2.16. Момент силы относительно оси

Рис. 14

Если тело (или м. т. А) вращается относительно полюса 0 произвольным образом, то оно может повернуться вокруг оси, совпадающей с направлением вектора момента силы относительно полюса, лежащего на этой оси (рис. 14).

Проекция вектора момента силы на произвольную ось, проходящую через полюс, равна проекции на эту ось векторного произведения радиус-вектора и вектора силыотносительно полюса 0, лежащего на этой оси:

(35)

Разложим вектор внешней силы, действующий на м. т., на три составляющие, совпадающие с направлениями осей: Х, У, Z. Вектор силы направлен параллельно осиZ. Вектор направлен перпендикулярно осиZ. Вектор направлен по касательной к окружности радиуса R в точке А, вдоль направления оси У, перпендикулярно ки.

Вектор момента силы ,

.

Угол ₃ = p/2, следовательно, .

Найдем вектор момента результирующей силы относительно произвольного полюса 0:

или

или где – вектор момента силы;– вектор момента силы;– вектор момента силы.

Найдем проекцию вектора момента результирующей силы на ось Z.

Она будет равна сумме проекций моментов составляющих сил ,,на эту ось:.

Из перпендикулярности векторов сил ^ ^ следует, что векторы моментов составляющих сил и перпендикулярны оси Z, поэтому их проекции на эту ось равны нулю.

Таким образом,

.

2.17. Момент импульса материальной точки

Одной из характеристик динамики вращательного движения является вектор момента импульса. Он используется широко не только в классической, но и квантовой механике. Закон сохранения момента импульса является одним из фундаментальных законов физики. Например, образование нашей Солнечной системы происходило при соблюдении этого закона.

Вектором момента импульса м. т. относительно полюса 0 называют векторное произведение радиус-вектора и вектора импульса относительно этого же полюса.

Радиус-вектор проводится от полюса 0 до м. т. А. (рис. 15):

. (36)

Модуль вектора момента импульса

. (37)

Рис. 15

Направление вектора момента импульса найдем по правилу правого винта. На рис. 15 вектор направлен вниз (лежит в плоскости рисунка). Приa= p/2 момент импульса м. т. максимален и равен произведению модуля радиус-вектора и модуля вектора импульса или равен произведению модуля радиус-вектора, массы м. т. и модуля скорости:

М_max = mvR, где R = rsin (рис. 15).

_{При  = 0}^о _{момент импульса минимален и равен нулю: Мmin = 0.}

Единицей измерения момента импульса в СИ является килограмм, умноженный на метр в квадрате, деленный на секунду.

2.18. Момент импульса системы материальных точек

Если тело представить как систему м. т., то можно найти момент импульса тела относительно полюса 0.

Вектор момента импульса системы м. т. (тела) относительно полюса 0 равен геометрической сумме векторов моментов импульса, действующих на каждую м. т. в отдельности относительно того же полюса 0.

или

Переходя к модулю момента импульса тела относительно полюса 0, и используя связь линейной скорости с угловой скоростью (v_i = r_i), после подстановки в последнее выражение, получаем:

L = I , (38)

где

I = mr² -

– момент инерции системы материальных точек.