- •10 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •11!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
- •12!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Общее Частное Базисное решения
- •13!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Собственные векторы и собственные значения
- •Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
- •14 !!!!!!!! Линейная модель многоотраслевой экономики Леонтьева
- •15!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Операции над векторами Умножение вектора на число
- •16 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Определение линейной зависимости системы векторов
13!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Собственные векторы и собственные значения
Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n. Определение. Многочлен n-ой степени
P()=det(A-Е) (1.1)
называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы. Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию
А(х)=х, (1.2)
называется собственным вектором преобразования A. Число называется собственным значением. Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:
Ах=х, (1.3)
где A – матрица преобразования, x – координатный столбец. Определение. Алгебраической кратностью собственного значения jназывается кратность корня j характеристического многочлена. Определение. Совокупность всех собственных значений называетсяспектром матрицы.
Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
Найти собственные значения матрицы:
записать характеристическое уравнение:
det(A-Е)=0; (1.4)
найти его корни j, j=1,...,n и их кратности.
Найти собственные векторы матрицы:
для каждого j решить уравнение
(A- jE)x=0; (1.5)
найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению j.
14 !!!!!!!! Линейная модель многоотраслевой экономики Леонтьева
Каждая отрасль многоотраслевого хозяйства с одной стороны является производите-лем определенной продукции, а с другой – потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует, чтобы соблюдался баланс по производству и потреблению между отдельными отраслями. Балансовый принцип связи различных отраслей состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления. В простейшей форме балансовые соотношения имеют вид xi=xi1 + xi2 + … + xin + yi , i=1, 2, …, n. где xi – общий объем выпускаемой продукции i–й отрасли; xij – объем продукции i–й отрасли, потребляемый j –й отраслью при производстве объема продукции xj; yi – объем продукции i–й отрасли конечного потребления (для реализации а непро-изводственной сфере). Для производства продукции j –й отрасли объемом xi нужно использовать продукцию i –й отрасли объемом aijxi , где аij – постоянное число, характеризующее прямые затраты. Это допущение позволяет представить модель многоотраслевой экономики в виде системы линейных уравнений, которая в матричной форме имеет вид ,
где x- вектор валового выпуска;
y- вектор объема продукции конечного потребления;
A - матрица коэффициентов прямых затрат. Приведенная система уравнений может быть представлена в виде, где E – единичная матрица. Если существует обратная матрица(матрица полных затрат), то существует единственное решение системы. Из экономической теории известно несколько критериев продуктивности матрицы А:
1) матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и ее элементы неотрицательны;
2) матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не больше единицы, при чем хотя бы для одного столбца (строки) строго меньше единицы.