Глава I Множества. Логика

1.1. Множества Грядущие поколения будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они излечились. А. Пуанкаре, 1908 год

Определение 1. “Множество – совокупность элементов, обладающих определенными свойствами и связанных между собой или элементами других множеств определёнными отношениями ” (Н. Бурбаки).

Замечание. Подчёркнутые слова не определяются.

Замечание. “Множество есть многое, мыслимое как единое целое” (Г. Кантор – основатель теории множеств).

Определение 2. Задать множество – указать точное правило, с помощью которого о любом элементе можно сказать: является ли он элементом данного множества. Это можно сделать перечислением (для конечных множеств) или указанием характеристического свойства , т.е. такого свойства, которым обладают все элементы задаваемого множества и не обладают никакие элементы никаких других множеств. Обычно множество выделяется из более общего множества, которое называется UNIVERSUM (вселенная) и обозначается буквой U.

Пример. Множество – множество, заданное перечислением; множество– множество элементов, заданное правилом. Например,– множество тех, и только тех действительных, которые не больше двух.

На универсуме U множества обозначаются кругами, которые называются кругами Эйлера. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита, элементы – соответствующими маленькими (рис.1).

Знак означаетпринадлежность и применяется для элементов, –не принадлежать, –принадлежать для множеств. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Определение 3. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначается .

Пример. ; но , так как единственным элементом множества является упорядоченная пара, а множествосостоит из двух элементов: 1 и 2.

Определение 4. Множество естьподмножество множества , еслисправедливо. Обозначается:. Говорят, что множествострого включено во множество, еслисправедливо, что, но.

Определение 5., еслии(т.е. они состоят из одних и тех же элементов).

Пример. , так как единственным элементом множества является множество.

Определение 6. Рассмотрим множество всех подмножеств конечного множества и обозначим его. Таким образом,содержит пустое множествои само множество. Эти подмножества называютсянесобственными, а остальные собственными (собственно говоря, они и есть нетривиальные подмножества).

Пример. Пусть , тогда.

Определение 7. Объединением множеств и((читаетсячашка) называется новое множество, элементами которого являются элементы множестваили элементы множества:(рис.2). Слово “или” употребляется в неразделительном смысле и обозначается значком, который называется “дизъюнкция” (от лат. disjunctio – разобщение, различие). Тогда .

Аналогично даются определения остальных операций над множествами. Мы их просто выпишем.

Определение 8. Пересечение: (читается крышка).

(рис.3). Слово “и” обычно заменяют значком - “конъюнкция” (от лат.conjunctio – союз, связь), и тогда множество описывается так:.

Определение 9. Разность: (рис. 4) - все те элементы множества , которые не являются элементами множества.

Определение 10. Симметрическая разность (дизъюнктивная сумма):

(рис.5).

Определение 11. Дополнением множества до универсума называется множество, состоящее из всех тех элементов универсума, которые не являются элементами множества(рис. 6). Обозначают.

Определение 12. Характеристической функцией множества называется функция.

Легко составить характеристические функции для всех перечисленных операций. Они называются таблицами Буля. С их помощью легко доказываются свойства операций над множествами.

	U
1		0		1		1		1		1		0		0
1		0		1		0		1		0		1		1
1		0		0		1		1		0		0		1
1		0		0		0		0		0		0		0