UML_4256

Докажем, что последовательность многочленов Qn (x) равномерно

Следовательно, ряд сходится, тогда по необходимому признаку an → 0

при n → ∞. Что и требовалось доказать. Пусть

Из (8) видно, что Pn (x) – многочлен переменной x степени 2n .

471

переписать в виде (1). Теорема доказана.

§ 5. Пространство l2. Обобщение n-мерного евклидова пространства

В§1 гл. 9 даны общие понятия линейного, нормированного и евклидова пространств. Остановимся подробнее на евклидовых пространствах.

Влинейном пространстве Rn скалярное произведение векторов

n

(x, y) = ∑ xi yi , а число векторов e1 = (1,0, ... ,0) , e2 = (0,1,0, ... ,0) , … ,

i=1

en = (0,0, ... ,1) ортонормированного базиса определяет размерность

пространства Rn . Известно, что всякий вектор x Rn может быть единственным образом разложен по ортонормированному базису:

последовательностей, будем рассматривать бесконечные числовые последовательности действительных чисел x = (x1, x2 , ... , xn ,...) и

y = ( y1, y2 , ... , yn ,...) .

472

Теорема. Для всякого x l2 справедливо разложение в ряд по системе (4), то есть

Доказательство. Так как коэффициенты ряда (5), αi = (x,ei ) = xi , совпадают с составляющими элемента x , то частичные суммы ряда (5)

∞

при n → ∞ как остаток сходящегося ряда ∑ xi2 . Теорема доказана.

i=1

§ 6. Пространства Евклида и Гильберта. Базис

Рассмотрим некоторое линейное пространство L. Введем в нем скалярное произведение (x, y), x, y L . Тогда норму и метрику в этом

ρ(x, y) = x − y (см. §1 гл. 9). Если линейное пространство определено

над полем действительных чисел, то такое пространство называют евклидовым; если над полем комплексных чисел, то предгильбертовым.

Если предгильбертово пространство полное, то есть всякая фундаментальная последовательность сходится по норме к элементу этого пространства, то его называют гильбертовым и обозначают H . Полное евклидово пространство обозначим E .

Примерами полного евклидова (гильбертова) пространства является Rn (см. §3 гл. 9) и l2 (см. §5).

Рассмотрим пространство С2 [α, β] непрерывных на отрезке [α, β] действительных функций ϕn (x) со скалярным произведением

474

квадратичная, то последовательность непрерывных функций может сходиться к разрывной функции (см. §1).

Если норму в пространстве С[α, β] непрерывных функций ввести

по формуле ϕ(x) = max ϕ(x) , то сходимость будет равномерной, а x [α,β]

пространство С[α, β] будет полным (см. §1-3).

формулой ϕ = (ϕ,ϕ) , пространство будет предгильбертовым. Если

норма определяется формулой ϕ = max ϕ(x) , то пространство будет x [α,β]

гильбертовым.

Замечание. Если на отрезке [α, β]определено множество

функций, интегрируемых по Риману, то есть множество кусочнонепрерывных функций, то формулы (1) и (1′) уже не будут определять

эти формулы будут определять скалярное произведение для множества кусочно-непрерывных функций. Обозначим это пространство R[α, β].

(предгильбертова) пространства называется ортонормированной, если все элементы этой системы попарно ортогональны и имеют единичную норму, то есть

475

пополнить, то есть не существует отличного от нуля элемента

элементов нормированного пространства называется базисом этого пространства, если для всякого элемента x этого пространства имеет место разложение

пространства, не имеющие ортогонального базиса (без доказательства).

§ 7. Примеры ортонормированных систем

Приведем примеры ортонормированных систем в евклидовом пространстве кусочно-непрерывных функций R[α, β].

Если k ≠ n, то

476

π

(cos kx,cos nx) = ∫ cos kx cos nx dx =

−π

=1 π∫ (cos(k + n)x + cos(k − n)x)dx = 0. 2 −π

Аналогично найдем, что при k ≠ n

последовательности (1). Найдем нормы элементов последовательности

(1).

n = 0,1,2,3, ... называют системой функций Радемахера. Убедимся, что последовательность функций rn (x) , ортонормированная на отрезке

[0,1].

477

система функций Радемахера нормированная. Убедимся, что она и ортогональная. Действительно, так как число элементарных отрезков всегда четное, то при любом n и m > n каждый элементарный отрезок

∆(kn) будет содержать четное число элементарных отрезков ∆(km) .

Это означает ортогональность системы функций Радемахера. Что и

называют многочленами Чебышева.

Образуем с помощью многочленов Чебышева последовательность

и убедимся, что она ортогональная на отрезке [−1,1]. Действительно,

478

Равенства (4) и доказывают ортогональность системы функций (3). Из (4) также следует, что последовательность

ортонормированна на отрезке [−1,1].

Замечание. Часто вместо ортонормированной последовательности (3′) используются непосредственно многочлены Чебышева (2). Скалярное произведение вводят по формуле

и говорят, что многочлены Чебышева Tn (x) ортогональны на отрезке

несобственный.

§ 8. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля

Пусть

–ортонормированная система функций на отрезке [a,b]

предгильбертова пространства E , и пусть f (x) E – элемент этого

пространства.

Определение 1. Ряд

Знак соответствия вместо знака равенства в (2) стоит потому, что не ясно сходится ли ряд Фурье к функции f (x) в каждой точке отрезка

[a,b].

Прежде чем решать вопрос о сходимости ряда Фурье (2) к