UML_4256

t −t0 <δε . Тогда из (10) следует непрерывность линейного оператора A по норме, определенной формулой (1).

§ 17. Обратимость линейного оператора

Если линейный оператор A отображает линейное пространство X на X и при этом взаимно-однозначен, то его называют обратимым.

Обратный оператор B = A−1 определяется равенством A−1 ( Ax) = xx X . Очевидно, в этом случае A(A−1x)= x .

Теорема 1. Линейный оператор A на конечномерном векторном пространстве X обратим тогда и только тогда, когда множество его значений совпадает со всем X .

Доказательство. Если {x1, x2,..., xn} – базис пространства X , то

n

множество всех линейных комбинаций векторов x = ∑ci xi совпадает с

i=1

X . В силу линейности оператора A множество всех его значений Ax –

n

это множество линейных комбинаций векторов ∑ci Axi . Если докажем,

i=1

что множество V ={Ax1, Ax2,..., Axn} является базисом пространства X

только в том случае, когда оператор A взаимно-однозначный, докажем теорему.

Пусть оператор A взаимно-однозначный. Докажем, что V – базис. От противного. Пусть V не является базисом, то есть

n

∑ci Axi =θ (1)

i=1

342

{x1, x2,..., xn} не является базисом. Получили противоречие,

следовательно, V – базис.

Пусть теперь V – базис, докажем, что A взаимно-однозначный

n

оператор. Если V – базис, то из ∑ci Axi =θ => c1 = c2 =... = cn = 0. А из

i=1

n

равенства Ax = A(∑ci xi) =θ следует x =θ , то есть прообраз нулевого

i=1

вектора – вектор нулевой. Пусть Ax1 = Ax2 , то есть образы равны, тогда A(x1 − x2 ) =θ . => x1 = x2 , то есть равны и прообразы. Это означает

взаимную однозначность отображения A. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть Ω – множество всех обратимых линейных операторов, действующих из Rn в Rn .

1)Если A Ω, A−1 < α1 , B L(Rn ) и B − A = β <α , то B Ω, то есть оператор B обратим.

2)Ω – открытое подмножество пространства L(Rn ) .

3)Отображение A ↔ A−1 непрерывно на Ω.

Доказательство. Напомним следствие 1 §16

Покажем, что из (5) следует обратимость оператора B , то есть его взаимная однозначность. От противного. Пусть одному образу

отвечают два разных прообраза, то есть Bx1 = Bx2 , но x1 ≠ x2 . Тогда

противоречие, которое и доказывает первую часть теоремы 2.

2. По условию теоремы B − A <α B, A Ω или ρ(B, A) <α = ε , то

есть любой обратимый оператор принадлежит множеству Ω вместе с некоторой окрестностью. А это и означает открытость множества Ω. И утверждение 2) теоремы доказано.

3. Если y = Bx, то x = B−1y . Учитывая это, перепишем (5) так:

(α − β) B−1y ≤ BB−1 y = y y Rn .

Тогда (α − β) sup B−1y ≤ sup y =1.

непрерывность взаимно-однозначного отображения A ↔ A−1. Теорема доказана.

§ 18. Обратимость отображения. Производная обратной функции

Определение. Дифференцируемое отображение f (x) открытого множества X Rn в Rm называется непрерывно дифференцируемым на

344

X , если f '(x) – непрерывное отображение X в линейное пространство

L(Rn , Rm ).

дифференцируемое отображение, то есть выполняется (1). В стандартных базисах пространств Rn и Rm оператор f '(x) представляется матрицей, j -й столбец которой f '(x)e j представляет

собой частные производные ∂f i , i =1,2,...m . Согласно следствию 1 §16

∂x j

имеем

есть частные производные ∂f i . Необходимость доказана.

∂x j

Достаточность. В §8 (теорема1) достаточность доказана для частного случая числовой функции, то есть для одной строки матрицы f '(x) . Считая это доказательство верным для любой i -й строки

матрицы, получим, что все элементы матрицы f '(x) – непрерывные функции. Тогда из (10) §16 следует, что оператор f '(x) непрерывный.

Теорема доказана.

Пусть векторная функция векторного аргумента y = f (x) отображает множество Χ на множество Υ, Χ Rn , Y Rm . Возникает вопрос, при каких условиях существует обратная функция x = f −1( y) , то есть однозначное отображение множества Υ на Χ или хотя бы

345

некоторой окрестности точки b = f (a) в Χ. Если, в частности, y = f (x)

матрица [ A] должна быть обратимой (а для этого необходимо m = n).