Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Labs Matlab / Lab3 / sistema

.htm
Скачиваний:
51
Добавлен:
01.06.2015
Размер:
61.94 Кб
Скачать

Решение системы линейных алгебраических уравнений Решение системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ в матричной форме записывается в виде

AX = B,                                                                                           (1)

где

В скалярной форме записи

Система (1) имеет единственное решение, если

.

1. Нормы векторов и матриц 1.1. Нормы векторов Определение. Пусть имеется n - мерное пространство вещественных чисел . Если для любого вектора  существует число  такое, что:

1)    , причем ;

2)    , где aÎR;

3)    , ‑ неравенство треугольника;

то  называется нормой вектора X.

Чаще всего используются следующие нормы:

1. max-норма, или m - норма:

;                                                                                   (2)

2. l-норма:

;                                                                                      (3)

3. Евклидова норма:

.                                                                                 (4)

Далее будем всюду считать, что в пространстве  введена некоторая норма  (например, одна из норм (2-4)). Выбор конкретной нормы в практических задачах определяется тем, какие требования предъявляются к точности решения.

Определение. Пусть X* – точное значение вектора, X ‑ приближенное значение. Определим абсолютную и относительную погрешность вектора X*:

                   ,            .                                         (5)

 

1.2. Нормы матриц Согласованные с (2)-(4) нормы матрицы A:

1. max-норма, или m - норма:

;                                                                          (6)

2. l-норма:

;                                                                           (7)

3. Евклидова норма:

.                                                                             (8)

Свойства норм матриц.

1)    , причем ;

2)    , где aÎR;

3)    ;

Дополнительно верны следующие свойства:

4)    ;

5)    , здесь X – вектор.

Пример. Пусть

.

;

;

.

1.3. Вычисление норм в MATLAB 1. max-норма, или m - норма:

nm = norm(A, inf);

2. l-норма:

nl = norm(A,1);

3. Евклидова норма:

ne = norm(A) = norm(A, 2).

2. Метод простых итераций При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В таких случаях более эффективным способом численного решения уравнений является метод итерации.

Пусть дано уравнение (1)

.

Заменим его равносильным уравнением

          .                                                                                      (9)

Здесь

;        .

Вычислительная формула метода простых итераций:

.                                                                           (10)

Если последовательность  имеет предел , то этот предел является решением системы (10).

Теорема. Если , то система уравнений (9) имеет единственное решение и итерационный процесс (10) сходится к решению независимо от начального приближения.

          Критерий окончания итерационного процесса:  .

 

Здесь e - заданная точность вычислений. В качестве решения берется величина Xn.

Первый способ приведения AX = B к виду (9)

Предполагая, что  разрешим первое уравнение системы (1) относительно , второе – относительно ,   , n ‑-ое уравнение – относительно . В результате получим

,                                         (11)

где ;  при . Система (9) в матричной форме имеет вид (9).

 

При таком способе получения уравнения (9) справедливо следствие из теоремы 1, определяющее условие сходимости итерационного процесса.

Следствие. Для системы

метод итераций сходится, если выполнены неравенства

                   , .                                                                      (12)

Выражение (12) означает, что в матрице A в каждой строке диагональный элемент по модулю больше суммы модулей остальных элементов строки. Если данное условие не выполняется, необходимо соответствующим образом преобразовать СЛАУ. Это можно сделать, выполнив эквивалентные преобразования системы:

·        перестановка строк;

·        линейная комбинация строк.

Пример. Дана система уравнений.

.

Привести ее к виду, пригодному для решения методом простых итераций первым способом.

Условие (12) не выполняется ни в одной из строк. Поместим строку (c) на первое место:

          .

Теперь для первой и третьей строки условие (12) выполняется. В качестве третьей строки возьмем линейную комбинацию (c) – (a):

          .

Данную систему уже можно приводить к виду (9):

          .

Т.о.

          ,        .

В качестве нулевого приближения примем .

Второй способ приведения AX = B к виду (9)

В предыдущем способе обязательным условием являлось выполнение неравенства (12). Во многих случаях это далеко не просто. Во втором способе любую невырожденную систему уравнений AX = B всегда можно заменить эквивалентной системой так, что условие сходимости будет выполняться.

Для этого умножим уравнение AX = B на матрицу D = А–1 – D, где D – матрица с малыми по модулю элементами. Последовательно получим:

;

;

.

Обозначим

          ;      .

В результате получим систему вида

           .

Очевидно, что если элементы матрицы D выбрать достаточно малыми по модулю, то можно обеспечить выполнение условия

.

Т.е. для сходимости итерационного процесса необходимо выполнение условия

           или .

Соседние файлы в папке Lab3