Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_4256

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

6.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5044 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

µ(πi )= µ(σi )cosγi								(4)
или
µ(σ	i	)=	1+ p 2	+ q 2	µ(π	i	).	(4’)
	i		i	i		i

Подставляя (4’) в (2), найдём формулу для вычисления площади поверхности S через двойной интеграл

m			def
S = lim ∑ 1+ pi	2	+ qi	2 µ(πi ) = ∫∫ 1+ pi2 + qi	2 dxdy .	(5)
δi →0 i=1			D′
Итак, если поверхность задана явно уравнением (1), то ее площадь
можно найти по формуле (5).
Пусть
r = r (u,v)= (x(u,v), y(u,v), z (u,v)),(u,v) D					(6)

– параметрическое непрерывно дифференцируемое представление поверхности (1), не меняющее ее ориентацию, причем ранг матрицы

r′	x′ y′z′		равен двум в каждой точке области	D . В нашем случае
u	=	u u u	равен двум в каждой точке области	D . В нашем случае
rv′		xv′yv′zv′

якобиан J =

xu′ yu′

D(x, y)

> 0 в каждой точке области D .

xv′yv′

D(u,v)

Сделаем в интеграле (5) замену

x = x(u,v), y = y(u,v),

(7)

которая гомеоморфно отображает область D на область D′.

С учётом (7) z = z (u,v)= f (x(u,v), y(u,v)). Продифференцируем

последнее равенство

zu′ = fx′xu′ +

fy′yu′, zv′ =

fx′xv′ + fy′yv′.

(8)

Решая систему (8) относительно

fx′ = p и

fy′ = q по формулам Крамера,

получим

zu′ yu′

xu′zu′

p =

zv′yv′

, q =

xv′zv′

xu′ yu′

xv′yv′

J =

xu′ yu′

(9)

xv′yv′

С учётом (9) преобразуем выражение

431

zu′ yu′

xu′zu′

2 .

1+ p2 + q2 =

J 2

ru′×rv′

(10)

J 2

z′y′

x′z′

J 2

v v

Учитывая (10) и правило замены переменной в кратном интеграле, из (5) получим

def	1+ p2 + q2 dxdy = ∫∫	ru′×rv′
S = ∫∫	1+ p2 + q2 dxdy = ∫∫	ru′×rv′	dudv.	(11)
D′	D

Замечание. Из (11) следует, что площадь поверхности не зависит от представления этой поверхности.

Пример. Найти площадь поверхности сферы x2 + y2 + z2 = R2 .

Решение.

1-й способ. В силу симметрии найдем площадь верхней полусферы, а результат удвоим. Верхнюю половину сферы зададим

явно уравнением: z =

R2 − x2 − y2

и воспользуемся формулой (5):

S = 2∫∫ 1+ z′x

2 + z′y

2 dxdy = 2R∫∫

dxdy

x = ρ cosϕ

R2 − x2 − y2

y = ρsinϕ, J = ρ

D′

= 2R ∫

dϕ∫

ρd ρ = −2πR∫

(R2 − ρ2 )−2

d (R2 − ρ2 )=

2π

R2 − ρ2

= −4πR(R2 − ρ2 )2

= 4π R2 .

2-й способ. Зададим эту сферу параметрически и воспользуемся

формулой (11).

rϕ′ = (−Rsinϕcosθ, R cosϕsinθ,0) и

Предварительно

найдем

rθ′ = (R cosϕcosθ, Rsinϕ cosθ, −Rsinθ ).

rϕ′ ×rθ′ = R2

−sinϕsinθ

cosϕsinθ

cosϕcosθ

sinϕcosθ

−sinθ

= R2 (cosϕ

sin2 θ, −sinϕsinθ2 , −sinθ cosθ ).

rϕ′ ×rθ′

= R2 sinθ.

2π

S = ∫∫

rϕ′ ×rθ′

dudv = R2

∫

dϕ∫sinθdθ = 2πR2 (

−cosθ )

= 4π R2 .

432

§ 6. Поверхностный интеграл первого рода

Из

формул (2) и (5)

предыдущего параграфа видно, что

при

δτ → 0

мы отождествили

площадь элементарной площадки σi

на

касательной плоскости и площадь элементарной площадки Si

на

поверхности S , то есть µ(σ

) = µ(S

) =

1+ p2

+ q2

µ(π

), где

µ(π

) –

площадь элементарного прямоугольника на плоскости XOY .

При явном задании z = f (x, y) поверхности выражение

dS = 1+ (z′x )2 + (z′y )2 dxdy

(1)

называют дифференциалом площади поверхности S . Если

(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) , (u,v)

(2)

– непрерывно дифференцируемое параметрическое представление поверхности S , то

						′
dS =		′		′	dudv .
	ru		×rv			(1 )

Пусть в каждой точке M поверхности S или в области E R3 , содержащей эту поверхность, задана функция F(M ) = F(x, y, z).

Определение. Выражение ∫∫F(x, y, z)dS назовем поверхностным

интегралом первого рода и определим его равенством

			def
∫∫F(x, y, z)dS = ∫∫F(x(u,v), y(u,v), z(u,v))					ru′	×	rv′	dudv.
S			D
(3)
Поверхностный интеграл 1-го				рода обозначают также так:
∫∫F(M )dS ,	∫∫ F(	r	)dS . Заметим, что	формула (3) дает и способ
S	S

вычисления поверхностного интеграла, а также достаточные условия его существования, так как в правой части (3) стоит двойной интеграл.

Отметим некоторые свойства поверхностного интеграла первого

рода.	∫∫dS = S – площадь поверхности S (см. (1) и (11) в §5).
1.	∫∫dS = S – площадь поверхности S (см. (1) и (11) в §5).
	S
2.	Поверхностный интеграл первого рода не зависит от

ориентации поверхности S , то есть при перемене ориентации он не меняется. Действительно, функция F(x, y, z) от ориентации

поверхности не зависит, дифференциал площади dS также не зависит от ориентации поверхности.

433

Согласно теореме §3 поверхность S , определяемую (2), можно разрезать на части, представимые в явном виде.

Пусть S задается в явном виде любой из трех функций:

z = z(x, y), (x, y) Sxy ; x = x( y, z), ( y, z) Syz ; y = y(x, z), (x, z) Sxz . (4)

Здесь Sxy – проекция поверхности S на плоскость XOY ; Syz – на


плоскость YOZ ; Sxz	– на плоскость XOZ .
′			′		′	dudv . Тогда из (2) и (4) следует
Согласно (1 ) dS =		ru		×rv		dudv . Тогда из (2) и (4) следует
dS = 1+ (z′x )2 + (z′y )2 dxdy =							1+ (x′y )2 + (x′z )2 dydz =
= 1+ ( y′x )2 + ( y′z )2 dxdz.							(5)

Подставляя (5) в (3), получим формулы вычисления поверхностного интеграла 1-го рода в случае явного задания поверхности.

∫∫F(x, y, z)ds = ∫∫ F(x, y, z(x, y)) 1+ (z′x )2 + (z′y )2 dxdy =
S		Sxy
= ∫∫		F(x( y, z), y, z)	1+ (x′y )2 + (x′z )2 dydz =
	Syz
= ∫∫		F(x, y(x, z), z)	1+ ( y′x )2 + ( y′z )2 dxdz .		(6)
	Sxz
Пример 1. Найти			массу	поверхности	полусферы
z = R2 − x2 − y2 , если			ее плотность	γ (x, y, z) в	каждой точке

поверхности	равна		расстоянию этой точки до		оси	z ,	то есть
γ (x, y, z) = x2 + y2 .
Решение.		Назовем dm = γ dS		массой дифференциала			площади
поверхности		S .	Тогда масса	поверхности	S	определится

поверхностным интегралом 1-го рода m = ∫∫γ (x, y, z)dS . Воспользуемся

(6) и сведем поверхностный интеграл к двойному.

m =	∫∫		x2 + y2 1+ (z′x )2 + (z′y )2 dxdy =
	x2 + y2 ≤R2
		R	x2	+ y	2 dxdy		x = ρ cosϕ
							x = ρ cosϕ
=	∫∫					=	y = ρsinϕ	=
=	∫∫		R2 − x2 − y2			=	y = ρsinϕ	=
x2 + y2 ≤R2			R2 − x2 − y2				I = ρ
							I = ρ
						434

= R ∫

dϕ∫

d ρ

ρ = Rsin t

2π

R2 − ρ2

d ρ = R costdt

= 2πR ∫2 R 2 sin2 tdt =π R3 ∫2 (1−cos 2t)dt =

π 2 R3.

Пример 2. Найти массу поверхности S примера 1, если плотность

дается формулой

γ = R−2 sin ϕ cos2 θ ,

где

ϕ,θ –

сферические

координаты точки сферы.

Решение. Зададим полусферу в параметрическом виде (см. пример

2 §3):

x = Rcosϕsinθ, y = Rsinϕsinθ, z = R cosθ, ϕ [0,2π], θ 0,π

и воспользуемся

формулой (3). Заметим, что

= R2 sinθ

(см.

rϕ′

rθ′

пример в §5). Тогда

	2π		ϕ dϕ	π	ϕ	2π	1			π
				π						π
				∫2 cos2 θsinθ dθ = 2cos				cos3			2
m = ∫∫γ dS = ∫		sin							θ		2
m = ∫∫γ dS = ∫		sin			2		3		θ
S	0		2	0	2	0	3			0
						0				0

= 4 3 .

§ 7. Поверхностный интеграл второго рода

Дифференциал площади dS ориентированной поверхности S удобно считать вектором. Поскольку он при δτ → 0 отождествляется с

элементарной площадкой на касательной плоскости, то естественно считать этот вектор, направленным по нормали к поверхности S в точке касания M0 . Положим

urdef

(1)

dσ = ndS.

Здесь

= (cosα,cos β,cosγ ) – единичная нормаль к поверхности

S , которая и задает ориентацию поверхности.

Пусть

(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v) D

(2)

непрерывно

дифференцируемое

представление

гладкой

ориентированной поверхности S . И

пусть в каждой точке области

E R3 , содержащей поверхность S ,

задана непрерывная

векторная

функция векторного аргумента

(x, y, z) = P(x, y, z)

+Q(x, y, z)

+ R(x, y, z)

(3)

435

Определение. Выражение ∫∫adσ назовем поверхностным

интегралом второго рода от векторной функции a(x, y, z) по ориентированной поверхности S или потоком вектора a через

поверхность S в направлении, определяемом единичной нормалью n к поверхности S , и определим его равенством


∫∫			(4)
∫∫	adσ = ∫∫(a, n) dS.		(4)
S		S
Как видно, правая часть		равенства (4)	есть поверхностный

интеграл первого рода от скалярного произведения данного вектора a на единичную нормаль поверхности S , которая и определяет ориентацию поверхности S .

Используя известные из предыдущего параграфа методы вычисления поверхностного интеграла 1-го рода, вычислим и поверхностный интеграл 2-го рода. Заметим только, что если поверхностный интеграл 1-го рода не зависит от ориентации поверхности, то поверхностный интеграл 2-го рода меняет знак с

изменением ориентации поверхности S .

Пусть вектор

ru′

rv′

определяет ориентацию поверхности

S .

ru′

rv′

Тогда

xu′

yu′

zu′

dudv = det(

(5)

adσ = (a,n)dS = (a, ru′×rv′)dudv =

aru′rv′)dudv .

xv′ yv′ zv′

Учитывая (5), сведем поверхностный интеграл 2-го рода (4) к

двойному

∫∫

adσ = ∫∫(a,n)dS = ∫∫det(aru′rv′)dudv.

(6)

Вектор d

, как и любой другой,

можно разложить по базису

(

ndS = (dS cosα)i + (dS cos β) j + (dS cosγ )k =

= dydzi

+ dxdz

+ dxdyk

(7)

Учитывая (7), поверхностный интеграл 2-го рода можно записать в

виде

∫∫adσ = ∫∫(a,n)dS =

S S

436

= ∫∫(Pcosα +Qcos β + Rcosγ )dS = ∫∫Pdydz +Qdxdz + Rdxdy. (8)

S S

Пусть поверхность S можно представить каждой из трех функций

(4) §6. Тогда из (6) следуют формулы:

∫∫PcosαdS =∫∫P(x, y, z)dydz = ± ∫∫			P(x( y, z), y, z)dydz;	(9)
S	S	Syz
∫∫Qcos βdS =∫∫Q(x, y, z)dxdz = ± ∫∫ Q(x, y(x, z), z)dxdz;				(10)
S	S	Sxz
∫∫RcosγdS =∫∫R(x, y, z)dxdy = ± ∫∫			R(x, y, z(x, y))dxdy.	(11)
S	S	Sxz

Знак перед двойным интегралом в (9)-(11) определяется знаком направляющих косинусов cosα,cos β,cosγ соответственно.

Замечание. Формулы (9)-(11) имеют место и в том случае, когда поверхность S нельзя представить в явном виде, но можно разрезать ее на конечное число частей, представимых в явном виде. Применив формулы (9-11) к отдельным частям, результаты следует сложить.

Пример.

Вычислить

интеграл I = ∫∫

dydz

dzdx

dxdy

по

внешней стороне эллипсоида

+ y2

+ z2

=1.

Решение. Первый способ. Положим

(x, y, z) =

, d

ndS = dydzi + dzdx j + dxdyk.

Тогда искомый интеграл запишется в виде I = ∫∫

Пусть x = acosϕsinθ,

y = bsinϕsinθ, z = ccosθ,

D ={0 ≤ϕ ≤ 2π,0 ≤θ ≤ π}

–

параметрическое

представление

эллипсоида; ϕ,θ – сферические координаты.

Вычислим

−asinϕsinθ

bcosϕsinθ

ru′

rv′

rϕ′

rθ′

a cosϕ cosθ

bsinϕcosθ

−csinθ

= −(bccosϕsin2 θ;acsinϕsin2 θ;absinθ cosθ).

(12)

437

Так как нормаль

– внешняя, то cosγ > 0

при θ <π

. Из (12)

rϕ′ ×rθ′.

видно, что в этом случае n = −

rϕ′

rθ′

Воспользуемся (5).

Вычислим det(arϕ′ ×rθ′) = −a rϕ′ ×rθ′ =

sinθ .

Подставляя эту величину в (6), получим

ab 2π

I =

∫

dϕ∫sinθ dθ = 4π

Второй способ. Вычислим сначала первое слагаемое в интеграле

I , I1 = ∫∫

dydz

. Для этого разрежем поверхность эллипсоида на две части

(переднюю и заднюю) и представим каждую из частей в явном виде

x = ±a

1− y2

− z2

Интеграл

также

разобьем на два

–

1,2

интеграл по передней части Sпер. эллипсоида и по задней Sзад. . Согласно

формуле (9) имеем

I1 = ∫∫

dydz

(5)

dydz

+ ∫∫

= + ∫∫

−

∫∫

sпер.

Sзад.

Syz

= y2

− z2

≤

1 ,

dydz

∫∫

y = bρ cosϕ,

1− y2

− z2

Syz

z = cρsinϕ,

I = bcρ

2π

ρd ρ

1− ρ2

= 2

∫ dϕ∫

= −4π

= 4π

1− ρ2

Аналогично вычисляются два других слагаемых в интеграле

I :

I2 = ∫∫

dzdx

=4π

. I3 = ∫∫

dxdy

=4π

. Очевидно, I = I1 + I2 + I3 .

438

§ 8. Понятие скалярного и векторного поля. Основные характеристики поля

Пусть E – некоторая область на плоскости или в R3 . Если каждой точке M E сопоставлено по известному закону число f (M ), то

говорят, что в области E задано скалярное поле; а если каждой точке поставлен в соответствие вектор a (M ) – то задано векторное поле.

Ясно, что задать скалярное поле означает задать скалярную функцию


векторного аргумента f (M ) = f (							r	) = f (x, y, z),	а задание	векторного
поля означает задание векторной функции									векторного	аргумента
		(M ) =		(		) = (ax (x, y, z), ay (x, y, z), az (x, y, z)) .
	a	(M ) =	a	(	r	) = (ax (x, y, z), ay (x, y, z), az (x, y, z)) .

Поле температур внутри нагретого тела, поле плотности массы этого тела, поле плотности электрических зарядов – примеры скалярных полей. Гравитационное поле, поле электрического напряжения, поле скоростей установившегося течения жидкости – примеры векторных полей. Мы будем рассматривать только стационарные поля, то есть поля, независящие от времени.

Поле называют дифференцируемым, если дифференцируемы

соответствующие функции f (M ) и a(M ).

Основными характеристиками скалярного дифференцируемого поля f (M ) являются градиент и производная по направлению

единичного вектора e (см. §6 гл. 9), а также поверхности уровня, то есть поверхности (линии), определяемые уравнением f (M ) = const .

В декартовой системе координат, как известно, градиент функции

f (M ) = f (x, y, z) определяется

формулой

grad f

= f

= ( fx′, fy′, fz′), а

производная

по направлению

единичного вектора

– формулой

∂f

= ( f ,

) .

Используя

свойства

векторного

дифференциального

∂e

∂

оператора Гамильтона =

, легко проверить свойства

∂y

∂x

∂z

градиента

( f ± g) = f ± g ; ( f g) = f g + g f

= f gradg + g grad f ,

(g f − f g) ; F(g) = Fg′ g.

(1)

439

Основными характеристиками дифференцируемого векторного

поля a(x, y, z) являются: дивергенция (расходимость), ротор (вихрь) и

производная по направлению единичного вектора e. Вводят также понятие векторной линии поля (линии тока). В декартовой системе координат эти характеристики определяются следующими формулами:

	def	∂a	x +	∂ay		∂a

diva = a =					+		z ;
				∂y
		∂x				∂z

def

∂

rot a = ×a =

∂x

∂y

∂z

∂a

∂ay

∂a

∂ay

∂a

z −

i −

z −

−

x k;

∂x

∂y

∂z

∂x

∂z

∂y

∂∂ae def= a′(x, y, z)e = ∂∂ax cosα + ∂∂ya cos β + ∂∂az cosγ.

Отметим следующие свойства дивергенции и ротора: div(a1 ± a2 )= div a1 ± div a2 ; div(ua) = u diva + a gradu;

rot(a1 ± a2 )= rot a1 ± rot a2 ; rot(ua) = u rota + gradu, a ; rot(a1 ×a2 )= a2×rot a1 − a1 ×rot a2 .

(2)

(3)

(4)

(5)

Векторная линия поля a – это кривая r(t)

касательная коллинеарна вектору a , то есть

d r = λa. dx = dy = dz ax ay az

, в каждой точке которой

(6)

– дифференциальные уравнения векторных линий.

Замечание. Основные характеристики поля определены в декартовой системе координат, однако они характеризуют только поле и не зависят от выбора системы координат. В этом мы убедимся позже.

440

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5044 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025169.98 Кб0Uchebnoe_posobie_FBFO_1-2_kurs_2003g.docx
#
05.09.2019687.71 Кб18Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152.46 Mб17UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359.44 Кб8umk_treb.pdf
#
01.06.2015903.17 Кб15UML_1321.pdf
#
01.06.20156.64 Mб26UML_4256.pdf
#
01.06.2015321.05 Кб16UML_4497.pdf
#
01.06.20151.11 Mб9UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб10UML_4564.pdf
#
01.06.2015943.33 Кб9UML_4597.pdf
#
01.06.20151.72 Mб72UML_4797.pdf