13!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Собственные векторы и собственные значения
Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n. Определение. Многочлен n-ой степени
P()=det(A-Е) (1.1)
называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы. Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию
А(х)=х, (1.2)
называется собственным вектором преобразования A. Число называется собственным значением. Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:
Ах=х, (1.3)
где A – матрица преобразования, x – координатный столбец. Определение. Алгебраической кратностью собственного значения jназывается кратность корня j характеристического многочлена. Определение. Совокупность всех собственных значений называетсяспектром матрицы.
Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
Найти собственные значения матрицы:
записать характеристическое уравнение:
det(A-Е)=0; (1.4)
найти его корни j, j=1,...,n и их кратности.
Найти собственные векторы матрицы:
для каждого j решить уравнение
(A- jE)x=0; (1.5)
найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению j.
14 !!!!!!!! Линейная модель многоотраслевой экономики Леонтьева
Каждая
отрасль многоотраслевого хозяйства с
одной стороны является производите-лем
определенной продукции, а с другой –
потребителем продукции, выпускаемой
другими отраслями. Макроэкономика
функционирования многоотраслевого
хозяйства требует, чтобы соблюдался
баланс по производству и потреблению
между отдельными отраслями. Балансовый
принцип связи различных отраслей состоит
в том, что валовой выпуск i-й отрасли
должен быть равен сумме объемов
потребления. В простейшей форме балансовые
соотношения имеют вид xi=xi1 +
xi2 +
… + xin +
yi ,
i=1, 2, …, n. где xi –
общий объем выпускаемой продукции i–й
отрасли; xij –
объем продукции i–й отрасли, потребляемый
j –й отраслью при производстве объема
продукции xj; yi –
объем продукции i–й отрасли конечного
потребления (для реализации а
непро-изводственной сфере). Для
производства продукции j –й отрасли
объемом xi нужно использовать продукцию
i –й отрасли объемом aijxi ,
где аij –
постоянное число, характеризующее
прямые затраты. Это допущение позволяет
представить модель многоотраслевой
экономики в виде системы линейных
уравнений, которая в матричной форме
имеет вид 
,
где x- вектор валового выпуска;
y- вектор объема продукции конечного потребления;
A
- матрица коэффициентов прямых затрат.
Приведенная система уравнений может
быть представлена в виде
,
где E – единичная матрица. Если существует
обратная матрица
(матрица
полных затрат), то существует единственное
решение системы
.
Из экономической теории известно
несколько критериев продуктивности
матрицы А:
1) матрица
А продуктивна тогда и только тогда,
когда матрица 
существует
и ее элементы неотрицательны;
2) матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не больше единицы, при чем хотя бы для одного столбца (строки) строго меньше единицы.