2.3. Центр инерции системы материальных точек

Для исследования движения системы м. т. в целом, необходимо изучить движение каждой м. т. Для этого можно использовать законы Ньютона.

Нужно будет составить большое число уравнений. Эти трудности можно обойти, если ввести понятие центра масс.

Центром инерции двух м. т. называют точку, делящую расстояние между ними в отношении обратно пропорциональном их массам.

Из математики известно, что координаты т. С (x, y, z), делящей отрезок в данном отношении m₁/m₂, связан с координатами концов отрезка, следующим образом (рис. 3.1):

Решая эти уравнения относительно x, y, z, т. е. координат центра масс (инерции) т. С, имеем

Рис. 3.1

При любом перемещении тела произвольных размеров можно всегда представить движение как сумму поступательного движения его центра масс, колебательного, вращательного или другого сложного движения относительно центра масс.

Используя формулу радиус-вектора в виде

,

положение центра масс, будем характеризовать своим радиус-вектором:

(17)

или , где.

Если n  , то

Если же система состоит из n материальных точек, то координаты центра масс (инерции) связаны следующими соотношениями:

(18)

2.4. Движение центра инерции

Из закона сохранения импульса следуют два важных следствия, которые называются: 1) закон сохранения ц. м. (ц. и.); 2) закон аддитивности массы.

3.4.1. Закон сохранения центра инерции

Центр инерции замкнутой системы тел (м. т.) движется равномерно и прямолинейно или покоится.

Изменение положения ц. и. в пространстве характеризуется радиус-вектором или изменением его координат.

Х_с (19)

Тогда суммарный импульс каждой м. т. системы запишется в виде:

Переходя к бесконечно малым перемещениям в течение времени dt, найдем скорость движения ц. и., т. е. продифференцируем выражение (19) по времени:

, (20)

где – суммарная масса тел (м. т.), входящих в систему, а производные

проекции скорости движения ц. и. системы на оси координат.

В выражении (20) справа – проекции вектора импульса тел системы.

Действительно, если учесть, что ,

где v_c – cкорость центра инерции, то ,

где m_iv_i – импульс i-го тела (м. т.). Тогда

. (21)

Полный импульс механической системы равен импульсу м. т. (тел) с массой, равной суммарной массе тел системы и движущейся как движется её центр инерции.

Дифференцируя правую и левую части равенства (21) по времени, получим

(22)

так как, согласно второму закону Ньютона сумма справа в (22) равна сумме всех сил, действующих на каждую м. т. как внешних, так и внутренних.

По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно взаимодействующих частиц (м. т.) компенсируют друг друга.

Поэтому, остаётся только сумма всех внешних сил, т. е.

(23)

или

(24)

Формулу (24) называют уравнением движения центра инерции.

Центр масс механической системы движется, как двигалась бы м. т., в которой сосредоточена вся масса тел системы, под действием результирующей внешних сил, приложенных к м. т., входящим в систему.

Если система замкнута, то сумма всех внешних сил равна нулю:

;

если m = const, то .

Замечание: Скорость ц. и. определяется полным импульсом механической системы, поэтому перемещение ц. и. характеризует движение этой системы как единого целого. Этот вывод согласуется с законом инерции Галилея (для свободных тел).

Выводы о движении ц. и. позволяют широко использовать их при решении задач механики, поскольку уменьшают число уравнений, необходимых для решения задачи. Коэффициент пропорциональности m между импульсом и скоростью ц. и. равен сумме масс отдельных частиц, поэтому имеет смысл массы всей системы. В этом и заключается закон аддитивности масс.

Для однозначного определения движения тела (м. т.) к уравнениям движения необходимо добавить начальные условия. В зависимости от положения и скоростей тел их движения могут сильно отличаться друг от друга: тело может описывать параболу, двигаться вверх или вниз по прямой относительно поверхности Земли и т. д. Движения выглядят неодинаково потому, что законы Ньютона описываются дифференциальными уравнениями, а этого недостаточно, Для этого и нужны начальные условия.