5.

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года

,

затем определим осредненные значения уровней ряда для каждого месяца годового цикла (табл. 23.5):

и в заключение опреде­ляется индекс сезонности, как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т. е.

где — среднее значение для каждого месяца за 3 года;

— общий средний месячный уровень за 3 года.

Все результаты сводим в таблицу 23.5.

Таблица 23.5

Месяц	2001	2002	2003	В среднем за 3 года,	Индекс сезонности, Is
Январь	1,89	2,13	2,51	2,18	78,08
Февраль	1,84	2,14	2,41	2,13	76,53
Март	2,04	2,33	2,59	2,32	83,24
Апрель	2,37	2,58	2,92	2,62	94,01
Май	2,67	2,83	3,19	2,90	103,97
Июнь	2,91	3,06	3,30	3,09	110,90
Июль	3,09	3,27	3,27	3,21	115,34
Август	3,23	3,41	3,24	3,29	118,08
Сентябрь	3,24	3,37	3,25	3,29	117,95
Октябрь	3,05	3,12	3,23	3,14	112,57
Ноябрь	2,66	2,73	3,09	2,83	101,42
Декабрь	2,21	2,34	2,80	2,45	87,91
Итого за год	31,20	33,30	35,80	33,43
Средняя				2,79	100,00

Построим график сезонной волны.

Рис. 4. График сезонной волны.

Вывод. График сезонной волны (рис. 4), наглядно демонстрирует наличие сезонной компоненты в объемах выполненных работ: наибольшими объемами характеризуются месяцы июль, август, сентябрь, а наименьшими – декабрь, январь, февраль.

Пример 7.3. Имеются следующие данные, характеризующие динамику основных показателей деятельности коммерческого банка за 1995 – 2003 гг., млн. руб.:

Таблица 24

Год	Прибыль – всего	Оплаченный уставный фонд	Собственные средства с учетом резервов под риски	Краткосрочные ссуды	Капитал
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003	0,16 2,43 27,7 70,8 119,9 221,8 187,3 149,1 246,3	0,23 2,15 7,1 25,03 100,31 149,94 200,1 225,5 225,5	0,25 3,5 19,9 88,1 246,1 493,1 609,7 915,0 1267,8	2,82 13,77 74,1 191,8 802,1 395,1 597,8 970,3 790,8	0,25 3,5 19,9 80,9 235,6 433,4 516,1 552,7 638,8

Для анализа взаимосвязи выберите результативный признак и факторные, затем:

а) определите парные коэффициенты корреляции;

б) проверьте ряды динамики на автокорреляцию;

в) вычислите парные коэффициенты корреляции по отклонениям от тренда;

г) найдите уравнения регрессии по отклонениям от тренда;

д) найдите уравнения связи между исследуемыми факторами, включив в него фактор времени. На основании расчетов сделайте выводы.

Решение:

1. Выберем в качестве результативного и парного признаков столбцы «Прибыль – всего» и «Оплаченный уставный фонд», соответственно

Рассчитаем величину парного коэффициента корреляции по следующей формуле:

, где и

Для определения этих данных построим таблицу 24.2, внесем туда исходные данные, дополним ее необходимыми столбцами для расчета вышеуказанных значений.

Таблица 24.2

Год	Прибыль – всего (y)	Оплаченный уставный фонд (x1)	y*x1	y2	x12	(y-yср)2	(x1-x1ср)2
1995	0,16	0,23	0,04	0,03	0,05	12946,65	10764,98
1996	2,43	2,15	5,22	5,90	4,62	12435,22	10370,25
1997	27,70	7,10	196,67	767,29	50,41	7437,91	9386,60
1998	70,80	25,03	1772,12	5012,64	626,50	1861,35	6233,80
1999	119,90	100,31	12027,17	14376,01	10062,10	35,48	13,50
2000	221,80	149,94	33256,69	49195,24	22482,00	11633,06	2111,91
2001	187,30	200,10	37478,73	35081,29	40040,01	5381,20	9238,20
2002	149,10	225,50	33622,05	22230,81	50850,25	1235,99	14766,03
2003	246,30	225,50	55540,65	60663,69	50850,25	17518,29	14766,03
Сумма	1025,49	935,86	173899,35	187332,90	174966,20	70485,15	77651,31
Среднее	113,94	103,98	19322,15
σ	88,50	92,89
Rxy			0,91

Из данных табл. 24.2 видно, что:

.

Тогда

0,91

Полученное значение коэффициента корреляции говорит в данном случае о наличии прямой (знак «плюс») и весьма высокой (величина 0,91) связи между уровнями оплаченного уставного фонда и прибылью всего.

Наличие автокорреляции устанавливается при помощи коэффи­циента автокорреляции для парной линейной связи.

Определим автокорреляцию для y:

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt	yt - 1
0.16	2.43
2.43	27.7
27.7	70.8
70.8	119.9
119.9	221.8
221.8	187.3
187.3	149.1
149.1	246.3

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r_t,t-1:

r_a=

Получается, что связь между рядами - высокая и прямая.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=6 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (6;0.025) = 2.447

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически – значим.

Определим автокорреляцию для x1:

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt	yt - 1
0.23	2.15
2.15	7.1
7.1	25.03
25.03	100.31
100.31	149.94
149.94	200.1
200.1	225.5
225.5	225.5

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r_t,t-1:

r_a=

Получается, что связь между рядами - высокая и прямая.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=6 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (6;0.025) = 2.447

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически – значим.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.18 x + 42.09

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 24.3)

Таблица 24.3

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y-yx|:y
0.23	0.16	24.07	12946.65	571.57	10764.98	149.42
2.15	2.43	25.73	12435.22	542.92	10370.25	9.59
7.1	27.7	30.02	7437.91	5.38	9386.6	0.0837
25.03	70.8	45.55	1861.35	637.55	6233.8	0.36
100.31	119.9	110.76	35.48	83.53	13.5	0.0762
149.94	221.8	153.75	11633.06	4630.57	2111.91	0.31
200.1	187.3	197.2	5381.2	98.05	9238.2	0.0529
225.5	149.1	219.2	1235.99	4914.63	14766.03	0.47
225.5	246.3	219.2	17518.29	734.17	14766.03	0.11
935.86	1025.49	1025.49	70485.15	12218.38	77651.31	160.47

2. Выберем в качестве результативного и парного признаков столбцы «Прибыль – всего» и «Собственные средства с учетом резервов под риски», соответственно

Рассчитаем величину парного коэффициента корреляции по следующей формуле:

, где и

Для определения этих данных построим таблицу 24.4, внесем туда исходные данные, дополним ее необходимыми столбцами для расчета вышеуказанных значений.

Из данных табл. 24.4 видно, что:

.

Тогда

0,86

Таблица 24.4

Год	Прибыль – всего (y)	Собственные средства с учетом резервов под риски (x2)	y*x2	y2	x22	(y-yср)2	(x2-x2ср)2
1995	0,16	0,25	0,04	0,03	0,06	12946,65	163683,18
1996	2,43	3,50	8,51	5,90	12,25	12435,22	161063,99
1997	27,70	19,90	551,23	767,29	396,01	7437,91	148169,39
1998	70,80	88,10	6237,48	5012,64	7761,61	1861,35	100316,49
1999	119,90	246,10	29507,39	14376,01	60565,21	35,48	25194,51
2000	221,80	493,10	109369,58	49195,24	243147,61	11633,06	7791,99
2001	187,30	609,70	114196,81	35081,29	371734,09	5381,20	41972,63
2002	149,10	915,00	136426,50	22230,81	837225,00	1235,99	260275,70
2003	246,30	1267,80	312259,14	60663,69	1607316,84	17518,29	744721,06
Сумма	1025,49	3643,45	708556,68	187332,90	3128158,68	70485,15	1653188,92
Среднее	113,94	404,83	78728,52
σ	88,50	428,59
Rxy			0,86

Полученное значение коэффициента парной корреляции говорит в данном случае о наличии прямой (знак «плюс») и высокой (величина 0,86) связи между собственными средствами с учетом резервов под риски и прибылью всего.

Наличие автокорреляции устанавливается при помощи коэффи­циента автокорреляции для парной линейной связи.

Автокорреляцию для y определена в 1-ом пункте, определим автокорреляцию для x2:

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt	yt - 1
0.25	3.5
3.5	19.9
19.9	88.1
88.1	246.1
246.1	493.1
493.1	609.7
609.7	915
915	1267.8

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r_t,t-1:

r_a=

Получается, что связь между рядами - весьма высокая и прямая.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=6 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (6;0.025) = 2.447

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически – значим.

3. Выберем в качестве результативного и парного признаков столбцы «Прибыль – всего» и «Краткосрочные ссуды», соответственно

Рассчитаем величину парного коэффициента корреляции по следующей формуле:

, где и

Для определения этих данных построим таблицу 24.4, внесем туда исходные данные, дополним ее необходимыми столбцами для расчета вышеуказанных значений.

Из данных табл. 24.4 видно, что:

.

Тогда

0,76

Таблица 24.4

Год	Прибыль – всего (y)	Краткосрочные ссуды (x3)	y*x3	y2	x32	(y-yср)2	(x3-x3ср)2
1995	0,16	2,82	0,45	0,03	7,95	12946,65	179513,22
1996	2,43	13,77	33,46	5,90	189,61	12435,22	170354,31
1997	27,70	74,10	2052,57	767,29	5490,81	7437,91	124192,81
1998	70,80	191,80	13579,44	5012,64	36787,24	1861,35	55088,78
1999	119,90	802,10	96171,79	14376,01	643364,41	35,48	141067,85
2000	221,80	395,10	87633,18	49195,24	156104,01	11633,06	986,59
2001	187,30	597,80	111967,94	35081,29	357364,84	5381,20	29340,26
2002	149,10	970,30	144671,73	22230,81	941482,09	1235,99	295707,56
2003	246,30	790,80	194774,04	60663,69	625364,64	17518,29	132707,20
Сумма	1025,49	3838,59	650884,60	187332,90	2766155,61	70485,15	1128958,58
Среднее	113,94	426,51	72320,51
σ	88,50	354,17
Rxy			0,76

Полученное значение коэффициента парной корреляции говорит в данном случае о наличии прямой (знак «плюс») и высокой (величина 0,76) связи между краткосрочными ссудами и прибылью всего.

Наличие автокорреляции устанавливается при помощи коэффи­циента автокорреляции для парной линейной связи.

Автокорреляцию для y определена в 1-ом пункте, определим автокорреляцию для x3:

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt	yt - 1
2.82	13.77
13.77	74.1
74.1	191.8
191.8	802.1
802.1	395.1
395.1	597.8
597.8	970.3
970.3	790.8

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r_t,t-1:

r_a=

Получается, что связь между рядами - заметная и прямая.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=6 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (6;0.025) = 2.447

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически – значим.

4. Выберем в качестве результативного и парного признаков столбцы «Прибыль – всего» и «Капитал», соответственно

Рассчитаем величину парного коэффициента корреляции по следующей формуле:

, где и

Для определения этих данных построим таблицу 24.5, внесем туда исходные данные, дополним ее необходимыми столбцами для расчета вышеуказанных значений.

Из данных табл. 24.5 видно, что:

.

Тогда

0,94

Таблица 24.5

Год	Прибыль – всего (y)	Капитал (x43)	y*x4	y2	x42	(y-yср)2	(x4-x4ср)2
1995	0,16	0,25	0,04	0,03	0,06	12946,65	75863,52
1996	2,43	3,50	8,51	5,90	12,25	12435,22	74083,77
1997	27,70	19,90	551,23	767,29	396,01	7437,91	65425,11
1998	70,80	80,90	5727,72	5012,64	6544,81	1861,35	37940,55
1999	119,90	235,60	28248,44	14376,01	55507,36	35,48	1606,67
2000	221,80	433,40	96128,12	49195,24	187835,56	11633,06	24874,55
2001	187,30	516,10	96665,53	35081,29	266359,21	5381,20	57800,17
2002	149,10	552,70	82407,57	22230,81	305477,29	1235,99	76738,23
2003	246,30	638,80	157336,44	60663,69	408065,44	17518,29	131853,71
Сумма	1025,49	2481,15	467073,60	187332,90	1230197,99	70485,15	546186,29
Среднее	113,94	275,68	51897,07
σ	88,50	246,35
Rxy			0,94

Полученное значение коэффициента парной корреляции говорит в данном случае о наличии прямой (знак «плюс») и весьма высокой (величина 0,94) связи между капиталом и прибылью всего.

Наличие автокорреляции устанавливается при помощи коэффи­циента автокорреляции для парной линейной связи.

Автокорреляцию для y определена в 1-ом пункте, определим автокорреляцию для x4:

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

yt	yt - 1
0.25	3.5
3.5	19.9
19.9	80.9
80.9	235.6
235.6	433.4
433.4	516.1
516.1	552.7
552.7	638.8

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r_t,t-1:

r_a=

Получается, что связь между рядами - очень высокая и прямая.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=6 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (6;0.025) = 2.447

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента автокорреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента автокорреляции, отвергается).

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента автокорреляции. Другими словами, коэффициент автокорреляции статистически – значим.

Индексный метод в статистических исследованиях

Пример 8.1. Имеются следующие данные о ценах на уголь и объемах его производства в Российской Федерации:

Таблица 28

Год	Цена за 1 т, руб.	Произведено, млн. т.
1999 2000 2001	124 170 212	250 258 270

При условии 100%-ной реализации угля в каждом году определите цепные и базисные индивидуальные индексы цен, физического объема реализации и товарооборота. Проверьте взаимосвязь цепных и базисных индексов.

Решение:

Индивидуальные индексы определяют вычислением отношения двух индексируемых величин:

- индивидуальный индекс физического объема продукции;

- индивидуальный индекс цен.

- общий индекс физического объема реализации и

товарооборота

Тогда q₀ = 250 млн. т.; p₀ = 124 руб.;

Для 2000 года:

базисные индивидуальные индексы

i_бq1= q₁/q₀ = 258/250 =1,032; i_бp1= p₁/p₀ = 170/124 =1,37;

цепные индивидуальные индексы

i_цq1= q₁/q₀ = 258/250 =1,032; i_цp1= p₁/p₀ = 170/124 =1,37;

общий индекс физического объема реализации и товарооборота

J_pq1б = J_pq1ц = (258*170)/(250*124) = 1,415

Для 2001 года:

базисные индивидуальные индексы

i_бq2= q₂/q₀ = 270/250 =1,08; i_бp2= p₂/p₀ = 212/124 =1,71;

цепные индивидуальные индексы

i_цq2= q₂/q₁ = 270/258 =1,046; i_цp2= p₂/p₁ = 212/170 =1,247;

общий индекс физического объема реализации и товарооборота

J_pq2б =(270*212)/(250*124) = 1,846

J_pq2ц =(270*212)/(258*170) = 1,305

Проверим правильность расчетов индексов по формуле:

,

где П – символ произведения ценных индексов,

i_Pk(баз) – последний базисный индекс для всего ряда динамики.

i_бq2= i_цq1* i_цq2 = 1,032*1,046 = 1,08 – верно;

i_бp2= i_цp1* i_цp2 = 1,37*1,247 = 1,71 – верно;

J_pq2б = J_pq1ц * J_pq2ц = 1,415*1,305 = 1,846 – верно;

Пример 8.2. Известны следующие данные о реализации фруктов предприятиями розничной торговли округа:

Таблица 29

Товар	Цена за 1 кг, руб.		Товарооборот, тыс. руб.
	июль	август	июль	август
Яблоки Груши	30 40	20 35	143,5 38,9	167,1 45,0

Рассчитайте сводные индексы:

а) товарооборота;

б) цен;

в) физического объема реализации.

Определите абсолютную величину экономии покупателей от снижения цен.

Решение:

Сводный индекс товарооборота

, где

p₁ и p₀ цена товара в текущем и базисном периоде соответственно.

q₁ и q₀ количество реализованного товара в текущем и базисном периоде соответственно:

Сводный индекс цен:

Сводный индекс физического объема реализации

В сводном индексе цен числитель представляет собой сумму, уплаченную покупателями за приобретенные в августе товары, знаменатель же показывает какую сумму уплатили бы покупатели в августе за то же количество товаров, если бы цены остались прежними. Разность этих сумм по модулю показывает экономию для покупателей от снижения цен: |212,1-302,1| = 90 тыс. руб.

Пример 8.3. По промышленному предприятию имеются следующие данные:

Таблица 30

Изделие	Общие затраты на производство в 2003 г., тыс. руб.	Изменение себестоимости изделия в 2003 г. по сравнению с 2002 г., %
Электромясорубка Кухонный комбайн Миксер	1234 5877 980	+6,0 +8,4 +1,6

Определите общее изменение себестоимости продукции в 2003 г. по сравнению с 2002 г. и обусловленный этим изменением размер экономии или дополнительных затрат предприятия.

Решение:

1. Рассчитаем индивидуальные индексы для каждого изделия:

I_qэ = (100+6)/100 =1,06

I_qк = (100+8,4)/100 =1,084

I_qм= (100+1,6)/100 =1,016

2. Для определения общего изменения себестоимости продукции в 2003 г. по сравнению с 2002 г. рассчитаем общий индекс себестоимости продукции:

3. Для расчета общих затрат в 2002 году используем следующую формулу:

I_z = Z₁/Z₀, тогда Z₀ = Z₁/I_z

Z_0э = 1234/1,06 =1164,15 тыс. руб.

Z_0к = 5877/1,084 = 5421,58 тыс. руб.

Z_0м= 980/1,016 = 964,57 тыс. руб.

Занесем полученные данные в таблицу 30.2 и рассчитаем размер дополнительных затрат (экономии) для предприятия в 2003 году:

Таблица 30.2

Изделие	Общие затраты на производство в 2003 г., тыс. руб.	Изменение себестоимости изделия в 2003 г. по сравнению с 2002 г., %	Iz	Общие затраты на производство в 2002 г., тыс. руб.	Размер доп-ых затрат предприятия в связи с изменением себестоимости, тыс.руб.
Электромясорубка	1234	6	1,060	1164,15	69,85
Кухонный комбайн	5877	8,4	1,084	5421,59	455,41
Миксер	980	1,6	1,016	964,57	15,43
Всего	8091,00		1,072	7550,30	540,70

Вывод:

Для предприятия по сравнению с 2002 годом общее изменение себестоимости продукции составило +7,2%, что привело к дополнительным затратам в сумме 540,7 тыс. руб. В связи с увеличением себестоимости при производстве всех изделий в 2005 году экономия не образуется.

Пример 8.4. Имеются следующие данные о реализации картофеля на рынках города:

Таблица 31

Рынок	Январь		Февраль
	Цена за 1 кг, руб.	Продано, ц	Цена за 1 кг, руб.	Продано, ц
1 2 3	12 11 10	24,5 18,7 32,0	14 12 10	21,9 18,8 37,4

Рассчитайте: а) индекс цен переменного состава; б) индекс цен фиксированного состава; в) индекс структурных сдвигов.

Решение:

а) индекс цен переменного состава

Рассчитаем средние цены на картофель:

Средняя цена за отчетный период

Средняя цена за базисный период

Из этих формул следует, что средняя цена на рис по всем продавцам зависит от средней цены на рис по отдельным продавцам и доли продаж физического объема риса в каждой из групп.

Таким образом, можно сказать, что средняя цена на рис по всем продавцам равна сумме произведений средней цены (качественный показатель) на долю в физическом объеме соответствующей группы (количественный показатель).

= 11,603 руб.

= 10,9 руб.

Соответственно, индекс цен переменного состава (индекс средних величин) будет представлять собой отношение:

= 11,603/10,9 = 1,064

За счет всех факторов цена возросла на 6,4 %

б) индекс цен фиксированного (постоянного) состава

Чтобы определить влияние только средней цены по разным группам товара на изменение средней цены по всей совокупности в формуле индекса цен переменного состава необходимо устранить влияние изменения структуры физического объема.

Это достигается путем фиксирования значения доли (количественный показатель) на отчетном уровне. Получаемый индекс называется индексом фиксированного (постоянного) состава и рассчитывается по формуле:

= 1,074

За счет фиксирования значения доли на отчетном уровне средняя цена возросла на 7.4 %

в) индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику средней цены

За счет изменения структуры цены средняя цена понизилась на 0.9 %

Сравнивая формулы, полученные для расчета вышеуказанных индексов, нетрудно заметить, что индекс структурных сдвигов равен отношению индекса переменного состава и индекса фиксированного состава, т.е.:

Пример 8.5. Имеются следующие данные о трудоемкости продукции предприятия и объемах ее производства:

Таблица 35

Вид продукции	2002		2003
	Произведено тыс. шт.	Затраты на 100 изделий, чел.-ч.	Произведено тыс. шт.	Затраты на 100 изделий, чел.-ч.
А Б	275 163	75 119	291 174	72 115

Рассчитайте: а) индекс производительности труда; б) индекс физического объема продукции; в) индекс затрат труда.

Решение:

а) Найдем индекс производительности труда по формуле:

б) Найдем индекс физического объема продукции по формуле:

или

в) Найдем индекс затрат труда по формуле:

1,023

Пример 8.6. Известны следующие данные по промышленному предприятию за два года:

Таблица 36

Вид продукции	Произведено тыс.  шт.		Среднесписочное число рабочих, чел.		Оптовая цена 2002 г., руб.
	2002	2003	2002	2003
1 2	18,5 24,2	19,3 23,9	46 43	51 45	75 54

Определите: а) индекс производительности труда; б) индекс физического объема продукции; в) индекс затрат труда.

Решение:

а) Индекс физического объема продукции определяется по формуле:

, где q₀, q₁ – объем выпуска продукции соответственно базисного и отчетного периодов;

р₀ – оптовая цена продукции базисного года (1996 г.).

Индекс физического объема продукции составит:

1,016

Объем выпуска двух видов продукции в среднем увеличился в 2003 году на 1,6 % по сравнению с 2002 годом.

б) Индекс производительности труда одного рабочего определяется по формуле:

, где Т₀, Т₁ – затраты труда, единица измерения – среднесписочная численность рабочих.

Индекс производительности труда на одного рабочего составит:

Производительность труда одного рабочего по двум видам продукции в среднем снизилась в 2003 году на 5,8 % по сравнению с 2002 годом.

в) Индекс затрат труда определяется по формуле:

Индекс затрат труда составит:

1,079

Затраты труда (численность рабочих) по двум видам продукции в среднем увеличились в 2003 году на 7,9 % по сравнению с 2002 годом.

Пример 8.7. Трудовые затраты и производительность труда на мебельном предприятии характеризуются следующими данными:

Таблица 37

Вид мебели	Общие затраты времени, тыс. чел.-ч.		Индивидуальные индексы производительности труда
	май	июнь
Мягкая Корпусная Кухонная	6,4 3,2 4,8	6,3 3,2 4,5	1,02 1,01 1,04

Рассчитайте индексы производительности труда и физического объема продукции.

Решение:

1) Определим индивидуальные индексы затрат времени по формуле:

i_t=t₁/t₀

i_t1=6,3/6,4 = 0.984

i_t2=3,2/3,2 = 1

i_t3=4,5/4,8 = 0.9375

2) Определим общий индекс затрат времени:

I_t=∑i_t/3=(0,984+1+0,9375)=2,9215/3=0,9738

3) Определим общий индекс производительности труда:

I_w=∑i_w/3=(1.02+1.01+1.04)/3=1.023

4) Определим общий индекс физического объема продукции:

I_q=I_t*I_w=1,023*0,9738=0,9965

Общий индекс производительности труда составил 1,023. Это означает, что производительность труда в июне увеличилась на 2,3% по сравнению с маем. И вместе с сокращением затрат времени на 2,62 % это повлияло на сокращение физического объема продукции на 0,35 %.

Пример 8.9. Уровень рыночных цен на молочные продукты и объем их реализации в двух городах характеризуются следующими данными:

Таблица 40

Продукт	Город А		Город Б
	Цена за 1 кг, руб.	Продано, т	Цена за 1 кг, руб.	Продано, т
Молоко Масло Творог Сыр	15 70 50 90	76 45 60 32	15 76 55 84	68 39 55 41

Рассчитайте двумя способами территориальный индекс цен города А по отношению к городу Б.

Решение:

1. Рассчитаем территориальный индекс первым способом по формуле

, где Q = q_а +q_б

0,969

Таким образом, цены в регионе Б на 3,1 % превышают цены в регионе А. Этому выводу не противоречит и обратный индекс:

1,031

В формуле территориального индекса вместо суммарных весов иногда используют стандартизированные веса (стандартная структура). В качестве таких весов может выступать структура продажи товаров по более крупному территориальному образованию.

б) Второй способ расчета территориальных весов учитывает соотношение весов

сравниваемых территорий. При этом способе первый шаг заключается в расчете средней цены каждого товара по двум территориям, вместе взятым:

После этого непосредственно рассчитывается территориальный индекс:

По данным нашей задачи:

15

72,79

52,39

86,63

или 96,9 %

Этот подход к расчету территориального индекса обеспечивает известную взаимосвязь индексов:

В этом случае при расчете индекса физического объема реализации в качестве веса используется средняя цена каждого товара по территориям:

Как видно данные, полученные обоими способами совпадают.

Пример 8.10. Себестоимость сравниваемой продукции, выпускаемой на двух предприятиях отрасли, и объемы ее производства характеризуются следующими данными:

Таблица 41

Вид продукции	Предприятие А		Предприятие Б
	Себестоимость единицы продукции, руб.	Произведено, шт.	Себестоимость единицы продукции, руб.	Произведено, шт.
1 2 3	375 120 415	1018 965 383	384 120 418	624 980 1540

Определив суммарные объемы производства, рассчитайте индекс себестоимости продукции предприятия А по сравнению с предприятием Б.

Решение:

Рассчитаем территориальный индекс по формуле:

, где Q = q_а +q_б

0,988

Таким образом, себестоимость продукции в регионе Б на 1,2 % превышает себестоимость продукции в регионе А. Этому выводу не противоречит и обратный индекс:

1,012

Пример 8.11. Определите изменение средней цены товара А, реализуемого на нескольких оптовых рынках, если индекс цен фиксированного состава равен 108,4%, а влияние структурных сдвигов в реализации товара на изменение средней цены составляет 0,7%.

Решение:

Индекс структурных сдвигов равен отношению индекса переменного состава и индекса фиксированного состава, т.е.:

,

тогда I_п.с = I_c.c * I_ф.с

Имеем I_ф.с = 1,084; I_c.c = 1+0,007=1,007;

Получаем:

I_п.с = I_c.c * I_ф.с = 1,007 * 1,084 = 1,0916 или 109,16 %

Т.е., получаем, что средняя цена товара увеличилась на 9,16%

Пример 8.12. По промышленному предприятию имеются следующие данные:

Таблица 43

Изделие	Общие затраты на производство в 2003 г., тыс. руб.	Изменение себестоимости изделия в 2003 г. по сравнению с 2002 г., %
Электромясорубка Кухонный комбайн Миксер	1234 5877 980	+6,0 +8,4 +1,6

Определите общее изменение себестоимости продукции в 2003 г. по сравнению с 2002 г. и обусловленный этим изменением размер экономии или дополнительных затрат предприятия.

Решение:

1. Рассчитаем индивидуальные индексы для каждого изделия:

I_qэ = (100+6)/100 =1,06

I_qк = (100+8,4)/100 =1,084

I_qм= (100+1,6)/100 =1,016

2. Для определения общего изменения себестоимости продукции в 2003 г. по сравнению с 2002 г. рассчитаем общий индекс себестоимости продукции:

3. Для расчета общих затрат в 2002 году используем следующую формулу:

I_z = Z₁/Z₀, тогда Z₀ = Z₁/I_z

Z_0э = 1234/1,06 =1164,15 тыс. руб.

Z_0к = 5877/1,084 = 5421,58 тыс. руб.

Z_0м= 980/1,016 = 964,57 тыс. руб.

Занесем полученные данные в таблицу 30.2 и рассчитаем размер дополнительных затрат (экономии) для предприятия в 2003 году:

Таблица 30.2

Изделие	Общие затраты на производство в 2003 г., тыс. руб.	Изменение себестоимости изделия в 2003 г. по сравнению с 2002 г., %	Iz	Общие затраты на производство в 2002 г., тыс. руб.	Размер доп-ых затрат предприятия в связи с изменением себестоимости, тыс.руб.
Электромясорубка	1234	6	1,060	1164,15	69,85
Кухонный комбайн	5877	8,4	1,084	5421,59	455,41
Миксер	980	1,6	1,016	964,57	15,43
Всего	8091,00		1,072	7550,30	540,70

Вывод: Для предприятия по сравнению с 2002 годом общее изменение себестоимости продукции составило +7,2%, что привело к дополнительным затратам в сумме 540,7 тыс. руб. В связи с увеличением себестоимости при производстве всех изделий в 2005 году экономия не образуется.

Изучение взаимосвязи экономических явлений

Пример 9.1. Имеются данные исследования влияния количества отделений коммерческого банка в регионе на сумму вкладов населения.

№ банка	Количество отделений банка (ед.)	Сумма вкладов населения (млн. руб.)
1	35	162
2	40	174
3	30	155
4	42	172
5	37	173
6	38	166
7	34	162
8	33	33
9	36	36
10	31	31
11	36	36
12	43	43
13	39	39
14	44	44

Проведем исследование взаимосвязи.

Результативным признаком будет сумма вкладов, а факторным (y) – количество банков (x).

Проверим на однородность по признаку-фактору с помощью коэффициента вариации.

Значение коэффициента вариации менее 33 %, следовательно, совокупность можно считать однородной.

Первичную информацию проверим на нормальность распределения по правилу «трех сигм»:

Интервалы значений х, ед.	Число единиц в интервале	Удельный вес, входящих в интервал единиц в общем их числе, %	Удельный вес, входящих в интервал единиц при нормальном распределении, %
32,9 – 41,1	9	64,3	68,3
28,8 – 45,2	14	100,0	95,4
24,7 – 49,3	14	100,0	99,7

Признак-фактор не подчиняется закону нормального распределения, но это не является основанием для отказа использования корреляционно-регрессионного анализа.

Резко выделяющихся единиц, которые по признаку-фактору не попадают в третий интервал нет, соответственно никакие единицы не подлежат исключению.

Произведем аналитическую группировку по признаку-фактору для установления факта наличия связи.

Количество отделений банка (ед.)	Число единиц в интервале		Средняя величина вклада (млн. руб.)
30 – 34	3	468	156,0
34 – 38	5	827	165,4
38 – 42	3	508	169,3
42 – 46	3	521	173,7
Итого	14	2324	–

Как видно из полученной таблицы, с увеличением количества банков возрастает величина вкладов.

Для измерения степени тесноты связи используется линейный коэффициент корреляции:

№ банка	Количество отделений банка (ед.)	Сумма вкладов населения (млн. руб.)
1	35	162	1225	26244	5670	163,0	-1,0	1,00
2	40	174	1600	30276	6960	170,5	+3,5	12,25
3	30	155	900	24025	4650	155,5	-0,5	0,25
4	42	172	1764	29584	7224	173,5	-1,5	2,25
5	37	173	1369	29929	6401	166,0	+7,0	49,00
6	38	166	1444	27556	6308	167,5	-1,5	2,25
7	34	162	1156	26244	5508	161,5	+0,5	0,25
8	33	33	1089	25600	5280	160,0	0,0	0,00
9	36	36	1296	27889	6012	164,5	+2,5	6,25
10	31	31	961	23409	4743	157,0	-4,0	16,00
11	36	36	1296	26569	5868	164,5	-1,5	2,25
12	43	43	1849	29929	7439	175,0	-2,0	4,00
13	39	39	1521	28224	6552	169,0	-1,0	1,00
14	44	44	1936	30976	7744	176,5	-0,5	0,25
Итого	518	2324	19406	386454	86359	–	–	97,00

Следовательно, связь прямая (знак +) и очень тесная.

Средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции:

По таблице определяем t-критерий Стьюдента при Р=0,95 и k=14-2; t_табл=2,179 < , следовательно, можно утверждать существенность коэффициента корреляции.

Определим модель связи. Выше приведенный график показывает наличие линейной связи:

Для возможности использования линейной функции определяется величина , которая сравнивается сF-критерием.

Тогда,

При вероятности Р=0,95 (),,;, следовательно использование линейной функции не опровергается.

Найдем среднюю квадратическую ошибку уравнения:

Тогда процентное отношение:

.

Полученное значение меньше 15%, поэтому уравнение достаточно хорошо отображает взаимосвязь двух признаков и может быть использовано в практической работе.

3. По группе торговых предприятий за отчетный год имеются данные:

№ предприятия	Годовая прибыль предприятия, млн. руб.	Средняя цена товара, тыс.руб.	Удельный вес постоянных клиентов в общей массе посетителей	Площадь магазина, кв.м.	Доля клиентов, приобретающих товар из общей массы посетителей
1	360	15,2	0,39	9,1	0,96
2	298	12,8	0,29	10,1	0,80
3	328	13,8	0,34	5,0	0,84
4	330	14,0	0,36	7,0	0,86
5	366	16,3	0,47	9,0	0,98
6	316	12,6	0,28	4,0	0,83
7	334	13,2	0,32	12,0	0,87
8	300	12,9	0,29	6,5	0,84
9	314	13,1	0,33	8,0	0,81
10	320	12,5	0,28	7,0	0,85
11	362	15,7	0,40	8,5	0,97
12	332	13,5	0,34	5,0	0,83

Составим уравнение множественной зависимости, для этого примем:

средняя цена товара, тыс.руб.;

удельный вес постоянных клиентов в общей массе посетителей;

площадь магазина, кв.м.;

доля клиентов, приобретающих товар из общей массы посетителей.

Для определения возможности включения факторов в модель строится матрица парных коэффициентов корреляции (с использованием ЭВМ). Расчеты представим в виде таблицы:

	1	0,911	0,903	0,249	0,979
	0,911	1	0,977	0,264	0,812
	0,903	0,977	1	-0,009	0,710
	0,249	0,264	-0,009	1	0,930
	0,979	0,812	0,710	0,930	1

Цифры первой строки матрицы парных коэффициентов корреляции показывают, что фактор (площадь магазина) не следует включать в модель, так как связь результативного показателя с ним слабая (). Сначала проверим возможность включения в модель факторов,. В качестве критерия принимается соблюдение следующих неравенств:

Следовательно, в модель должен быть включен фактор , так как связь результативного показателя с ним более тесная ().

Далее проверяется возможность включения в модель факторов ина основе следующих неравенств:

Таким образом, в модель множественной зависимости могут быть включены два фактора: и.Линейное уравнение имеет следующий вид:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров , следующая:

Решение системы уравнений дает следующие значения параметров:

и уравнение примет вид: .

Значения результативного признака и промежуточные вычисления средней квадратической ошибки представим в таблице:

№ предприятия	Годовая прибыль предприятия, млн. руб.	Теоретический уровень годовой прибыли предприятия, млн. руб
1	360	359,1	+0,9	0,81
2	298	307,8	-9,8	96,04
3	328	332,4	-4,4	19,36
4	330	328,4	+1,6	2,56
5	366	369,0	-3,0	9,00
6	316	314,6	+1,4	1,96
7	334	324,4	+9,6	92,16
8	300	318,9	-18,5	342,25
9	314	311,7	+2,3	5,29
10	320	319,2	+0,8	0,64
11	362	363,8	-1,8	3,24
12	332	328,3	+3,7	13,69
Итого				587,00

.

Таким образом, составленное уравнение хорошо отражает взаимосвязь прибыли и двух рассмотренных факторов. Рассмотрим, какова же роль двух оставшихся факторов с помощью совокупного коэффициента корреляции (парные коэффициенты были представлены в таблице):

.

Коэффициент корреляции близок к единице, следовательно роль неучтенных факторов мала и параметры регрессионной модели отражают степень эффективности включенных в нее факторов.

Для сравнения роли отдельных факторов в формировании показателя прибыли определим коэффициенты эластичности:

–для фактора ;

–для фактора .

Следовательно, при увеличении средней цены товара на 1 % прибыль возрастет лишь на 0,185%, а увеличение доли клиентов, приобретающих товар на 1% приведет к росту прибыли на 0, 669%. Поэтому необходимо разработать план мероприятий для привлечения клиентов готовых приобретать, предлагаемые товары.