1. 3.2 Законы логики

Логикой называется наука о способах представления результатов мышления, способах доказательных рассуждений. Любое рассуждение состоит из высказываний. Истинность сложного высказывания, вообще говоря, зависит от истинности элементарных высказываний. Но существует такие сложные высказывания, которые истинны всегда, вне зависимости от истинности элементарных высказываний. Они называются законами логики. Рассмотрим некоторые из них.

I группа – законы, которые нельзя доказать, пользуясь таблицами истинности.

Закон тождества =(или). Предмет рассмотрения не должен меняться в ходе рассмотрения.

Пример. 2 и 3 числа. Числа бывают чётные и нечётные. 2 – чётное, 3 –нечётное. Но 2 и 3 есть 5. Следовательно 5 и чётно и нечётно одновременно. (изменился смысл «и»)

Закон достаточного основания. Любое высказывание должно быть достаточно обосновано. Этот закон запрещает ссылки при доказательстве на личное мнение, авторитеты, божественное откровение и пр.

Закон построения отрицания.  ~ . Неверно, что для любоговыполняется условие, эквивалентно тому, что существует такой, что условиедля него не выполняется. Правило построения отрицания для предложений, начинающихся с кванторов заключается в следующем: кванторзаменяется на, кванторзаменяется на, знак отрицания переносится на предложение, стоящее за всеми кванторами.

II группа – законы, которые доказываются, используя таблицы истинности. Их формулировка всегда начинается со значка – «тавтология», т.е. «всегда истинно».

Перечислим некоторые из них:

1. Закон исключённого третьего:

2. Закон исключения противоречий:  .

3. Закон двойного отрицания:   .

4. Закон Моргана: ~.

5. Дизъюнктивная форма импликации: ~.

6. Закон отрицания импликации: ~.

7. Закон транзитивности: .

8. Закон контрапозиции: ~.

9. Закон отрицания эквивалентности: ~.

10. Закон образования лжи: .

Методы доказательств

Определение 9. Та мысль, для обоснования истинности или ложности которой строится доказательство, называется тезисом. Тезис доказывается, исходя из некоторого основания с помощью доводов, связанных между собой и тезисом некоторой логической связью.

Поэтому любое доказательство можно представить в виде логической цепочки . Ошибки в доказательствах бывают в основном 5 типов:

1. ошибочен тезис;

2. ошибочно основание;

3. ошибочны доводы;

4. логическое самопересечение цепочки рассуждений:

;

5. некорректное использование законов логики (правил вывода).

Чтобы избежать ошибки в тезисе, надо чётко уяснить себе, что же именно доказывается, и помнить о законе тождества. Ошибки в основании и доводах – это или ложное, или произвольное основание (довод). Для избежания ошибок типа логического самопересечения (от лат. circulus vitiosus – порочный круг) математика имеет строго иерархическую структуру, о которой поговорим позже. Нас сейчас интересует корректные методы рассуждений. Перечислим некоторые из них.

1. Modus ponens (подтверждающая форма): .

Читается: истинно, что из следует; имеет место. Следовательно, имеет место.

Пример. «Если у человека температура, то он болен. У человека температура. Следовательно, он болен». (Это не означает, что если температуры нет, то человек здоров.)

Определение 10.В этом случае говорят, что есть достаточное условиеили достаточное, но не необходимое условие(как в нашем примере).называетсяпризнаком .

2. Modus tollens (отрицающая форма) - закон контрапозиции: .

Читается: из следует; имеет место. Следовательно, имеет место.

Пример. «Если у человека высокая температура, он болен. Человек здоров. Следовательно, у него нет температуры». Если не выполняется, то не выполняется и(необходимое условие). Но если выполняется, это не значит, что выполняется. (Если человек болен, это не значит, что у него есть температура). В этом случае говорят, чтоестьнеобходимое, но не достаточное условие .

3. Закон эквивалентности : .

В этом случае говорят, что естьнеобходимое и достаточное условие («если и только если») илиестькритерий .

4. Логическая транзитивность: .

Наиболее часто встречаются ошибки при использовании этого правила. Главная из них – нечёткое определение объекта транзитивности.

Пример. Учитель считает, что учится лучше, если в большинстве контрольных работ оценка увыше, чем у. При этом определении термина «лучше» легко привести пример, когдабудет лучше,будет лучше, алучше, чем.

	К1	К2	К3
А	5	4	3
В	4	3	5
С	3	5	4

5. Reductio ad absurdum (закон образования лжи) - доказательство от противного:

Одна из форм:

В этом случае говорят, что если из следует и, и не, то- ложь.

Ещё одна форма: требуется доказать, что из следует.

Пусть имеет место , но не имеет место. Применяя закон логической транзитивности, строим цепочку, т.е. из. Следовательно, по закону контрапозиции. Если в доказательстве используется одна из форм образования лжи, то перед началом ставится значок(ad absurdum). Пример применения этого закона будет ниже.

6. Метод математической индукции. Применяется для высказываний, зависящих от натурального параметра . Докажем следующую теорему:

Теорема 4. Утверждение справедливо, если:

1. справедливо при ;

2. из справедливости для произвольногоследует справедливость его для.

. Пусть утверждения 1 и 2 выполняются, но справедливо не для всех. Так как,справедливо при(утверждение 1), то существует такое, где, при которомне справедливо, причёмещё справедливо. Положив, мы получим противоречие с утверждением 2. ■

Для применения метода математической индукции следует сделать следующие операции:

1. Ставится «математический эксперимент», и получают .

2. Делается предположение о виде формулы .

3. Проверяется утверждение 1 (фактически на первом этапе).

4. Доказывается утверждение 2.

Пример. Помимо утверждений, связанных с натуральными числами, методом математической индукции хорошо доказывать неравенства, признаками делимости и т.д.

Докажем, например, методом математической индукции, что ,.

1. При имеем.

2. , тогда

, а т.к. и, то. ■

7. В предыдущем примере применён ещё один приём, который называют метод «расчленения»: если ,, то. Этот частный случай логической транзитивности, где промежуточное значениечётко определено.

Пример. Теорема Смоллиана о вечном блаженстве: «Что может быть лучше вечного блаженства? Ничего. А корка сухого чёрного хлеба лучше, чем ничего».

Здесь приведены далеко не все приёмы рассуждений, а лишь те, которые мы будем использовать достаточно часто.

Аксиоматический метод

1. Любое доказательство начинается с основания (посылки). Но основание не должно быть ложным, т.е. его тоже нужно обосновать. По сути дела, доказательство – это дедукция, т.е. переход от более общих утверждений к частным. Доказать – значит установить, что данное утверждение есть следствие более общего, т.е. выводится из него.

2. Самые общие утверждения в математике называют аксиомами (от греч. axios – ценность). Аксиомы – это не положения, истинность которых очевидна (сколько угодно теорем, истинность которых очевидна, доказывается), а просто утверждения, которые удобно из методических или методологических соображений принять за исходные.

3. Аксиоматическое построение теории осуществляется по следующей схеме:

1. перечисляются исходные понятия, которые вводятся без определений;

2. формулируются исходные предложения, выражающие основные свойства и отношения между исходными понятиями, аксиомы и определения.

3. На основе аксиом и определений формулируются остальные предложения теории - теоремы (от греч. teos – божественный). При этом можно использовать ранее доказанные теоремы.

4. Любая теорема должна обладать свойством выводимости (разрешимости), т.е. должен существовать способ получения её из данной системы аксиом.

5. Система аксиом должна быть полной, непротиворечивой, независимой.

Полнота означает, что система аксиом имеет единственную с точностью до интерпретации реализацию, т.е. не существует истинных утверждений, которые нельзя доказать, опираясь на эту систему аксиом. Непротиворечивость означает, что из данной системы аксиом нельзя сделать двух взаимоисключающих друг друга выводов. Другими словами, как бы мы не развивали теорию, базирующуюся на этой аксиоматике, мы не получим противоречий. Независимость означает, что ни одну из аксиом системы нельзя доказать, как теорему, базируясь на остальных. (Это последнее требование, вообще говоря, неважно, т.к. увеличение числа аксиом облегчает построение теории).

Давид Гильберт поставил задачу доказательства непротиворечивости всей математики, «исключив из неё всякого рода метафизику». Исследование программы Гильберта обоснования математики показало, что непротиворечивость любого её раздела можно связать с непротиворечивостью арифметики. Но в 1931 году Курт Гёдель доказал две теоремы.

Теорема 5. Если формально-логическая система, содержащая арифметику, включая и саму арифметику, непротиворечива, то она неполна, т.е. существуют утверждения, сформированные в её исходных понятиях, которые нельзя доказать или опровергнуть.

Теорема 6. Если формально-логическая система, содержащая арифметику, включая и саму арифметику, непротиворечива, то это нельзя доказать средствами и языком любой математической теории, содержащей арифметику.

Таким образом, математику невозможно самообосновать. Её обоснование – в природе человека и в его культуре.

19