Введение

Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, зачастую и не осознавая этого, постоянно используют элементы статистической методологии не только в трудовых процессах, но и повседневном быту. Работая и отдыхая, общаясь с другими людьми, принимая какие-то решения, человек пользуется определенной системой сведений, сложившихся вкусов и привычек, фактов; он систематизирует, сопоставляет эти факты, анализирует их, делает необходимые для себя выводы и принимает решения и действия. Таким образом, в каждом человеке заложены элементы статистического мышления.

Данное пособие поможет разобраться с основами общей теории статистики.

Таким образом, цель учебного пособия заключается в формировании у студентов системы знаний об особенностях статистических методов, их роли в экономической практике, преимуществах и возможностях статистического анализа.

Учебное пособие структурировано в соответствии с логикой освоения материала.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Экономика» и выполнено в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования. Учебное пособие в рамках базовой дисциплины «Статистика» направлено на студентов, осваивающих компетенции на пороговом уровне.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать:

- основные социально-значимые проблемы и процессы, происходящие в обществе (экономические, социальные), методы прогнозирования;

- основные показатели статистики;

- методики расчета экономических показателей;

уметь:

- анализировать основные закономерности экономических и социальных процессов на основе имеющихся фактических данных;

- делать прогноз на ближайшее будущее, применяя статистические методы;

владеть:

- методами обработки исходной информации,

- методами прогнозирования.

I. Примеры решения задач

Статистическая сводка и группировка материалов статистического наблюдения. Ряды распределения.

Пример 1.1. Имеются данные (таблица 1) о деятельности предприятия отрасли за 2007 г. На основе данных о числе цехов на каждом предприятии создать дискретный ряд распределения.

Таблица 1

Предприя-тия	Число цехов, ед.	Число рабочих, чел.	Объем производства, тыс. шт.	Затраты на производство, млн. руб.	Фонд заработной платы, тыс. руб.
1	4	480	980	116,0	4608,0
2	4	260	540	66,8	3026,4
3	7	130	280	39,3	1950,0
4	9	190	400	52,8	2622,0
5	4	130	280	36,0	1612,0
6	8	420	860	94,0	4914,0
7	6	410	840	92,5	4456,7
8	9	350	720	80,7	3430,0
9	6	460	940	102,4	7005,8
10	6	210	440	56,0	2982,0
11	9	370	760	83,2	3947,9
12	8	180	380	46,7	2754,0
13	4	210	440	56,0	2520,0
14	7	380	780	94,0	5130,0
15	7	370	760	91,4	4329,0
16	5	110	240	34,0	1364,0
17	8	400	820	90,6	6000,0
18	8	340	700	78,6	4080,0
19	5	310	640	78,6	3887,4
20	5	250	520	66,8	2882,5

Решение:

Проведем ранжирование первичного ряда, т.е. расположение всех вариант (числа цехов) в возрастающем порядке. Определяем частоты появления  варианты (n_i) в данной совокупности. Далее находим накопленные частоты (n_xi). Находим частости (w_i =n_i/n) как отношение частоты к объему совокупности. И, наконец, суммированием частот всех предшествующих интервалов определяем накопленную частоту F_i. Результаты заносим в таблицу 2, которая отображает полученный дискретный ряд распределения.

Таблица 2

Число цехов (варианта), i	Количество предприятий с данным числом цехов (частота), ni	Накопленные частоты, nxi	Частости, wi	Накопленные относительные частоты, Fi
4	4	4	0,2	0,2
5	3	7	0,15	0,35
6	3	10	0,15	0,5
7	3	13	0,15	0,65
8	4	17	0,2	0,85
9	3	20	0,15	1
Σ	20		1

Пример 1.2. Используя данные о суммах затрат на производство из задачи 1 построить группировку предприятий с равными интервалами. Каждую группу охарактеризовать: количеством предприятий, числом цехов и числом рабочих всего.

Решение:

Выберем число интервалов группировки, используя формулу Стэрджеса:

k=1+3.32*lg(n)

n = 20, k=1+3.32*lg(20) ≈ 5

Находим ширину каждого из интервалов одинаковой ширины по следующей формуле:

Далее на основании первичной выборки распределяем варианты выборки по интервалам группировки, т.е. подсчитываем повторяемость вариант в каждом интервале. Для каждого интервала подсчитываем количеством предприятий, числом цехов и числом рабочих всего. Результаты заносим в таблицу 3.

Таблица 3

№ группы	Группы предприятий по суммам затрат на производство, млн. руб. (границы интервалов группы)		Количество предприятий в группе (ni)	Накопленные частоты (nxi)	Количество цехов в группе	Количество рабочих в группе
	xi (ниж.)	xi (верх.)
1	34	50,4	4	4	24	550
2	50,4	66,8	3	7	19	610
3	66,8	83,2	5	12	31	1510
4	83,2	99,6	6	18	45	2350
5	99,6	116	2	20	10	940
Σ			20		129	5960

Задание 1.3. На основе исчисленных данных задач 1 и 2 построить:

– полигон распределения предприятий по числу цехов;

– гистограмму распределения предприятий по сумме затрат на производство;

– кумуляту распределения предприятий по числу цехов.

На графиках указать медиану и моду распределения и проверить значения аналитически.

Решение:

i

Me

Mo

Рис. 1. Полигон распределения предприятий по числу цехов.

Мода (Mo) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.

Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины ∑|xi - Me|=min.

Определим ранг медианы для таблицы 2.

Медианой в данном случае может быть любое число между 3 и 4 членами ряда. Для определенности в данном случае в качестве медианы возьмем среднее арифметическое этих двух значений, т.е.

По определению мода в данном случае будет Mo = 3 – как признак, повторяющийся с наибольшей частотой.

i

Me

Mo

Рис. 2. Гистограмма распределения предприятий по сумме затрат на производство.

Определим модe и медианe по интервальному рядe для таблицы 3 на основе следующих формул:

где x₀ – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

h – величина модального интервала;

n_Mo – частота модального интервала;

n_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

n_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

В нашем случае x₀=83,2

где x₀ – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

h– величина медианного интервала;

n_XMe-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

n_Me – частота медианного интервала.

Нижняя граница медианного интервала x₀ = 66,8

Абсолютные и относительные величины

Пример 2.1. По предприятию за отчетный год имеются следующие данные о выпуске продукции:

Таблица 2

Наименование продукции	План на I квартал, тыс. шт.	Фактический выпуск, тыс. шт.			Отпускная цена за ед., руб.
		январь	февраль	март
1	453	110	200	170	2200
2	125	80	115	96	2700

Определить процент выполнения квартального плана по выпуску каждого вида продукции и в целом по выпуску всей продукции.

Решение:

Для определения процента выполнения квартального плана рассчитаем показатель сравнения реально достигнутых результатов с намеченными ранее.

, где

Ф – достигнутый уровень в текущем периоде;

П – план на этот же период.

а) для продукции №1:

П₁ = 453; Ф₁ = 110+200+170 = 480 тыс. шт.

ОПВП₁ = Ф₁/П₁*100 = 480/453*100 = 105,9 %

б) для продукции №2:

П₂ = 125; Ф₂ = 80+115+96 = 291 тыс. шт.

ОПВП₂ = Ф₂/П₂*100 = 291/125*100 = 232,8 %

в) для всей продукции в целом:

Для расчета процента выполнения плана по выпуску всей продукции необходимо определить общий итог продукции по плану и фактический в денежном выражении:

SП₃ = k₁*П₁+ k₂*П₂ = 2200*453 + 2700*125 = 1334100 тыс. руб.;

SФ₃ = k₁*Ф₁+ k₂*Ф₂ = 2200*480 + 2700*291 = 1841700 тыс. руб.;

Тогда процент выполнения плана по выпуску всей продукции:

ОПВП₃ = SФ₃/SП₃*100 = 1841700/1334100 *100 = 138,05 %

Пример 2.2. В прошлом году объем товарооборота по торговому предприятию составил 367,0 млн. руб. Планом текущего было предусмотрено довести объем товарооборота до 550,0 млн. руб.; фактический объем товарооборота в текущем году составил 565,0 млн. руб.

Определить: относительную величину планового задания по росту товарооборота; относительную величину динамики товарооборота; относительную величину выполнения плана по товарообороту.

Решение:

а) Относительную величину планового задания вычисляем отношением уровня, запланированного на предстоящий период (П), к уровню показателя, достигнутому в предыдущем периоде (Ф₀):

Ф₀ =367,0 млн. руб; П = 550,0 млн. руб.;

Тогда =149,8 %

б) Относительную величину динамики товарооборота вычисляем делением уровня признака за определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предыдущий период или момент времени:

ОПД = Ф₁ /Ф₀*100

Ф₀ =367,0 млн. руб; Ф₁= 565,0 млн. руб.;

Тогда ОПД = Ф₁ /Ф₀*100 = 565.367*100= 153,95 %

в) Относительную величину выполнения плана по товарообороту (сравнения реально достигнутых результатов с намеченными ранее )вычисляем как отношение достигнутого уровня в текущем периоде к плану на этот же период:

Ф₁ – достигнутый уровень в текущем периоде; П – план на этот же период.

Ф₁ =565,0 млн. руб.; П = 550,0 млн. руб.;

= 102,72 %

Пример 2.3. Потребление электроэнергии в области характеризуется следующими данными: 2006 г. – 70,1 млрд. кВт∙ч; 2007 г. – 76,8 млрд. кВт∙ч. Численность населения области составила: на 1 января 2006 г. – 9,2 млн. чел.; на 1 января 2007 г. – 9,5 млн.чел.; на 1 января 2008 г. – 9,8 млн. чел.

Определить, на сколько процентов изменится потребление электроэнергии на душу населения.

Решение:

Потребление электроэнергии на душу населения определим по следующей формуле:

, где А - потребление электроэнергии за год,

N_ср – среднегодовая численность населения.

Запишем данные из условия задачи:

А₂₀₀₆ = 70,1 млрд. кВт∙ч; А₂₀₀₇ = 76,8 млрд. кВт∙ч;

Данные по численности на 1 января соответствующего года.

N₂₀₀₆ = 9,2 млн. чел.; N₂₀₀₇ = 9,5 млн. чел.; N₂₀₀₈ = 9,8 млн. чел.;

Получаем для 2006 г.:

для 2007 г.:

Тогда относительная величина динамики:

ОПД = Y₂/Y₁*100 = 7958/7497*100 = 106,15 %

Т.е. потребление электроэнергии на душу населения увеличится на 6,15 %.

Me

Рис. 3. Кумулята распределения предприятий по числу цехов.

Средние величины

Пример 3.1. По данным задачи (2.1) определить средний фактический выпуск продукции по фирме в целом.

Решение:

Определим средний фактический выпуск продукции по фирме в целом по формуле средней арифметической взвешенной:

, где w_i – вес (отпускная цена) i – ой продукции

Ф_i – фактический выпуск i – ой продукции

Возьмем данные из задания 2.1:

Ф₁ = 480 тыс. шт.; Ф₂ = 291 тыс. шт.; w₁ = 2200 руб.; w₂ = 2700 руб.;

Тогда

Пример 3.2. Используя данные задачи 1.1, определить: среднюю заработную плату одного рабочего; модальное и медианное значение затрат на производство.

Решение:

Внесем данные задачи 1.1. в таблицу 1 и рассчитаем среднюю заработную плату одного рабочего для каждого предприятия (группы):

, где - средняя заработная плата одного рабочего в группе (на предприятии), N – количество рабочих на предприятии

Теперь занесем данные в таблицу и рассчитаем среднюю групповую зарплату, т.е. среднюю заработную плату одного рабочего по всем предприятиям:

, где n – количество предприятий

Тогда

Таблица 1.

Предприятия	Число рабочих, чел.	Объем производства, тыс. шт.	Затраты на производство, млн. руб.	Фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя з/п на 1 рабочего
1	480	980	116,0	4608,0	9,6
2	260	540	66,8	3026,4	11,64
3	130	280	39,3	1950,0	15
4	190	400	52,8	2622,0	13,8
5	130	280	36,0	1612,0	12,4
6	420	860	94,0	4914,0	11,7
7	410	840	92,5	4456,7	10,87
8	350	720	80,7	3430,0	9,8
9	460	940	102,4	7005,8	15,23
10	210	440	56,0	2982,0	14,2
11	370	760	83,2	3947,9	10,67
12	180	380	46,7	2754,0	15,3
13	210	440	56,0	2520,0	12
14	380	780	94,0	5130,0	13,5
15	370	760	91,4	4329,0	11,7
16	110	240	34,0	1364,0	12,4
17	400	820	90,6	6000,0	15
18	340	700	78,6	4080,0	12
19	310	640	78,6	3887,4	12,54
20	250	520	66,8	2882,5	11,53
Σ					250,88

Модальное и медианное значение затрат на производство рассчитано в примере 1.1.

Пример 3.3. Известны данные о перевозке грузов по автотранспортному предприятию: январь – 35 тыс. т.; февраль – 37 тыс. т.; март – 42 тыс. т.; апрель – 45 тыс. т. Определить среднемесячный темп роста объема грузовых перевозок..

Решение:

Обозначим:

P₁ = 35 тыс. т.; P₂ = 37 тыс. т.; P₃ = 42 тыс. т.; P₄ = 45 тыс. т.;

Коэффициенты роста объема грузовых перевозок с переменной базой определяются следующим образом:

T_p1 = P₂/ P₁ = 37/35 = 1,057;

T_p2 = P₃/ P₂ = 42/37 = 1,135;

T_p1 = P₄/ P₃ = 45/42 = 1,071;

Тогда среднемесячный темп роста объема грузовых перевозок определится по формуле средней геометрической:

, т.е.

= 1,087 или 108,7 % (средний темп роста)

Пример 4.1. Распределение торговых фирм по размеру месячного товарооборота характеризуется следующими данными:

Таблица 4

Товарооборот, млн. руб.	До 5	5-10	10-15	15-20	20-25	25 и более	Итого
Число фирм	20	26	20	14	10	10	100

Определить средний размер месячного товарооборота на одну фирму.

Решение:

Для расчета будем использовать формулу средней арифметической взвешенной:

, где x’ – товарооборот; f – число фирм

Для каждого интервала предварительно вычислим среднее значение признака как полусумму нижнего и верхнего значений интервала. Величина открытых интервалов приравнивается к величине примыкающих к ним соседних интервалов:

Тогда

= (2,5*20+7,5*26+12,5*20+17,5*14+22,5*10+27,5*10)/2

12,4 млн. руб. - средний размер месячного товарооборота на одну фирму.

Пример 4.2. Определить за какой месяц и на сколько процентов была выше средняя месячная заработная плата работников предприятия, если известно:

Таблица 5

Цеха	Сентябрь		Октябрь
	Численность работников	Средняя месячная заработная плата одного работника, руб.	Средняя месячная заработная плата одного работника, руб.	Фонд заработной платы, руб.
1	130	6800	6850	924750
2	140	7300	7140	999600
3	170	6970	6975	1185750

Решение:

Введем условные обозначения для сентября:

f – численность работников по каждому цеху;

x - средняя месячная заработная плата работников каждого цеха.

Определяющий показатель – общий фонд заработной платы Σx f.

Средняя месячная заработная плата работников предприятия за сентябрь составила:

7024,77 руб.

Условные обозначения для октября следующие:

w – фонд заработной платы по каждому цеху;

x - средняя месячная заработная плата работников каждого цеха.

Определяющий показатель – общий фонд заработной платы Σw.

Среднюю месячную заработную плату работников предприятия за октябрь вычисляем по формуле средней арифметической взвешенной:

6988,98 руб.

Динамика средней месячной заработной платы работников

0,9949 или 99,49 %

Следовательно, средняя месячная заработная плата работников предприятия в октябре понизилась на 0,51 % по сравнению с сентябрем.

Пример 4.3. При изучении покупательского спроса в обувных отделах торгового комплекса «Москва» получены следующие данные о распределении продаж мужской летней обуви по размерам:

Таблица 6

Размер	38	39	40	41	42	43	44	Итого
Число проданных пар	4	4	8	13	19	8	4	60

Проведите частотный анализ распределения и сделайте выводы. Для этого:

1) замените групповые частоты частостями;

2) для каждой группы определите кумулятивные частости;

3) постройте кумуляту распределения.

Решение:

Занесем данные (варианты и групповые частоты) задания в таблицу 7.

Далее находим частости (w_i =n_i/n) как отношение частоты к объему совокупности. И, наконец, суммированием частот всех предшествующих интервалов определяем кумулятивные частости F_i. Результаты также заносим в таблицу 7.

Таблица 7

Размер (варианта), i	Число проданных пар (частота), ni	Частости, wi	Кумулятивные частости, Fi
38	4	0,07	0,07
39	4	0,07	0,13
40	8	0,13	0,27
41	13	0,22	0,48
42	19	0,32	0,80
43	8	0,13	0,93
44	4	0,07	1,00
Σ	60	1

Построим график распределения кумулятивных частостей (рис. 4.)

i

Р

ис. 4. График кумуляты распределения.

Статистическое изучение вариации

Пример 5.1. По данным задачи (1.2) вычислить показатели вариации. Сделать выводы.

Решение:

Построим таблицу 1 и внесем туда часть данных из задания 1.2.

Рассчитаем середины интервалов x, произведение xf и внесем эти данные в таблицу 1.

Среднее значение определим по формуле средней арифметической взвешенной

Таблица 1

Группы предприятий по суммам затрат на производство, млн. руб. (границы интервалов группы)		Количество предприятий в группе (fi)	Середина интервала (х)	хf
xi (ниж.)	xi (верх.)
34	50,4	4	42,2	168,80	-31,98	1022,72	4090,88
50,4	66,8	3	58,6	175,80	-15,58	242,74	728,21
66,8	83,2	5	75	375,00	0,82	0,67	3,36
83,2	99,6	6	91,4	548,40	17,22	296,53	1779,17
99,6	116	2	107,8	215,60	33,62	1130,30	2260,61
Σ		20					8862,232

Произведем расчет показателей вариации, используя данные таблицы 1:

1) Размах вариации = 116 – 34 =82 тыс. руб

2) дисперсия:

3) СКО:

4) КВ (коэффициент вариации) :

Пример 5.2. Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 10 кустах винограда:

Таблица 7

Сорт	Число кустов	Урожай с одного куста, кг.
		1	2	3	4	5
Изабелла	3	6	5	7	–	–
Мускат	5	7	6	8	5	9
Лидия	2	9	7	–	–	–

С помощью эмпирического корреляционного соотношения определить степень влияния признака, положенного в основу группировки на вариацию результативного показателя. Сформулировать выводы.

Решение:

Для решения задания составим новую таблицу 7.2, в которую внесем суммарные данные по объему урожая для каждого сорта.

Рассчитаем для каждой группы средние значения , произведение и внесем эти данные в таблицу 7.2.

Групповое среднее значение определим по формуле средней арифметической взвешенной

Таблица 7.2

Сорт	Число кустов (f)	Урожай в целом, кг (xf)	Урожай в среднем на один куст, кг (x)
Изабелла	3	18	6	-0,9	0,81	2,43
Мускат	5	35	7	0,1	0,01	0,05
Лидия	2	16	8	1,1	1,21	2,42
Сумма	10	69				4,9
Среднее			6,9

Вычислим межгрупповую дисперсию по формуле:

Теперь вычислим общую дисперсию урожайности винограда на основе индивидуальных (несгруппированных) данных по формуле

Для этого создадим таблицу 7.3. и внесем туда данные из таблицы 7.

Таблица 7.3

Урожай с одного куста, кг. (y)	y2
6	36
5	25
7	49
7	49
6	36
	0
8	64
5	25
9	81
9	81
7	49
Σ	495

тогда эмпирический коэффициент детерминации:

или 25,92%

Коэффициент детерминации говорит о том, что вариация урожайности винограда на 25,92% зависит от вариации сорта винограда и на 74,08% от прочих факторов.

Исходя из значений таблицы Чеддока можно заключить, что эмпирическое корреляционное отношение свидетельствует о заметной силе связи между сортом винограда и его урожайностью.

Пример 5.3. Имеются следующие данные о балансовой прибыли предприятий за два квартала:

Таблица 8

Квартал	Число предприятий	Балансовая прибыль, млн. руб.
I	3	18,4; 38,8; 72,6
II	4	14,1; 16,3; 48,8; 27,9

Определите:

1) среднюю из внутригрупповых, межгрупповую и общую дисперсию балансовой прибыли предприятия;

2) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

Решение:

1. Для решения задания составим новую таблицу 8.2, в которую внесем суммарные данные по объему урожая для каждого сорта.

Рассчитаем для каждой группы средние значения , произведение и внесем эти данные в таблицу 8.2.

Групповое среднее значение определим по формуле средней арифметической взвешенной

Таблица 8.2

Квартал	Число предприятий(f)	Балансовая прибыль всего, (xf)	Балансовая прибыль в группе в среднем, млн. руб. (x)
I	3	129,80	43,27	9,42	88,81	266,42
II	4	107,10	26,78	-7,07	49,95	199,82
Сумма	7	236,90				466,24
Среднее			33,84

Вычислим внутригрупповую дисперсию внутри 1-ой и 2-ой группы:

, где - групповая средняя.

Для расчетов используем таблицу 8.3

Таблица 8.3

Квартал	Балансовая прибыль предприятия млн. руб. (x)	x2
I	18,4	338,56	-24,87	618,35
	38,8	1505,44	-4,47	19,95
	72,6	5270,76	29,33	860,44
Сумма				1498,75
Среднее	43,27
II	14,1	198,81	-12,68	160,66
	16,3	265,69	-10,48	109,73
	48,8	2381,44	22,03	485,10
	27,9	778,41	1,13	1,27
Сумма				756,75
Среднее	26,78
Сумма всего		388,8195918

Тогда

= 499,58

= 189,19

Средняя из внутригрупповых дисперсий исчисляется как

, где f – частота появления внутригрупповой дисперсии одной величины (одного размера).

= 322,21

Вычислим межгрупповую дисперсию, используя данные из таблицы 8.2. по формуле:

Теперь вычислим общую дисперсию балансовой прибыли на основе индивидуальных (несгруппированных) данных, используя данные таблицы 8.2 и 8.3 по формуле

=

Это же значение можно получить, используя формулу:

= 322,21 + 66,61 = 388,2

2) эмпирический коэффициент детерминации:

или 17,13%

Тогда эмпирическое корреляционное отношение

Коэффициент детерминации говорит о том, что вариация балансовой прибыли на 17,13% зависит от вариации квартала и на 82,87% от прочих факторов.

Исходя из значений таблицы Чеддока можно заключить, что эмпирическое корреляционное отношение свидетельствует об умеренной силе связи между номером квартала и балансовой прибылью предприятия.

Пример 5.4. Удельный вес основных рабочих в трех цехах предприятия составил: 70, 75, и 95% общей численности рабочих.

Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли основных рабочих по предприятию в целом, если численность всех рабочих трех цехов составило соответственно 150, 250 и 200 человек соответственно.

Решение:

Рабочие предприятия подразделяются на две группы: основные и ремонтно-вспомогательные рабочие.

Общая численность основных рабочих по предприятию в целом составит:

Σn₀ = 0,7 • 150 + 0,75 • 250 + 0,95 • 200 = 482,5 ≈ 483 человека.

Доля основных рабочих по предприятию

р = Σn₀ / Σn = 483/(150+250+200) = 0,805.

Дисперсия альтернативного признака

σ² = p*q

где р - доля единиц, обладающих данным признаком (доля основных рабочих);

q - доля единиц, не обладающих данным признаком (доля ремонтно-вспомогательных рабочих).

Поскольку р + q = 1, следовательно, q = 1 - р и формула дисперсии имеет вид:

σ² = p*(1-p) = 0,805*(1-0,805) = 0,157

Среднее квадратическое отклонение доли основных рабочих по предприятию в целом:

= 0,3962

Пример5.5. Распределение семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей характеризуется следующими данными:

Таблица 9

Количество детей в семье	Число семей сотрудников по подразделениям
	1-е	2-е	3-е
0	4	7	5
1	6	10	13
2	3	3	3
3	2	1	-

Определите:

1) внутригрупповые дисперсии;

2) среднюю из внутригрупповых дисперсий;

3) межгрупповую дисперсию;

4) общую дисперсию.

Проверьте правильность произведённых расчётов с помощью правила сложения дисперсий и рассчитайте эмпирическое корреляционное отношение.

Решение:

Для расчета общей дисперсии составим дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты поместим в таблицу 9.2.

Таблица 9.2

Число семей, (x)	Количество повторов числа семей, (f)	xf
1	1	1,00	-4,18	17,49	17,49
2	1	2,00	-3,18	10,12	10,12
3	3	9,00	-2,18	4,76	14,28
4	1	4,00	-1,18	1,40	1,40
5	1	5,00	-0,18	0,03	0,03
6	1	6,00	0,82	0,67	0,67
7	1	7,00	1,82	3,31	3,31
10	1	10,00	4,82	23,21	23,21
13	1	13,00	7,82	61,12	61,12
Сумма	11	57			131,64

Тогда групповое среднее значение определим по формуле средней арифметической взвешенной

57/11 = 5,18

Тогда общая дисперсия будет равна:

131,64/11 = 11,97

Величина этой дисперсии характеризует число семей с количеством детей от 0 до 3 под влиянием всех условий.

Различия в величине изучаемого признака прежде всего возникают под влиянием типа подразделения финансовой корпорации. В связи с этим в совокупности выделяются 3 группы по номеру подразделения. Определим для каждой из выделенных групп внутригрупповую дисперсию, возникающую под влиянием неучтенных факторов. Для их расчета используем вспомогательные таблицы 9.3 (1-е подразделение), 9.4 (2-е подразделение) и 9.5 (3-е подразделение):

Таблица 9.3.

Количество детей в семье	Число семей, (x)	Количество повторов числа семей, (f)	xf
0	4	1	4,00	0,25	0,06	0,06
1	6	1	6,00	2,25	5,06	5,06
2	3	1	3,00	-0,75	0,56	0,56
3	2	1	2,00	-1,75	3,06	3,06
Сумма	15	4	15			8,75

15/4 = 3,75

Дисперсия будет равна:

8,75/4 = 2,19

Таблица 9.4

Количество детей в семье	Число семей, (x)	Количество повторов числа семей, (f)	xf
0	7	1	7,00	1,75	3,06	3,06
1	10	1	10,00	4,75	22,56	22,56
2	3	1	3,00	-2,25	5,06	5,06
3	1	1	1,00	-4,25	18,06	18,06
Сумма	21	4	21			48,75

48,75/4 = 5,25

Дисперсия будет равна:

48,75/4 = 12,19

Таблица 9.5

Количество детей в семье	Число семей, (x)	Количество повторов числа семей, (f)	xf
0	5	1	5,00	-2,00	4,00	4,00
1	13	1	13,00	6,00	36,00	36,00
2	3	1	3,00	-4,00	16,00	16,00
3	0	0	0,00	-7,00	49,00	0,00
Сумма	21	3	21			56,00

21/3 = 7

Дисперсия будет равна:

56/3 = 18,67

Средняя из внутригрупповых дисперсий исчисляется как

, где f – частота появления внутригрупповой дисперсии одной величины (одного размера).

= 10,32

Вычислим межгрупповую дисперсию, используя данные, полученные выше, по формуле:

1,65

Проверим правильность расчета с помощью правила сложения дисперсий, используя формулу:

= 10,32 + 1,65 = 11,97 , что совпадает со значением общей дисперсии, рассчитанной выше.

Определим эмпирический коэффициент детерминации:

0,1378 или 13,78%

Тогда эмпирическое корреляционное отношение

0,3712

Коэффициент детерминации говорит о том, что вариация числа сотрудников на 13,78% зависит от вариации подразделения и на 86,22% от прочих факторов.

Исходя из значений таблицы Чеддока можно заключить, что эмпирическое корреляционное отношение свидетельствует об умеренной силе связи между числом сотрудников и номером подразделения.

Пример 5.6. Дисперсия признака равна 800. Объем совокупности 16. Сумма квадратов индивидуальных значений признака 14096. Найти среднюю величину.

Решение:

Для нахождения средней величины воспользуемся формулой

, где

- средняя арифметическая из квадратов индивидуальных значений признака;

- квадрат среднего значения признака.

Тогда

881

Средняя величина признака:

9

Статистическое изучение динамики

Пример 6.1. Ввод в действие жилых домов предприятиями всех форм собственности в одном из регионов в 1996 – 2003 гг. характеризуется следующими данными (млн. кв. метров общей площади):

Таблица 16

1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003
17	18	19	20	21	20	22	23

Для анализа ряда динамики определите:

1) цепные и базисные:

а) абсолютные приросты;

б) темпы роста;

в) темпы прироста;

г) среднегодовой темп прироста;

2) найдите для каждого года абсолютное значение 1% прироста;

3) в целом за весь период рассчитайте среднегодовой абсолютный прирост.

Результаты расчетов оформите в таблице и сделайте выводы.

Решение: