Геометрический смысл теоремы Ферма

Если функция на отрезке имеет локальный экстремум, то касательная, проведенная к графику функции в этой точке, параллельна оси .

Теорема 2. Теорема Ролля

Пусть непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем .Тогда найдется точка.

Доказательство:

Так как функция непрерывна на отрезке , то по теореме Вейерштрасса она достигает своих наибольшего и наименьшего значений (ТВГ, ТНГ).

Пусть , а. Тогда возможны два случая:

1. Если , то. Тогда.

2. Если , то пусть . Это значит, что на интервале , по крайней мере, в одной точкефункциябудет иметь экстремум, а по теореме Ферма. ■

Замечание. Все условия данной теоремы существенны. (рисунки – 3 шт.).

Теорема 2. Теорема Лагранжа

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда найдется точка.

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию так, чтобы функцияудовлетворяла теореме Ролля, т.е.:

, ,

.

Тогда ,

, . Таким образом,■

Замечание. Геометрический смысл теоремы:

 точка , в которой касательная к графику функции имеет такой же наклон, как и хорда, соединяющая точки и. (Рисунок)

.

Замечание. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Следствие 1. Формула конечного приращения

Если то

где , или.

Следствие 2. Критерий монотонности

Для того, чтобы функция , непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно, чтобы.

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция не убывает на отрезке . Тогда, по определению, имеем . Возьмем любойи придадим ему положительное приращение. Получим.

Достаточность. Пусть . Возьмем точкитакие, чтои применим теорему Лагранжа:, где . Тогда или . Таким образом, получили определение неубывающей функции. ■

Теорема 3. Теорема Коши

Пусть функции инепрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале , причем . Тогдатакая, что.

Доказательство:

Докажем сначала, что . Функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, значит, что. Отсюда.

Введем вспомогательную функцию так, чтобы она удовлетворяла условиям теоремы Ролля.

.

Тогда . Отсюда

.

Таким образом,

или . ■

Замечание. Теорема Коши является наиболее общей теоремой, т.е. теорема Ролля и Лагранжа являются следствиями из теоремы Коши.

Теорема 4. Теорема Бернулли – Лопиталя

Пусть функции инепрерывны и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестноститочки, причем,и. Тогда.

Доказательство:

Рассмотрим окрестность . (Рисунок) Выберем последовательность . Тогда, начиная с некоторого номераN, члены последовательности попадают в эту окрестность. Тогда, так как и, то функцииив точке имеют устранимый разрыв. Доопределим эти функции до непрерывности: ,. Тогда на отрезкеданные функции непрерывны и дифференцируемы на интервале. Таким образом, выполняются все условия теоремы Коши. Это значит, что

, где , или.

Перейдем к пределу при :,

. ■

Замечание. Если не существует, то из этого не следует, что не существует.

Пример. Вычислим

, но не существует.

Пример. Вычислим . Применяя правило Лопиталя, получим .

Замечание. Теорема Лопиталя сформулирована для неопределенности типа и имеет место для неопределенностей типа

Пример. Вычислим . Для этого прологарифмируем функцию . Тогда. Следовательно,.

п. 7 Формула Тейлора

Можно заметить, что чем больше производных совпадают у двух функций в некоторой точке, тем лучше эти функции аппроксимируют (приближают) друг друга в окрестности этой точки. Нас будет интересовать приближение функции в окрестности одной точки с помощью многочленов. Рассмотрим многочлен степени :. Заметим, что. Так как, то

. Аналогично получим ,

.

Определение 1. Функция называетсягладкой порядка в точке на интервале , если она имеет все производные порядкавключительно, причем эти производные являются непрерывными функциями на отрезке. Этот факт обозначается .

Определение 2. Выражение вида

называется формулой Тейлора для функции в окрестности точки.

Теорема 1. Если функция является гладкой порядкав некоторой окрестности точки , то имеет место формула Тейлора для данной функции .

Доказательство:

Пусть имеет место формула Тейлора для функции : , причем

, ,. Обозначим

.

Используя правило Лопиталя, покажем, что . Так как, …,,,

тогда =

=…=. ■

Замечание. В формуле Тейлора первое слагаемое называют главной частью функции, а второе – остаточный член функции .

Если , то формулу Тейлорадля функцииназываютформулой Маклорена.

Остаточный член в виде называют остаточным членом вформе Пеано.

Формула Тейлора используется для того, чтобы приблизить функцию многочленом -й степени в некоторой окрестности точки:

Пример. Разложим многочлен по степеням . Для этого найдем коэффициенты разложения: , ,

, . Тогда

.

Теорема 2. О единственности разложения функции по формуле Тейлора

Если функция в некоторой окрестности точкиимеет разложение по формуле Тейлора, то это разложение единственно.

Доказательство:

. Пусть функция имеет два разложения:

,

.

Вычтем одно из другого и получим:

.

Пусть , тогда. Разделим полученное равенствона . Получим

. Тогда при получим. Рассуждая аналогично, получим. Следовательно,. Таким образом, разложения совпадают. ■

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. можно найти такие две функции, которые будут иметь одинаковые разложения по формуле Тейлора в некоторой окрестности точки .

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена

1. Функция в окрестности точкиимеет разложение, так как. Данное разложение позволяет вычислить.

2. Функция в окрестности точкиимеет разложение, так как.

Аналогично имеют место следующие разложения:

3. ;

4. ;

5. .

п. 8 Исследование функции и построение графиков

Определение 1. Точка , в которой производная равна нулю или не существует, называетсястационарной (критической) точкой функции .

Пример. Рассмотрим функцию . Производная функции не существует в точке . Следовательно, является критической точкой данной функции. (рисунок)

Пусть является критической точкой функции, дифференцируемой в некоторой окрестности этой точки (кроме, может быть, самой точки) и непрерывной в ней. Тогда, если производная меняет знак при переходе через точку, то в этой точке функцияимеет экстремум, а именно, еслименяет знак с “+” на “-”, то- точка максимума; если с “-” на “+”, то- точка минимума. Если производная знак не меняет, то экстремума в точкенет. Таким образом, например, если, то- точка максимума функции. Применим теорему Лагранжа. Так как, то неравенствоимеет место для всехиз левой полуокрестности точки. Так как

, то неравенство имеет место для всехиз правой полуокрестности точки. Таким образом, получили определение точки максимума функции:

Аналогично рассуждая, получим, что если , то- точка минимума функции.

Теорема 1. Если является критической точкой функцииито:

1. если тоточка минимума;

2. если тоточка максимума;

3. если то требуется дополнительное исследование.

Доказательство:

Пусть - критическая точка функциии существует. Тогда существует производная.

Пусть . Тогдавозрастает в окрестности. Следовательно,меняет знак в окрестностис “-” на “+”, т.е.- точка минимума функции. ■

Пример. Исследуем функцию на экстремум. Найдем производную функции:

. Таким образом, - критические точки данной функции. Так как , то,. По теореме точкатребует исследования знака первой производной: при всех из некоторой окрестности этой точки, поэтому точка не является точкой экстремума данной функции. Так как, то по теореме - точка минимума.

Понятие выпуклости и вогнутости функции

Определение 2. Функция называетсявыпуклой на отрезке , если выполняется неравенство Йенсена .

Пример. Покажем, что функция является выпуклой на всей числовой оси. Пусть .

Рассмотрим

.

Таким образом, .

Определение 3. Функция называетсявыпуклой на отрезке , есликасательная, проведенная к графику функциив точке с абсциссой , проходит не выше хорды, стягивающей точки с координатами и. (Рисунок)

Определение 4. Функция называетсявогнутой на отрезке , есливыполняется неравенство.

Замечание. Выпуклость функции называют выпуклостью вниз, а вогнутость – выпуклостью вверх.

Теорема 2. Критерий выпуклости

Для того, чтобы функция , дифференцируемая на интервалебыла выпуклой на нем, необходимо и достаточно, чтобымонотонно возрастала на этом интервале. При этом строгому возрастаниюсоответствует строгая выпуклость.

Доказательство:

Необходимость. Пусть дифференцируема и выпукла на интервале. Тогда из определения выпуклости имеем, что,,,;

, ;,. Так както,

,

,

,

,

,

. По теореме Лагранжа , где .

Таким образом, монотонно возрастает.

Достаточность. Пусть монотонно возрастает на интервале. Тогда по теореме Лагранжа , , так как

, ■

Теорема 3. Достаточное условие выпуклости

Функция выпукла на интервале, если.

Доказательство:

Запишем формулу Тейлора для функции :

. Так как , то . ■

Определение 5. Точку называют точкой перегиба функции , еслифункция выпукла (вогнута) ифункция вогнута (выпукла).

Теорема 4. Необходимое условие перегиба

Пусть функция имеет вторую производную в точке. Тогда, еслиявляется точкой перегиба, то.

Теорема 5. Достаточное условие перегиба

Пусть и. Тогда, если вторая производная меняет свой знак при прохождении через точку, тоявляется точкой перегиба.