Л_03_ГСЧ

Проверки на статистическую независимость

Проверка на частоту появления цифры в последовательности

Пример. Случайное число 0.2463389991 состоит из цифр 2463389991, а число 0.5467766618

состоит из цифр 5467766618. Соединяя последовательности цифр, имеем:

24633899915467766618.

Теоретическая вероятность pi выпадения i-ой цифры (от 0 до 9) равна 0.1.

Частота появления каждой цифры в выпавшей экспериментальной последовательности: цифра 1 выпала 2 раза из 20, а цифра 6 выпала 5 раз из 20 и т.д.

вычислим оценку

Проверка появления серий из одинаковых цифр

Через nL обозначают число серий одинаковых подряд цифр длины L. Проверяют все L от 1 до m, где m — заданное пользователем число: максимально встречающееся число одинаковых цифр в серии. Теоретическая вероятность появления серии длиной в L равна: pL = 9 · 10–L . Частость появления серий подсчитывается по формуле «хи-квадрат» с использованием значений pL

Пример. В записи «24633899915467766618» присутствуют 2 серии длиной в 2 (33 и 77), то есть n2 = 2 и 2 серии длиной в 3 (999 и 666), то есть n3 = 2. Вероятность появления серии длиной в два символа равна: p2 = 0.09 (теоретическая). Вероятность появления серии

Большой информативностью для инженера обладает закон распределения вероятности случайной величины X

Пример. Диаметр X вытачиваемой детали может отклоняться от запланированного идеального значения под влиянием различных факторов, поэтому он является случайной слабо предсказуемой величиной. В результате наблюдения за выпускаемыми деталями отмечено, сколько деталей из 1000 имели диаметр X1 (NX1), сколько деталей имели диаметр X2 (NX2) и так далее. Можно построить гистограмму частости диаметров, откладывая для X1 величину NX1/1000, для X2 величину NX2/1000 и так далее . Сумма всех частостей равна 1. Если X меняется непрерывно, опытов проведено очень много, то в пределе N –> ∞ гистограмма превращается в график распределения вероятности случайной величины

Закон распределения вероятности случайной величины показывает насколько вероятно то или иное значение диаметра выпускаемых деталей

В производстве и технике законы распределения заданы по условию задачи

Метод ступенчатой аппроксимации

Для превращения равномерного ГСЧ в генератор случайных чисел в ГСЧ с заданным (произвольным) законом распределения дискретизируем непрерывный закон распределения вероятности события

f(x) — распределение вероятности (показывает насколько вероятно некоторое событие x) hi — высота i-го столбца

Значение hi операцией нормировки необходимо перевести в единицы вероятности появления

значений x из интервала xi < x ≤ xi + 1: Pi = hi/(h1 + h2 + … + hi + … + hn). Операция нормировки обеспечивает сумму вероятностей всех n событий равную 1:

n

Pi 1

i 1

Метод огрубляет изначальную постановку задачи, переходя от непрерывного закона распределения к дискретному (следует учитывать количество разбиений n из условий точности представления)

Метод взятия обратной функции

Данный метод используется в случае, когда закон распределения вероятности задан аналитически и возможно аналитическое взятие от него обратной функции

Задан интегральный закон распределения вероятности F(x): где f(x) — функция плотности вероятности

Поскольку функция F и числа возвращенные ГСЧ изменяются в интервале от 0 до 1, то случайное событие x можно определить взятием обратной функции по графику или аналитически:

x = F–1(r),

где r — число, генерируемое ГСЧ в интервале от 0 до 1, x1 — сгенерированная в итоге случайная величина

Пример. Рассмотрим экспоненциальный закон распределения плотности вероятности случайных событий f(x) = λ · e–λx. Тогда интегральный закон распределения вероятности имеет вид: F(x) = 1 – e–λx.

Так как r и F в данном методе расположены в одном интервале, то, заменяя F на случайное число r, имеем: r = 1 – e–λx.

Выражая искомую величину x из этого выражения (то есть, обращая функцию exp()), получаем:

x = –1/λ · ln(1 – r). Так как в статическом смысле (1 – r) и r — это одно и тоже, то x = –1/λ · ln(r)

Функция Лапласа:

Если задается интервал интегрирования функции Лапласа *a; b+, то:

Вероятность попадания X в интервал, симметричный относительно mx:

P( x mx L) P((mx L) x (mx L)) F((b mx ) / ) F((a mx ) / ) F(L / ) F( L / ) 2F(L / ) 1

Пример. Найти вероятность изготовления детали с ошибкой в ее размерах не более 15 мм, если известно, что изготовление детали с ошибкой распределено по нормальному закону m = 0 и σ = 10 мм.

P(|x| < 15) = P(–15 < x < 15) = F((15 – 0)/10) – F((–15 – 0)/10) = F(1.5) – F(–1.5) = F(1.5) – (1– F(1.5)) = = 2 · F(1.5) – 1 = 2 · 0.9332 – 1 = 0.8664

Нормальное распределение является пределом для различного вида распределений

где a — математическое ожидание в законе распределения случайной величины X;

σ — среднеквадратичное отклонение в законе распределения случайной величины X; N — количество случайных чисел

Табличный метод генерации нормально распределенных чисел

Нормальное число можно взять из справочника в таблице функции Лапласа и получить случайное число по методу взятия обратной функции: x = F–1(r), где F — интегральная функция Лапласа

Это означает, что необходимо разыграть случайное равномерно распределенное число r из интервала *0; 1+ стандартным ГСЧ (из таблицы абсолютно случайных проверенных чисел), найти равное ему число в таблице значений функции Лапласа в столбце F и по строке определить случайную величину x, соответствующую этому числу

Пример.

Недостатком метода является необходимость хранения в памяти компьютера всей таблицы чисел функции Лапласа