Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_4256

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5047 48 49 50 > Следующая >>>

Согласно определению 2 ряд сходится в среднем на всей числовой

оси.

Теорема. Ряд, сходящийся равномерно на множестве E , сходится на нем и в среднем квадратичном.

Доказательство.

S(x) − Sn (x)

∫

≤ ∫sup

E x E

= sup

S(x) − Sn (x)

(µ(E))12 → 0 при

n → ∞.

Что и требовалось

x E

доказать.

Можно доказать, что сходимость в среднем на множестве E не гарантирует не только равномерную сходимость, но и сходимость хотя бы в одной точке множества E .

§ 2. Признаки равномерной сходимости ряда

Теорема 1 (Критерий Коши равномерной сходимости). Для

∞

того чтобы функциональный ряд ∑Uk (x) сходился равномерно в

k =1

области E ,	необходимо и достаточно, чтобы для					ε > 0	и x E
существовал	такой номер N = N(ε) ,			не зависящий		от x ,	что для
n > N(ε) и любых натуральных k выполнялось неравенство
				k
				k
		Sn+k (x) − Sn (x)	=	∑Un+i	< ε.		(1)
				i=1

Доказательство.

∞

Необходимость. Пусть ряд ∑Uk (x) сходится на множестве E

k =1

равномерно. Тогда согласно (5′) §1

S(x) − S	(x) < ε	2	для n > N(ε) и x E .	(2)
n		2

Преобразуем выражение

Sn+k (x) − Sn (x) = Sn+k (x) − S(x) + S(x) − Sn (x) ≤

(2)

≤ Sn+k (x) − S(x) + S(x) − Sn (x) ≤ ε 2 +ε 2 = ε

для k > N(ε) и x E . Это совпадает с (1). Необходимость доказана.

Достаточность. Фиксируя в (1) x , получим критерий Коши для числового ряда (см. §2 гл. 3). Тогда согласно этому критерию ряд

461

∞

∑Uk (x) сходится в каждой точке множества E к своей сумме S(x) , то

k =1

есть			lim Sn+k (x) = S(x) , для x E .						(3)

			k →∞		при k →∞ и учитывая (3), получим
Переходя		к пределу в		(1)
	S(x) − Sn (x)		< ε x E	и	n > N(ε).	Это и означает равномерную

сходимость ряда на множестве E . Теорема доказана.
	Определение. Если			для x E		члены функционального			ряда
	∞						Uk (x)	≤ ck , k =1,2,3,...,
	∑Uk (x)	удовлетворяют		неравенству					где
k =1

∞

ck ≥ 0 члены сходящегося числового ряда ∑ ck , то функциональный

k =1

ряд называется мажорируемым, а числовой – мажорантным.

Теорема 2 (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса).

Мажорируемый на некотором множестве E функциональный ряд сходится на нем абсолютно и равномерно.

Доказательство.

Из неравенства

Uk (x)

≤ cn

для x E

(3) и

признака сравнения

рядов

следует

поточечная

сходимость

ряда

∞

E . Используя (3) и сходимость числового ряда

∑Un (x) на множестве

n=1

∞

Un+1

(x)

+Un+2

(x)+... +Un+k (x)

Un+i (x)

∑ ck , получим

≤ ∑

≤ ∑cn+i < ε

k =1

i=1

для n > N(ε) и

любого

k . (Использовали критерий Коши для

числового ряда). Но последнее неравенство ∑Un+i (x)

i=1

n > N(ε) – есть критерий Коши равномерной

< ε x E и

сходимости

функционального ряда. Теорема доказана.

Заметим, что признак Вейерштрасса не применим к условно сходящимся рядам (см. пример 3 §1). Приведем без доказательства более общий признак равномерной сходимости.

Теорема 3 (Признак равномерной сходимости Дирихле). Ряд

∞

∑ an (x)bn (x) сходится равномерно на множестве E , на котором

n=1

определены функции an (x) и bn (x) , если выполняются следующие условия: 1) функциональная последовательность an (x) монотонно убывая, равномерно сходится к нулю на множестве E ; 2)

462

последовательность частичных сумм ∑ bk (x) ограничена на множестве

k =1

E (без доказательства).

Пример

1. Исследовать

на

равномерную сходимость ряд

∞

sin (n4 x)

∑

n=1

sin (n4 x)

Решение.

Так как

≤

для x (−∞,+∞), а числовой

∞

ряд ∑

сходится, то по признаку Вейерштрасса функциональный ряд

n=1

сходится абсолютно и равномерно на всей числовой оси.

Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость ряд

∑∞ e−n3x2 sin (nx2 ).

n=1

Решение.

Очевидно,

e−n3x2 sin (nx2 )

≤ e−n3x2 nx2 =V (x) для

x (−∞,+∞).

Vn′(x) = 2nx(1− x2n3 )e−n3x2

= 0 x0 =

–

точка

n32

максимума, x

=−

–

точка минимума

функции

V (x) и

других

n3 2

экстремальных точек нет.

Тогда

V (x) = e−n3x2 nx≤V

) =

(x)

= e−n3x2

sin (nx2 )

≤

для

en2

x (−∞,+∞).

∞

Поскольку ряд

∑ Vn (x0 ) –

сходится,

то по признаку

n=1

Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей числовой оси. Пример 3. Исследовать на равномерную сходимость ряд

∑∞ cos nx.

n=1 n

Решение. В §8 гл. 3 доказано, что данный ряд удовлетворяет теореме 3 на всей числовой оси, исключая точки x = ±2πk,k N.

Следовательно, ряд сходится равномерно на всей числовой оси, исключая точки x = ±2πk.

463

Упражнения. Исследовать на равномерную сходимость ряды: а)

∞	cos kx		∞		sin kx	.
∑		; б)	∑
∑	kα	; б)	∑
k =1	kα		k =1 k + x2				функциональных рядов являются степенные
	Частным			случаем			функциональных рядов являются степенные
	∞						, z	– могут быть комплексными. В §10 гл. 3
ряды ∑ c zk . Здесь, c							, z	– могут быть комплексными. В §10 гл. 3
	k =1	k				k

доказано, что областью абсолютной поточечной сходимости является

круг

< R, радиус которого можно найти по формуле

R = lim

k →∞

Зафиксируем точку Z

∞

в круге сходимости. Тогда числовой ряд ∑ c z k

∞

k =1

будет мажорантным

для

всякого

степенного

ряда

∑ c zk , если

∞

k =1

По признаку Вейерштрасса степенной ряд

сходится

∑ c zk

k =1

равномерно строго внутри круга сходимости.

Пример 4. Найти область абсолютной равномерной сходимости

∞

n−1

(z +

ряда ∑ (−1)

n=1

Воспользуемся

признаком

Даламбера.

Решение.

lim

Un+1(x)

= lim

(z + 2)2n+2 n

+ 2

–

область

Un (x)

(n +1)(z + 2)n

n→∞

z + 2

≤ r <1

абсолютной сходимости. Строго

внутри круга, то есть при

ряд

сходится

равномерно,

если

комплексное. Если

z = x R1,

то

область

сходимости

–

интервал

−3 < x < −1.

Исследуем

ряд

на

сходимость в крайних точках интервала. При

x = 3

x = −1 имеем

∞

n−1

числовой

ряд

∑ (−1)

, который

сходится.

Следовательно, ряд

n=1

[

]

сходится в каждой точке отрезка

−3, −1 . На этом отрезке ряд сходится

равномерно, согласно теореме 2.

§ 3. Свойства рядов, сходящихся равномерно

Теорема

Если

функции

Un (x) ,

n N ,

непрерывны

на

∞

множестве E , а ряд ∑Un (x) сходится на множестве E к своей сумме

n=1

464

∞

S(x) = ∑Un (x) равномерно, то S(x) непрерывна на E .

n=1

	Доказательство.			Пусть x0 E		– некоторая фиксированная
предельная			точка	множества		E .	Оценим	разность
			∞	∞
	S(x) − S(x0 )	=	∑Un (x) − ∑Un (x0 )		для x Ο(x0 ,δε ).
			n=1	n=1

Имеем

			n			n
S(x) − S(x0 )		=	∑Uk	(x) − ∑Uk
	n	n	k =1			k =1
						∞
						∞
≤	∑Un (x) − ∑Un (x0 )				+	∑Un+i
	k =1	k =1				i=1

∞	∞

(x0 ) + ∑Un+i (x) − ∑Un+i (x0 )		≤
i=1	i=1

∞

(x) + ∑Un+i (x0 ) . (1)

i=1

Поскольку конечная сумма непрерывных функций – функция

непрерывная, то

для

> 0

найдется

Ο(x ,δ

)

такая,

что

(x ) < ε

для x Ο(x ,δ

) и любого n .

(2)

∑U

(x) − ∑U

k =1

∞

Так как числовой ряд ∑Un (x0 )

сходится, а функциональный ряд

n=1

∞

сходится

равномерно, то

для

найдется номер N(ε)

∑Un (x)

n=1

такой, что остатки рядов можно сделать меньше ε

, то есть

∞

+i (x) < ε

для n > N(ε) и x E ,

∑Un

(3)

i=1

∞

(x ) < ε

для n > N(ε).

(4)

∑U

i=1

< ε

+ ε

+ ε = ε

Учитывая (2, 3, 4) из (1) получим

S(x) − S(x )

для

x Ο(x0 ,δε ) . Это и означает непрерывность S(x) . Теорема доказана.

Замечание 1. Теорему 1 можно сформулировать так: если ряд сходится равномерно, то к пределу можно перейти под знаком суммы:

∞	∞
lim ∑Un (x) = ∑ lim Un (x).		(5)
x→x0 n=1	n=1 x→x0

Замечание 2. Теорему 1 для функциональной последовательности можно перефразировать так: если последовательность непрерывных

465

функций {Sn (x)} сходится на множестве E равномерно к предельной пункции S(x) , то функция S(x) непрерывна на E , то есть

lim S(x) = lim lim S		n	(x) = lim lim S	n	(x) = lim S	n	(x ) = S(x ). (6)
x→x	x→x n→∞	n	n→∞ x→x	n	n→∞	n	0	0
0	0		0

Заметим еще, что требование равномерной сходимости существенно. Например, последовательность непрерывных функций

cos(πn!x) n сходится к разрывной функции Дирихле, а ряд примера 2

§1, члены которого непрерывные функции, сходится к разрывной функции.

Теорема 2. Если последовательность {Sn (x)} непрерывных на отрезке [a,b] функций сходится равномерно к предельной функции S(x) , то имеет место равенство

	b	b	b
nlim→∞	∫Sn (x) dx = ∫		(nlim→∞ Sn (x))dx = ∫S(x) dx ,	(7)
	a	a	a

то есть к пределу можно перейти под знаком интеграла. Доказательство. Согласно замечанию 2 предельная функция S(x)

непрерывна на отрезке [a,b], следовательно, и интегрируема на нем. По

определению равномерной сходимости имеем

S(x) − S(x0 )

для x [a,b] и n > N(ε).

(8)

− a

Тогда

∫S(x) dx − ∫Sn (x) dx

∫(S(x) − Sn (x))dx

≤ ∫

S(x) − Sn (x)

dx ≤

;

− a

∫dx = ε .

(9)

Неравенство (9)

означает,

Теорема

что ∫

S(x) dx = lim ∫Sn (x) dx .

доказана.

n→∞ a

Замечание

Теорему

2 для

функционального ряда

можно

∞

перефразировать так: если функциональный ряд ∑Uk (x)непрерывных

k =1

функций сходится к своей сумме S(x)

равномерно на отрезке [a,b], то

его можно интегрировать почленно, то есть

b ∞

∞

∫S(x) dx = ∫ ∑Uk (x) dx = ∑

∫Uk (x)dx .

(10)

a n=1

k =1 a

466

			Un (x)		∞
Теорема 3. Пусть		члены	Un (x)	ряда	∑Uk (x) непрерывно
					k =1
дифференцируемые на отрезке [a,b] функции, а ряд из производных
∞				[a,b]	к своей сумме σ(x) .
∑Uk′(x) сходится равномерно на отрезке				[a,b]	к своей сумме σ(x) .
k =1
Тогда, если исходный ряд сходится хотя бы в одной точке ξ [a,b], то
он сходится на отрезке	[a,b]		равномерно и его можно почленно
дифференцировать, то есть
∞	′	∞
∑Uk (x)		= ∑Uk′(x) =σ(x) .			(11)
k =1		k =1

∞

Доказательство. Поскольку ряд ∑Uk′(x) =σ(x) сходится

k =1

равномерно, а Uk′(x) – непрерывны, то согласно замечанию 3 этот ряд можно почленно интегрировать, то есть

x			∞	x	∞
∫	σ(t) dt =		∑	∫Uk′(t) dt = ∑(Uk (x) −Uk (ξ))= F(x) .					(12)
ξ			k =1 ξ		k =1
Так как σ(x) непрерывна, то F (x)							– первообразная (см. §5 гл. 8).
					∞
По условию теоремы ряд ∑Uk (ξ)							сходится, тогда из (12) следует,
					k =1
		∞				x [a,b],
что и	ряд	∑Uk (x) сходится для				x [a,b],		то есть (12)	можно
		k =1
переписать в виде
	x			∞	∞		= S(x) − S(ξ) = F(x) .		(12 )
	∫	σ(t) dt = ∑Uk (x) − ∑Uk (ξ)					= S(x) − S(ξ) = F(x) .		(12 )
									′
	ξ			k =1	k =1
Из (12′)			следует		σ(x) = S′(x)		∞	∞	′
Из (12′)			следует		σ(x) = S′(x)	или ∑Uk′(x) = ∑Uk (x) , что
							k =1	k =1

совпадает с (11). Осталось только доказать равномерную сходимость

∞
ряда ∑Uk (x) . Доказать самостоятельно. Теорема доказана.
k =1
Рассмотрим частный случай функционального ряда – степенной
ряд
∞			a , x, x R1 .		(13)
∑ a (x − x )n ,			a , x, x R1 .		(13)
n=	n	0	n	0
n=	0
		467

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе степенной ряд сходится абсолютно и равномерно внутри интервала сходимости. При этом радиус сходимости можно найти по формуле

R = lim		an	= lim	an−1	.	(14)
	an+1			an
n→∞			n→∞

Можно убедиться, что после почленного интегрирования или дифференцирования ряда (13) опять получается ряд с прежним радиусом сходимости R . Действительно, после почленного интегрирования (13) получим

∞

−1

∞

∑

(x − x )n+1 =

n +1

= k

∑

(x − x )k = ∑b (x − x )k

n=0

n +1

k =1

– степенной ряд. Найдем его радиус сходимости по формуле (14).

lim

= lim

ak −1(k +1)

= lim

k +1

lim

ak −1

= R ,

то есть радиус

a k

k →∞

k→∞

k +1

сходимости не изменился.

Аналогично можно убедиться, что и почленное дифференцирование не изменяет радиуса сходимости. Поэтому согласно теоремам 2-3 степенной ряд можно почленно сколько угодно раз интегрировать и дифференцировать. Полученные ряды будут сходиться равномерно, и радиус сходимости не изменится.

Рассмотрим примеры применения степенных рядов. Пример 1. Вычислить si 2 с точностью до 10−5 .

Решение.

x sin t

∞

(−1)k t2k +1

si x = ∫

dt = ∫

∑

dt =

(2k +1)!t

0 k =0

∞

t2k

∞

x2k +1

= ∫

∑ (−1)k

dt = ∑ (−1)k

(2k +1)!

(2k +1)!(2k +1)

0 k =0

k =0

Найдем радиус сходимости ряда

R = lim

= lim

(2k +3)!

= ∞.

k →∞

(2k +1)!

Почленное интегрирование справедливо для всех конечных x .

Так как полученный ряд знакочередующийся, то его остаток не превышает по модулю первого из отброшенных членов (признак Лейбница). При k = 5 и x = 2 получим

468

211

2048

<10−5.

11! 11

3 ... 11 11

Можно ограничиться пятью членами ряда:

si 2 ≈ 2 −

−

≈1,605417 .

5! 5

7! 7

9! 9

Пример 2. Найти сумму ряда 1 2x + 2 3x2 +3 4x3 +... .

Решение. S(x) =

∞

почленно

∑ n(n +1) xn , R =1. Проинтегрируем

n=1

S1(x)

∞

S1 (x) =

∫S(t) dt =∑ n xn+1 = x2

∑ n xn−1

= ∑ n xn−1 .

n=1

x S (t)

∞

Проинтегрируем

почленно

еще

раз

dt =∑ x

0∫ t2

− x

(геометрическая

прогрессия,

q = x <1).

n=1

Дифференцируя

дважды

последнее равенство, получим:

S (x)

′

−2

S1 (x) =

= (1− x)

1− x

′

(1− x)2

′

(S1(x))

= S(x) =

− x)2

Ответ: S(x)

<1.

(1− x)2

§ 4. Равномерное приближение непрерывной функции многочленами

Теорема.

(Вейерштрасса). Если функция

f (x)

непрерывна на

отрезке

[a,b], то существует последовательность многочленов Pn (x) ,

равномерно

сходящаяся на отрезке

[a,b]

к функции

f (x) ,

то

есть

ε > 0 существует многочлен Pn (x)

такой, что

sup

P (x) − f (x)

< ε .

(1)

x [a,b]

x = (b − a)t + a,

[ ]

Доказательство. Линейной

заменой

0,1

отрезок

[

a,b

]

преобразуется в отрезок

[

]

0,1 . Поэтому сразу будем

считать

a = 0 ,

b =1. Кроме того,

будем считать,

что

f (0) = f (1) = 0 .

469

Это не ограничивает общность теоремы, так как всегда функцию f (x) можно преобразовать к функции, удовлетворяющей этому условию,

например,			g(x) = f (x) − f (0) − x( f (x) − f (0)) . Итак, пусть непрерывная
на	[	]	функция f (x) удовлетворяет условию f (0) = f (1) = 0 .
		0,1

Продолжим ее нулем на всю числовую ось. Тогда она будет равномерно непрерывной на всей числовой оси, то есть на любом отрезке этой оси.

Рассмотрим последовательность многочленов

Q (x) = c (1− x2 )n .		(2)
n	n

При этом коэффициенты подберем так, чтобы

∫ Qn (x) dx =1, n N .

−1

Докажем неравенство

1− x2 n ≥1− nx2 x [0,1].

Действительно, найдем производную

ϕ(x) = (1− x2 )n −1+ nx2 .

′	− x	2		n−1	+ 2nx = 2nx(1−(1− x	2		n−1		[ ]
ϕ (x) = −2xn(1	− x		)		+ 2nx = 2nx(1−(1− x		)		) ≥ 0	x 0,1

(3)

(4)

функции

ϕ(x)

не убывает,

но ϕ(0) = 0 ,

следовательно, ϕ(x) ≥ 0, то есть выполняется

(4). Что и требовалось доказать.

Оценим коэффициент cn . Из (3) имеем

1 = ∫ cn (1− x2 )n dx =

2cn ∫(1

− x

2 )n dx ≥

−1

(4)

≥ 2cn ∫n (1− x2 )n dx

≥ 2cn ∫n (1− nx2 )n dx =

1 n

= 2c

x −

= 2c

> c

Итак,

c <

n n N .

(5)

δ >

[

]

Из (2) и (5) следует, что

и x

δ,1

справедливо

неравенство

n(1−δ 2 )n .

0 ≤ Q (x) ≤

(6)

470

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 / 5047 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.09.2019687.71 Кб19Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.07.202586.88 Кб0UML диаграммы в Rational Rose_лаб1.docx
#
01.06.2015903.17 Кб15UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб26UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб9UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб10UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб10UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб72UML_4797.pdf