МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

В своей жизни человек часто сталкивается с ситуацией, когда ему из некоторой совокупности возможных вариантов своего поведения или принятия решения в какой-либо области деятельности необходимо выбрать один вариант. Наилучший вариант поведения (принятие наилучшего решения) можно выбирать по-разному. Если такой выбор предусматривает проведение количественного анализа ситуации путем сравнения различных вариантов с помощью какой-либо количественной оценки этих вариантов, то говорят о необходимости решения задачи оптимизации (по латыни optimus — наилучший). Ясно, что задача оптимизации имеет смысл, если есть несколько возможных вариантов ее решения. Эти варианты обычно называют альтернативами.

По содержанию задачи оптимизации весьма разнообразны. Они могут быть связаны с проектированием технических устройств и технологических процессов, с распределением ограниченных ресурсов и планированием работы предприятий, наконец, с решением проблем, возникающих в повседневной жизни человека. Всевозможные устройства, процессы и ситуации, применительно к которым предстоит решать задачу оптимизации, объединим общим названием объект

оптимизации.

В этой главе сформулированы некоторые основные определения и понятия, играющие важную роль в дальнейшем изложении материала, даны постановки известных и достаточно простых задач поиска экстремума из геометрии, алгебры и других разделов математики, приведены примеры прикладных задач оптимального проектирования и планирования, а также перечислены классы задач оптимизации.

Если множество параметров оптимизации является подмножеством конечномерного линейного пространства, то говорят о конечномерной задаче оптимизации в отличие от бесконечномерных задач, которые рассматривают в вариационном исчислении и оптимальном управлении. При этом критерием оптимальности может быть требование достижения наибольшего или наименьшего значения одной или несколькими действительными (скалярными) функциями параметров оптимизации, выражающими количественно меру достижения цели оптимизации рассматриваемого объекта. Каждую из таких функций принято называть целевой. Если целевая функция единственная, то задачу конечномерной оптимизации называют задачей математического программирования, а в противном случае — задачей многокритериальной (векторной) оптимизации. В дальнейшем ограничимся рассмотрением задач математического программирования и методов их решения.

Если целевая функция и ограничения являются линейными относительно параметров оптимизации, то говорят о задаче линейного программирования. Одну из первых таких задач сформулировал и решил Л.В. Канторович. Задача Канторовича была связана с выбором оптимальной производственной программы, что и объясняет появление в названии этого класса задач слова “программирование”. При нелинейной зависимости целевой функции или ограничений от параметров оптимизации

1.2. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ

Начнем с рассмотрения достаточно простых задач оптимизации из геометрии, алгебры и некоторых других разделов математики. Эти задачи обычно можно решить геометрическим или алгебраическим путем, а также при помощи необходимых и достаточных условий экстремума действительной (скалярной) функции одного переменного. Включение таких примеров в эту книгу важно по нескольким причинам. Во-первых, эти задачи тесно связаны с историей развития методов оптимизации и позволяют наглядно продемонстрировать многообразие объектов оптимизации. Во-вторых, на простой задаче можно более четко выявить особенности построения математических моделей таких объектов с точки зрения выбранного критерия оптимальности и проследить этапы процесса формулировки

задачи математического программирования. В-третьих, знание способов и результатов решения многих из этих задач помогает при решении более сложных задач оптимизации,

задач оптимального проектирования

(см. 1.3).

Пример 1.1. Найдем стороны прямоугольника, вписанного в окружность радиуса R и имеющего наибольшую площадь S (рис. 1.1).

Эта задача известна с глубокой древности, и ее нетрудно решить геометрическим путем. Диагональ вписанного в окружность прямоугольника является диаметром окружности и имеет фиксированную длину. Площадь S прямоугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла φ между диагоналями, т.е. S = 2R2sinφ. Ясно, что эта площадь будет наибольшей при sinφ = 1, или при φ = π/2. В этом случае диагонали прямоугольника перпендикулярны, а сам прямоугольник представляет собой квадрат. Таким образом, прямоугольником наибольшей площади, вписанным в окружность, является квадрат со стороной и площадью 2R2.

Если в качестве параметров оптимизации выбрать длины а≥0 и b ≥0 сторон прямоугольника, то получим целевую функцию S = аb и ограничение типа равенства, нелинейные по отношению к этим параметрам. Поэтому рассматриваемую задачу оптимизации следует отнести к задачам нелинейного программирования. Ее математическую формулировку можно представить в виде

Эту задачу можно решить одним из известных стандартных путей: либо использовать формальную процедуру поиска условного экстремума функции S = ab двух переменных с одним уравнением связи, построив функцию Лагранжа, либо выразить при помощи ограничения одно переменное через другое и перейти к поиску экстремума функции одного переменного. Отметим, что в данном случае возможен и нестандартный способ решения, связанный с построением вспомогательного соотношения 4R2 - 2S = а2 + b2- 2аb = (a - b)2, или . Отсюда следует, что S достигает наибольшего значения S* = 2R2 при условии а = b, т.е. когда прямоугольник является квадратом, причем а =

Пример 1.2 (задача Евклида). В заданный треугольник ABC с высотой Н и основанием

b вписать параллелограмм наибольшей площади, стороны которого параллельны двум сторонам треугольника (рис. 1.2).

Критерием оптимальности в этой задаче является достижение площадью параллелограмма наибольшего значения, а ограничения связаны с

условиями параллельности сторон и размещения параллелограмма в пределах заданного треугольника.

Выберем прямоугольную систему координат, совместив ее начало с общей вершиной параллелограмма и треугольника(вершина А на рис. 1.2), а ось абсцисс — с одной из сторон треугольника. В качестве параметров оптимизации выберем основание х параллелограмма и его высоту h. Тогда площадь S параллелограмма можно записать в виде S = hx, а условие, что параллелограмм вписан в треугольник, — как ограничение типа равенства (H — h)/H = x/b, которое вытекает из подобия треугольников DBE и ABC. Итак, имеем задачу оптимизации

Эту задачу также можно решить стандартными способами (см. пример 1.1). Ее решением является параллелограмм с основанием x* = b/2 и высотой h* = (1 - x/b)H = H/2. Отметим, что выбор вершины треугольника, с которой совпадает вершина параллелограмма, не является существенным, так как в любом из трех вариантов выбора вершины треугольника площадь параллелограмма максимальной площади равна половине площади треугольника ABC.

1.3. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

При создании технического устройства различного назначения обычно часть его параметров можно изменять в определенных пределах. Это приводит к тому, что при проектировании появляется некоторое множество вариантов создаваемого устройства. В результате возникает проблема выбора из этого множества

альтернатив наилучшей альтернативы с точки зрения критерия оптимальности.

Соответствующие такому выбору задачи оптимизации часто называют задачами оптимального проектирования.

Пример 1.6. Одной из наиболее простых задач оптимального проектирования является выбор размеров емкости определенной формы, имеющей наибольший объем при заданной площади поверхности или же наименьшую площадь при заданном объеме.

Пусть требуется спроектировать бак горючего в виде прямого кругового цилиндра заданного объема V, на изготовление которого будет затрачено наименьшее количество листовой стали. В качестве параметров оптимизации выберем радиус R и высоту Н цилиндра. Тогда затраты материала на изготовление бака будет определять суммарная площадь S его боковой поверхности и двух плоских днищ. Таким образом, необходимо минимизировать целевую функцию S = 2πR(H + R) при ограничении типа равенства πR2H = V, т.е. решить задачу нелинейного программирования. Если из целевой функции при помощи ограничения исключить Н и записать ее в виде

то произведение слагаемых не будет зависеть от R, и для нахождения ее минимального значения удобно использовать то же неравенство между геометрическим и арифметическим средними, что и в примере 1.3:

Равенство имеет место только при равенстве слагаемых, т.е. при Учитывая ограничение, получаем

т.е. высота оптимального бака равна его диаметру.

При изготовлении одного бака нужно учитывать, что для заготовки круглого днища площадью πR2 придется взять квадратный лист площадью 4R2, причем после раскроя оставшуюся часть листа использовать будет практически невозможно. Поэтому более обоснованно в качестве целевой минимизировать функцию

при прежнем ограничении πR2H = V.

Тогда в результате процедуры, аналогичной рассмотренной, получим

Если предстоит изготовить крупную партию баков, то раскрой листовой стали при заготовке днищ можно провести более рационально, располагая соседние центры днищ в вершинах правильных треугольников со стороной 2R. Тогда расход листа на каждое днище будет соответствовать площади правильного шестиугольника, описанного около окружности радиуса Д. При этом следует

Отметим, что при постановке задач оптимального проектирования важно, чтобы

математическая модель объекта оптимизации достаточно полно отражала именно те свойства объекта, улучшение которых является целью оптимизации. Разработка такой модели обычно требует использования сведений из соответствующих инженерных дисциплин или областей техники.

1.4. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задачи математического программирования часто возникают в экономике, при планировании производственных процессов и количественной оценке альтернатив, связанных с принятием управленческих решений. Постановка этих задач обычно основана на анализе и сопоставлении расходуемых ресурсов и полученного результата. Такой подход принято называть методом “затраты — эффективность”. Применение этого подхода приводит, как правило, к двум связанным между собой типам задач: либо максимизировать эффективность при ограниченных затратах, либо обеспечивать эффективность не ниже заданной при минимальных затратах. Таким образом, критерием оптимальности может быть количественное выражение затрат или эффективности. Рассмотрим несколько примеров такого подхода.

Пример 1.11. Предположим, что предприятие может выпускать продукцию п наименований, для производства которой требуется т видов

полные объемы располагаемых ресурсов и планируемые объемы выпуска продукции соответственно. Если к тому же по каждому наименованию продукции заданы нижняя aj и верхняя Aj границы объема выпуска

продукции, то можно записать ограничения типа неравенства