2.10. Можно ли уменьшить силу тяготения

На основании закона всемирного тяготения известно, что сила тяготения является силой притяжения между взаимодействующими телами. Притяжение тел осуществляется посредством гравитационных полей предположительно с помощью особых частиц – гравитонов. Но как это происходит – пока загадка. Допустим, что космический корабль – спутник, находясь на орбите, конструктивно состоит из двух равных по массе частей, которые можно быстро разделить и развести на расстояние порядка 150 км. Тогда на каждую часть будет действовать сила притяжения вдвое меньше силы тяготения, действующей на весь корабль – спутник.

Рассмотрим силы, действующие на корабль и его части. Эти силы являются центральными (рис. 9). Перенесем векторы сил ив одну точку параллельно самим себе так, чтобы совпали их начала и найдем результирующую этих сил. Как видно на рис. 9, эта сила несколько меньше общей силы тяготения. Сила тяготения уменьшилась, что равносильно появлению небольшой отталкивающей силы.

Рис. 9

Используя этот метод, можно без особой затраты энергии (кроме той, что расходуется на разделение частей корабля – спутника и на их соединение) удалиться из зоны сильного притяжения, например, какой-то звезды. Постепенно корабль уйдет из зоны сильного тяготения.

Расчеты показывают, что эту важнейшую операцию можно осуществить всего за полтора-два часа, находясь на расстоянии около 30 тысяч км от центра тяготеющей звезды типа Сириус В. Возможно, что техника будущего позволит осуществить и такую инженерную задачу.

2.11. Движение тел переменной массы

В классической механике изменение массы тел может произойти только за счет удаления части массы (dm < 0) тела или добавления некоторой массы (dm 0).

Примеров движения тел с переменной массой можно привести много: движение автомобиля, самолета, ракеты, поливочной машины, рост массы капель дождя при движении в атмосфере с пересыщенными водяными парами и т. д.

Для получения уравнения движения тел переменной массы достаточно использовать законы классической физики. Особый интерес этот вопрос получил в связи с развитием ракетной техники, используемой для космических полетов.

Рассмотрим подробнее принцип действия реактивного движения.

При полете ракеты после сгорания топлива из сопла с большой скоростью истекают газы, которые выбрасываются в направлении, противоположном движению ракеты (третий закон Ньютона). Естественно, в реальном полете на ракету действуют внешние силы (земное тяготение, сопротивление воздуха и т. д.). Без учета внешних сил система ракета – газ является замкнутой. В этом случае импульс системы не изменяется. Пусть в некоторый момент времени t масса ракеты m, а ее скорость u. Тогда импульс ракеты

.

Из-за непрерывного сгорания топлива спустя некоторое время dt масса и скорость ракеты получают приращения dm и du (dm < 0). Соответственно импульс ракеты в этот момент будет выражен формулой

.

К этому импульсу необходимо добавить импульс газов, образующихся за это время dt, т. е. ,где dm_г – масса, образующегося газа, v_г – скорость истечения газа. С учетом этого найдем изменение импульса системы ракета-газ за время t + dt:

где F – результирующая всех внешних сил, действующих на ракету.

Если dt  0, dm  0 и du  0, то в пределе после раскрытия скобок и преобразований, получим

Произведение (dmdu) исключаем как бесконечно малую величину второго порядка. Кроме того, согласно закону сохранения массы dm + dm_г = 0 или dm = – dm_г. Тогда

или ,

где – относительная скорость истечения газов.

После подстановки относительной скорости в предыдущее равенство, имеем . (29)

Так как это изменение произошло за время dt, то разделим правую и левую части последнего равенства на dt, получим

. (30)

Уравнение (30) выражает второй закон Ньютона.

Однако к величине внешней силы добавлено слагаемое

,

называемое реактивной силой, с которой на ракету действуют истекающие из сопла газы. Уравнение (30) было впервые получено И. В. Мещерским и является уравнением движения тел переменной массы. Уравнение Мещерского для замкнутой системы ракета – газ (внешние силы равны нулю) запишем в виде

. (31)

Найдем проекции уравнения (4.18) на направление движения:

или , (u_о > 0).

Последнее равенство свидетельствует о том, что скорость истечения газов может меняться за время полета.

Для простоты будем считать, что u_о =сonst.

Найдем скорость ракеты u:

du = – u_о .

После интегрирования

где значение С, связано с наличием начальных условий.

Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю (u = 0), а ее масса равна m₀ (это не масса покоя), то 0 = – u₀ ln m₀ + C

Тогда

С = u₀ ln m₀.

Окончательно скорость ракеты u = u_о ln

или

. (32)

Равенство (32) называется формулой Циолковского. Она справедлива для медленных движений, когда скорость ракеты и относительная скорость истечения газов много меньше скорости света в вакууме.