17

Рис. 7.5. Структура анализатора спектра на основе гребенки фильтров Такой анализатор спектра с прямоугольной весовой функцией требует

N комплексных операций умножения на один отсчет сигнала. Число каналов его определяется требуемой полосой анализа сигнала. Каждый канал анализатора спектра описывается следующим рекуррентным уравнением:

X ( jω k , n ) = e− jω k nTд X ( jω k , n − 1) + x( n ) − x( n − N ).

7.8. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

Дискретные случайные сигналы, как и аналоговые, характеризуются законом распределения, средним значением, средним квадратом или дисперсией, автокорреляцией или автоковариацией, взаимной корреляцией (кросс-корреляцией) или взаимной ковариацией, спектральной плотностью мощности и взаимной спектральной плотностью мощности. Для рассматриваемых далее случайных процессов стационарных в широком смысле и эргодичных полагается, что их среднее значение является

постоянным, не зависящим от времени nTд, т. е. от номера выборки n, а автокорреляция и взаимная корреляция зависят только от разности моментов времени mTд = n2Tд − n1Tд , т. е. от значения дискретной задержки m. Они определяются как математические ожидания Ε { } (средние по ансамблю) или как средние по времени (по одной реализации) соответствующих дискретных функций [2].

Среднее значение дискретного сигнала x(n):

18

Автокорреляционная функция (АКФ) дискретного сигнала x(n):

где символ * означает операцию комплексного сопряжения, обобщающую данные статистические характеристики на случай комплексных дискретных сигналов. По максимуму ВКФ находят относительное время задержки обрабатываемых сигналов [3, 5].

АКФ и ВКФ центрированных случайных сигналов [x(n) – x ] и

сигналов с нулевым средним значением называют автоковариационной

сxx(m) и взаимной ковариационной сxу(m) функциями:

cxx ( m ) = Ε {[x( n + m ) − x][x* ( n )− x]}; cxy ( m ) = Ε {[x( n + m ) − x][y* ( n ) − y*]}.

мощность случайного сигнала. Средний квадрат и дисперсия являются максимальными значениями соответственно автокорреляционной и автоковариационной функций. В дальнейшем данные термины (средний квадрат – дисперсия), (автокорреляция – автоковариация) используются как синонимы.

АКФ и ВКФ обладают свойствами симметрии вида: rxx(− m) = rxx*(m); rxy(− m) = rxy*(m). На рис. 7.6 показан примерный вид АКФ треугольной дискретной последовательности конечной длины N1.

20

сигнала или его дисперсии.

Аналогичным образом вводится определение взаимной спектральной плотности мощности (ВСПМ) двух стационарных случайных сигналов x(n) и y(n) как преобразование Фурье их ВКФ [1, 2, 3]:

Даже для действительных последовательностей x(n) и y(n) вследствие несимметрии их ВКФ (rxy(− m) ≠ rxy(m)) ВСПМ является в общем случае комплексной. В то же время она обладает свойством Pxy(jf) = Pyx*(jf).

Простейшим, но важным является дискретный случайный процесс типа

Она соответствует математическому ожиданию или статистически усредненному квадрату модуля преобразования Фурье дискретной последовательности x(n), поделенному на ее длину, стремящуюся в пределе к бесконечности. Такое определение включает усреднение и по времени и по ансамблю. Следует отметить, что исключение операции Ε { } – усреднения по ансамблю приводит к резкому возрастанию дисперсии такого рода оценки СПМ [2, 12].

В эквивалентном выражении для ВСПМ квадрат модуля |X(jf)|2 в

(7.11) заменяется на произведение X(jf)Y*(jf).

21

7.9.ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

ВЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ

Если x(n) – дискретный случайный сигнал с нулевым средним значением, то сигнал на выходе линейной дискретной системы определяется

символ свертки. Статистические характеристики случайного выходного сигнала y(n) связаны со статистическими характеристиками входного сигнала и импульсной характеристики дискретной системы соотношениями [2]:

Cумма в правой части последнего выражения имеет смысл АКФ импульсной характеристики системы.

где H*(1/z*) =Z{h*(− m)}. Для действительной импульсной характеристики

H*(1/z*) = H(1/z).

характеристики дискретной системы. Вычисляя СПМ и ВСПМ входной и выходной последовательностей дискретной системы, можно определить ее

частотную характеристику, т. е. решить задачу идентификации объектов.