Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_4256

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 5045 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

§ 9. Повторные операции. Выражения основных операций поля в криволинейных координатах

	f (M ) и векторное
Если скалярное	f (M ) и векторное			a(M ) – дважды
дифференцируемые поля,	то grad f и rot	a	– дифференцируемые

векторные поля, а div a – дифференцируемое скалярное поле. Поэтому возможны следующие повторные операции:

grad div

= (

); rot grad f = × f ;

rot rot

= ×( ×

) ;

div grad f = ( f ); div rot

= ( ×

) .

(1)

Можно убедиться, что две из приведенных в (1) пяти операций

тождественно обращаются в нуль.

Это

rot grad f = × U ≡ 0

(формально как векторное произведение двух одинаковых векторов) и div rot a = ( ×a) ≡ 0 (формально как смешанное произведение, в

котором два сомножителя одинаковые), поэтому остаются только три повторные операции.

Запишем основные операции поля (градиент, дивергенцию и ротор) в криволинейных координатах, которые мы ввели в §8 гл. 11. Пусть (x, y, z) – декартовы координаты точки M , а (u,v, w) –

криволинейные координаты этой же точки. Связь между ними дается

векторной функцией векторного аргумента
						x = g1 (u,v, w), y = g2 (u,v, w), z = g3 (u,v, w),																							(2)
удовлетворяющей условиям (2) §6 гл. 11.
		Единичные векторы (														,			,			) криволинейной системы координат
		Единичные векторы (													eu	,		ev	,	ew		) криволинейной системы координат
определяются формулами:
	1		∂g		∂g					∂g						1					∂g		∂g			∂g
	1		∂g		∂g					∂g						1					∂g		∂g			∂g
eu =			1	,			2		,			3		, ev =							1 ,			2	,		3	,
eu =			1	,			2		,			3		, ev =			Hv				1 ,			2	,		3	,
	Hu		∂u			∂u					∂u						Hv				∂v		∂v			∂v
	1		∂g			∂g					∂g
ew =	1		∂g			∂g					∂g		3
			1	,				2	,					, где Hu ,							Hv ,		Hw		– коэффициенты Ламе.				(3)
			1	,				2	,					, где Hu ,							Hv ,		Hw		– коэффициенты Ламе.				(3)
		Hw	∂w			∂w					∂w											f (M )				функцией криволинейных
		Считая				скалярное									поле							f (M )				функцией криволинейных

координат, а криволинейную систему (3) ортогональной, найдем частные производные поля. По правилу дифференцирования сложной функции имеем

∂f =

∂f ∂g1 +

∂f ∂g2 +

∂f

∂g3 = H

u grad f

= H

пр

grad f ;

∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u

441

∂f

= ∂f ∂g1 + ∂f

∂g2

∂f ∂g3

= H

v grad f = H

пр grad f ;

∂v ∂x ∂v ∂y ∂v

∂z ∂v

v v

∂f

∂g1 + ∂f

∂g2

∂f

∂g3

= Hw

w grad f = Hw прw grad f . (4)

∂w

∂x

∂w

∂y

∂w

∂z

∂w

Поясним, прu

– проекция на U .

Умножая первое уравнение равенств (4) на

, второе на

третье на

и складывая, получим

∂f

u +

∂f

v +

∂f

w = grad f .

(5)

Hu ∂u

Hv ∂v

Hw ∂w

Равенство (5) и дает выражение градиента в произвольной ортогональной криволинейной системе координат.

Аналогично можно получить формулы для дивергенции и ротора. Из-за громоздкости выкладок запишем их без вывода

∂(a H

)

∂(a H

div a =

Hu Hv Hw

∂u

∂v

∂(a

)

∂(a H

)

rot a =

−

eu +

Hv Hw

∂v

∂w

∂(a H

)

∂(a

)

∂

u u

−

∂w

Hu Hv

Hu Hw

∂u

Hw ) + ∂(aw Hu Hv ) . (6)

∂w


(a H		)		∂(a H	u	)

v	v		−	u			ew. (7)
				∂v
∂u

Запишем формулы для grad f , div a и rot a в цилиндрической и

сферической системах координат. Значения коэффициентов Ламе см. в §8 гл. 11.

grad f = ∂∂ρf eρ + ρ1 ∂∂ϕf eϕ + ∂∂fz ez ;

1 ∂(ρ aρ )

∂aϕ

∂a

div a =

;

∂ρ

∂ϕ

∂z

∂a

∂aϕ

∂aρ

∂a

∂(ρ aϕ )

∂aρ

rot a =

−

eρ +

−

z eϕ +

−

ez ;

∂z

∂ρ

∂ϕ

ρ ∂ϕ

∂ρ

grad f

∂f

r +

∂f

ϕ +

∂f

θ ;

∂r

r sinθ ∂ϕ

r ∂θ

∂

(r2 ar ) +

∂aϕ

∂(a

sinθ)

div a =

;

∂r

r sinθ

∂ϕ

r sinθ

∂θ

442

∂(sinθ aϕ )

∂a

rot a =

−

er +

∂θ

∂ϕ

r sinθ

(8)

1 ∂( aϕr)

∂a

∂(a r)

∂a

r −

eϕ +

−

r eθ .

∂r

r sinθ

∂θ

∂ϕ

§ 10. Формула Грина

Область E называется односвязной, если любой замкнутый контур, гомеоморфный окружности и целиком лежащий в E , путем непрерывной деформации можно стянуть в точку, принадлежащую области E . В противном случае область называется многосвязной (см. на рис. не заштрихована).

Y Y

0				X	0				X
Многосвязная						Односвязная
Теорема (Грин). Пусть функции P(x, y)								и Q(x, y)	непрерывны в
замыкании		области		E R2 и имеют				непрерывные частные
замыкании	E	области		E R2 и имеют				непрерывные частные
производные в области E . Если интегралы по области E от каждой из
частных производных функций P(x, y)							и Q(x, y) существуют, то
справедлива формула Грина
			∂Q	− ∂P		∫	Pdx + Qdy.		(1)
		∫∫	∂Q	− ∂P	dxdy =	∫	Pdx + Qdy.		(1)
		E	∂x	∂y		∂E
Здесь ∂E – граница					области		E ,	которая	обходится в
положительном направлении.

Доказательство. Докажем теорему только для частного случая, когда область E с кусочно-гладкой границей является односвязной и элементарной как в направлении оси Y , так и в направлении оси X .

443

∂P

Так как ∂y непрерывна, то все требования, необходимые для

∂P

сведения двойного интеграла ∫∫E ∂y dxdy к повторному, выполняются.

Поэтому имеем

∫∫

∂P

y2 ( x) ∂P

∂y

dx dy = ∫dx ∫

dy =∫ P(x, y2 (x)) dx − ∫ P(x, y1 (x)) dx =

y1 ( x) ∂y

= − ∫ P(x, y) dx − ∫ P(x, y) dx = − ∫ P(x, y)dx.

(2)

∂E

(Сумму двух определенных интегралов по параметру x мы

представили как криволинейный интеграл второго рода).

Итак, ∫∫

∂Pdxdy = − ∫ P(x, y)dx.

(2')

∂y

∂E

Аналогично можно доказать, что

∫∫

∂Q

dxdy = ∫ Q(x, y)dy.

(3)

∂x

∂E

Вычитая из (3) (2), получим (1). Теорема доказана.

Замечание 1. Доказательство теоремы Грина в общем случае следует из возможности разбиения области E на две части: элементарную область с кусочно-гладкой границей (для нее теорема доказана) и область, не удовлетворяющую этим требованиям, но ее вклад можно сделать как угодно малым. Ввиду громоздкости этого доказательства, мы его опускаем.

Замечание 2. Пусть a = P(x, y)i + Q(x, y) j + 0 k – векторное поле

в области

∂Q −

∂P

E . Найдем rot a =

k. Тогда формулу Грина (1)

∂x

∂y

можно записать в виде

′

∫∫rot a k dS = ∫ a dr.

(1 )

∂E

Пример 1. Проверить формулу Грина для функций P =

+ y2

, E ={(x, y) : r < x2 + y2 < R}

Q =

x2 + y2

444

	Решение.				−2x −3y2 (x2 + y2 ) + 2 y4
	∂Q	−	∂P								dxdy =
∫∫	∂x		dxdy = ∫∫		(x	2	+ y	2	)	2
E			∂y	E

x = ρ cosϕ

2π

y = ρsinϕ

= −∫ ρ−2d ρ ∫

(2cosϕ + 3ρ3 sin2 ϕ − 2ρ3 sin4 ϕ) dϕ =

I = ρ

ρ−2

π ρ3d ρ

π(R2 − r2 ).

= −∫

= −

Вычислим теперь криволинейный интеграл правой части (1)

∫ P dx +Qdy =

∂E

= ∫

y3dx

x = ρ cost,

dx = −ρsin t dt

∂E

x2 + y2

y = ρsin t,

dy = ρ cost dt

2π

∫ (−R3 sin4 t + cost) dt −

∫ (−r3 sin4 t + cost) dt =

π(r2

− R2 ).

Как видно, формула Грина выполняется.

Упражнение. Решить задачу примера 1, если r = 0.

§ 11. Формула Стокса. Инвариантное определение ротора

Теорема (Стокс). Пусть в области G R3 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле

a= P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k

ипусть S G – двусторонняя положительно ориентированная гладкая

поверхность, а

(u,v), (u,v) E R2

– ее векторное представление.

Тогда имеет место формула

∫

= ∫∫rot a ndS .

(1)

ГS

Здесь

= (cosα,cos β,cosγ )

(2)

– единичная нормаль к поверхности S , задающая ее ориентацию, Г – граница поверхности S , обходимая в положительном направлении, то

есть против стрелки часов со стороны n . В развернутом виде (1) перепишется так:

445

∫ P dx +Qdy + R dz =

∂R

−

∂Q

∂R

−

∂P

∂Q

−

∂P

′

= ∫∫

∂y

cosα −

∂x

cos β +

∂x

cosγ dS.

(1 )

∂z

∂y

Доказательство. Согласно теореме 3 §3 данную поверхность S можно разрезать на части, которые задаются явными функциями. Докажем теорему для части поверхности, которая может быть задана каждой из трех функций:

x = x( y, z) , ( y, z) Syz ; y = y(x, z) , (x, z) Sxz ; z = z(x, y) ,

(x, y) Sxy (2) (см. (4) §6). Рассмотрим первый интеграл в левой части

′	P(x, y, z) dx . Подставляя	z = z(x, y) из (2), мы	сведем его к
(1 ) ∫	P(x, y, z) dx . Подставляя	z = z(x, y) из (2), мы	сведем его к
Г
криволинейному интегралу по границе области Sxy			– проекции
поверхности S на плоскость XOY :
	∫ P(x, y, z) dx =	∫ P(x, y, z(x, y)) dx.	(3)

Г∂Sxy

Для поверхности, заданной уравнением z = z(x, y) , единичная

z′

z′y

нормаль (2) запишется так: n = (cosα,cos β

,cosγ ) =

−

, −

, где

D =

′2

′

1+ zx

+ zy .

(2 )

К правой части (3) применим формулу Грина. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим

∫ P dx =	∫		∂P	+	∂P	∂z		(4)
		P(x, y, z(x, y)) dx = − ∫∫					dxdy .
Г	∂Sxy	Sxy	∂y		∂z	∂y

Используя теперь формулу (11) §7, сведем двойной интеграл в (4) к поверхностному по поверхности S .

∫ P dx = − ∫∫

∂P

∂z dx dy =

Sxy

∂y

∂z

∂y

∂P

∂z

∂P cos

γ −

= −∫∫

cosγ dS = −∫∫

∂P cos β dS.

∂y

∂z

∂y

∂z

∂P cosγ

−

(5)

Итак, ∫ P dx = −∫∫

∂P cos β dS .

∂y

∂z

S на

XOZ и

Аналогично, проектируя

поверхность

плоскость

YOZ , получим еще два интеграла:

446

∫Q dy = ∫∫		∂Q	cosγ −	∂Q	cosα
∫Q dy = ∫∫		∂x	cosγ −	∂z	cosα	dS ,
Г	S	∂x		∂z
∫ R dz = ∫∫		∂R cosα −		∂R cos β			(6)
∫ R dz = ∫∫		∂R cosα −		∂R cos β		dS .	(6)
Г	S	∂y		∂x
Складывая	(5)				′		Что и требовалось
Складывая	(5)	и (6), получим (1 ) или (1).					Что и требовалось

доказать.

Замечание. Формула Стокса (1) справедлива и в том случае, когда

поверхность S кусочно-гладкая.

Пример.

Найти поток вихря

поля

= yi

− z2 j + y3 k

через

верхнюю половину эллипсоида

=1.

Решение.

Найдем

вихрь

(ротор)

поля

rot

∂

= (3y3

+ 2z)

−

. Можно теперь непосредственно

∂x

∂y

∂z

y −z2

вычислить

поверхностный

интеграл

∫∫rot

но это громоздко.

Поэтому воспользуемся формулой (1) Стокса

∫∫rot

= ∫

= ∫ y dx − z2dy + y3dz =

2π

x = a cost, y = bsin t, z = 0

= ∫ (−absin2 t + 0) dt = −πab.

Пусть M0 – произвольная точка в непрерывно дифференцируемом

векторном

поле

(M ) . Проведем

через точку

M0 плоскость с

единичным вектором n . Выберем в плоскости некоторый контур Г и запишем формулу Стокса

∫∫rot

(7)

ndS = ∫ a dr или ∫∫rotn a dS = ∫ aτ dl = ∫ aτ dl .

Здесь rotn

–

проекция

ротора на нормаль

– проекция

вектора a на касательную к контуру Г, dl – дифференциал дуги. Применим к левой части (7) теорему о среднем. Получим

	′	1
		1	∫ aτ dl .	(8)

rotn a (M ) =
		µ(S) Г
		447

Здесь M ′ – некоторая точка внутри контура Г, µ(S) – площадь,

ограниченная контуром Г.

Пусть d (S ) – диаметр области, ограниченной контуром

Переходя к пределу в (8), получим в силу непрерывности rot a(M ) :

		1

rotn a (M0 ) = lim			∫ aτ dl .
rotn a (M0 ) = lim			∫ aτ dl .
	d (S )→0	µ(S) Г

Г.

(9)

Из формулы (9) видно, что ее правая часть не зависит от выбора системы координат, следовательно, и проекция ротора на нормаль не зависит от выбора системы координат. А в силу произвольности

нормали n и сам rot a не зависит от выбора системы координат. Формулу (9) называют инвариантным определением ротора. Как видно,

ротор – это плотность циркуляции вектора a (M ) в точке M0 .

§ 12. Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантное определение дивергенции

Теорема. Пусть V R3 – ограниченная (может быть многосвязная) область с кусочно-гладкой границей ∂V = S и пусть

векторное поле a (M ) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k непрерывно

в замыкании V и непрерывно дифференцируемо в V . Тогда имеет место формула Остроградского-Гаусса

∫∫∫div	a	dxdy dz = ∫∫	a	d	σ	(1)
V		S

при условии, что тройной интеграл в (1) существует. В координатной форме (1) запишется так:

	∂P	+	∂Q	+	∂R			′
∫∫∫	∂x		∂y		∂z	dxdy dz = ∫∫P dy dz + Q dxdz + R dxdy .		(1 )
V							S
Доказательство.						Докажем	формулу (1) для частного	случая,

считая поле a непрерывно дифференцируемым в замыкании V , а область V односвязной и элементарной в направлении осей координат. Тогда тройной интеграл в (1) существует и сводится к повторным (см. §5 гл. 11). Сведем к повторному сначала третий интеграл в

′	∂R	dx dy dz . Пусть	S1 и	S2 – нижняя и верхняя поверхности
(1 ) ∫∫∫	∂z
V

448

области V представлены в виде z1 = z1 (x, y) , z2 = z2 (x, y) ,	(x, y) Dxy ,
Dxy – проекция области V на плоскость XOY . Тогда имеем

				z	( x, y)		∂R dz =
∫∫∫	∂R dxdy dz = ∫∫ dxdy 2				∫
V	∂z		Dxy	z1 ( x, y) ∂z
= ∫∫		R(x, y, z2 (x, y)) dxdy − ∫∫ R(x, y, z1 (x, y)) dxdy.						(2)
Dxy				V		Dxy
Полную		границу	области			можем представить		как сумму
верхней S2 , нижней S1			и боковой S3 (цилиндрической) поверхностей
S = S1 S2 S3 . Ориентируем				полную поверхность S				внешней

нормалью n и сведем двойные интегралы в (2) к поверхностным второго рода (см. (9)-(11) в §7).

∫∫∫	∂R dxdy dz = ∫∫ R(x, y, z) dxdy + ∫∫R(x, y, z) dxdy +
V	∂z	S2	S1
+∫∫ R(x, y, z) dxdy = ∫∫R(x, y, z) dxdy.				(3)
S3			S

(добавили

равный нулю интеграл ∫∫ R(x, y, z) dxdy = 0 ). Аналогично

найдем еще два выражения: ∫∫∫

∂P dxdy dz = ∫∫P(x, y, z) dy dz и

∂Q

∂x

∫∫∫

dxdy dz = ∫∫Q(x, y, z) dxdz .

(4)

∂y

′

Складывая (3) и (4), получим (1 ) , и теорема доказана.

Пример.

Найти

поток

вектора

(M ) = x2 y3

+ y

через

полусферу Z =

R2 − x2 − y2 . Нормаль внешняя.

Решение. Непосредственное вычисление потока громоздко,

поэтому воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса.

∫∫

+ ∫∫

= ∫∫∫div

dV ,

(5)

∫∫

= ∫∫∫div

dv − ∫∫

adσ – искомый поток.

∫∫∫div

dv = ∫∫∫(2xy3 +1) dv =

x = r cosϕsinθ,

r = r cosθ

y = r sinϕsinθ,

I = r2 sinθ

2π

= ∫2 sinθ dθ ∫ dϕ∫(2r4 cosϕsin

4 θ sin3 ϕ +1) r2dr =

449

π 2	2π	2	R7 sin4	θ cosϕsin3 ϕ +	1	R3		π 2	1	R3 sinθ dθ =
= ∫	sinθ dθ ∫						dϕ = 2π	∫
		7			3				3
0	0							0

πR3.

dxdy = −πR2 .

∫∫

= ∫∫

(−

) dS = − ∫∫

x2 + y2 ≤R2

Подставляя

в (5)

найденные интегралы, получим ответ:

πR3 +πR2 .

Пусть M0 – фиксированная точка области V , а d(V ) – ее диаметр. Применяя теорему о среднем к тройному интегралу формулы

Остроградского-Гаусса, получим

′

∫∫

andS .

div a(M ) µ(V ) = ∫∫

andS div a(M ) =

∂V

µ(V ) ∂V

При d(V ) → 0 M ′ → M 0

и в силу непрерывности дивергенции в

пределе найдем

div a (M0 ) = lim

∫∫ a ndS .

(6)

d (V )→0

µ(V ) ∂V

Так как правая часть (6) не зависит от выбора системы координат, то от нее не зависит и левая, то есть дивергенция в точке M0 . Формулу

(6) называют инвариантным определением дивергенции.

Правая часть (6) представляет собой объемную плотность потока

вектора a в точке M0 . Если a – скорость течения жидкости, то div a (M0 ) – средняя мощность источника (стока, если div a (M0 ) < 0 ), приходящаяся на единицу объема. Если div a (M0 ) = 0 , то будем считать, что в точке M0 нет источника (нет стока).

§ 13. Потенциальное поле

Пусть в некоторой области E R3 задано непрерывно

дифференцируемое векторное поле a(M ). Ради упрощения изложения материала в этом и следующем параграфе под областью E будем

понимать брус, шар или все пространство R3 , то есть не будем рассматривать области, заключенные между концентрическими

450

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 4445 / 5045 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191.07 Mб30Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019687.71 Кб18Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб15UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб26UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб9UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб10UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб9UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб72UML_4797.pdf