Labs Matlab / Lab3 / sistema
.htmРешение системы линейных алгебраических уравнений Решение системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ в матричной форме записывается в виде
AX = B, (1)
где
В скалярной форме записи
Система (1) имеет единственное решение, если
.
1. Нормы векторов и матриц 1.1. Нормы векторов Определение. Пусть имеется n - мерное пространство вещественных чисел . Если для любого вектора существует число такое, что:
1) , причем ;
2) , где aÎR;
3) , ‑ неравенство треугольника;
то называется нормой вектора X.
Чаще всего используются следующие нормы:
1. max-норма, или m - норма:
; (2)
2. l-норма:
; (3)
3. Евклидова норма:
. (4)
Далее будем всюду считать, что в пространстве введена некоторая норма (например, одна из норм (2-4)). Выбор конкретной нормы в практических задачах определяется тем, какие требования предъявляются к точности решения.
Определение. Пусть X* – точное значение вектора, X ‑ приближенное значение. Определим абсолютную и относительную погрешность вектора X*:
, . (5)
1.2. Нормы матриц Согласованные с (2)-(4) нормы матрицы A:
1. max-норма, или m - норма:
; (6)
2. l-норма:
; (7)
3. Евклидова норма:
. (8)
Свойства норм матриц.
1) , причем ;
2) , где aÎR;
3) ;
Дополнительно верны следующие свойства:
4) ;
5) , здесь X – вектор.
Пример. Пусть
.
;
;
.
1.3. Вычисление норм в MATLAB 1. max-норма, или m - норма:
nm = norm(A, inf);
2. l-норма:
nl = norm(A,1);
3. Евклидова норма:
ne = norm(A) = norm(A, 2).
2. Метод простых итераций При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В таких случаях более эффективным способом численного решения уравнений является метод итерации.
Пусть дано уравнение (1)
.
Заменим его равносильным уравнением
. (9)
Здесь
; .
Вычислительная формула метода простых итераций:
. (10)
Если последовательность имеет предел , то этот предел является решением системы (10).
Теорема. Если , то система уравнений (9) имеет единственное решение и итерационный процесс (10) сходится к решению независимо от начального приближения.
Критерий окончания итерационного процесса: .
Здесь e - заданная точность вычислений. В качестве решения берется величина Xn.
Первый способ приведения AX = B к виду (9)
Предполагая, что разрешим первое уравнение системы (1) относительно , второе – относительно , , n ‑-ое уравнение – относительно . В результате получим
, (11)
где ; при . Система (9) в матричной форме имеет вид (9).
При таком способе получения уравнения (9) справедливо следствие из теоремы 1, определяющее условие сходимости итерационного процесса.
Следствие. Для системы
метод итераций сходится, если выполнены неравенства
, . (12)
Выражение (12) означает, что в матрице A в каждой строке диагональный элемент по модулю больше суммы модулей остальных элементов строки. Если данное условие не выполняется, необходимо соответствующим образом преобразовать СЛАУ. Это можно сделать, выполнив эквивалентные преобразования системы:
· перестановка строк;
· линейная комбинация строк.
Пример. Дана система уравнений.
.
Привести ее к виду, пригодному для решения методом простых итераций первым способом.
Условие (12) не выполняется ни в одной из строк. Поместим строку (c) на первое место:
.
Теперь для первой и третьей строки условие (12) выполняется. В качестве третьей строки возьмем линейную комбинацию (c) – (a):
.
Данную систему уже можно приводить к виду (9):
.
Т.о.
, .
В качестве нулевого приближения примем .
Второй способ приведения AX = B к виду (9)
В предыдущем способе обязательным условием являлось выполнение неравенства (12). Во многих случаях это далеко не просто. Во втором способе любую невырожденную систему уравнений AX = B всегда можно заменить эквивалентной системой так, что условие сходимости будет выполняться.
Для этого умножим уравнение AX = B на матрицу D = А–1 – D, где D – матрица с малыми по модулю элементами. Последовательно получим:
;
;
.
Обозначим
; .
В результате получим систему вида
.
Очевидно, что если элементы матрицы D выбрать достаточно малыми по модулю, то можно обеспечить выполнение условия
.
Т.е. для сходимости итерационного процесса необходимо выполнение условия
или .