МиАПР_ПОВТ_2012 / Васильков_Компьютерные технологии вычислений

Пример.

Найти один из корней уравнениях* +3дс^ -2х^ +3* -1=0. Примем в качестве начального значения х =0,75. Результаты

итерационного вычислительного процесса сведем в табл. 6.

Из таблицы видна высокая скорость сходимости метода. При­ мем за корень дс, =0,367660. Проиллюстрируем и несходящийся итерационный процесс на примере решения уравнения х^ -х^ - -2с^ + 3* -1 = О (один из корней равен 1,73). В качестве начальной точки возьмем точку, близкую к решению Хд = 1,75. Результаты вычислений приведены ниже в табл. 7.

В этом случае имеем расходящийся итерационный процесс Решения здесь не получить, надо использовать другие методы.

Читатель может самостоятельно проанализировать вьшолнение условий сходимости по приведенным соотношениям для обо­ их примеров.

81

УТОЧНЕНИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ПАРЫ КОРНЕЙ (МЕТОД ХИЧКОКА)

Комплексные корни алгебраических уравнений с действи­ тельными коэффициентакш всегда сопряженные, поэтому для их нахождения достаточно выделить квадратичный множитель вида х^ +рх+д,л затем уже найти его комплексные корни. В нахожде­ нии такого множителя и заключается поиск комплексных корней многими методами, в том числе и рассматриваемым.

Если разделим Р„(х) на x^+px+q,ro получим тождество

Р„(х) =(х2 + рх+ q)L„.j,x) +xP(p,q) +0(Р,Я)>

где Zn_2(x)—частное от деленияР„(дс) на квадратичный трехчлен, а P(p,q) и Q(p,q) — многочлены ore р я q. Для того чтобы х^ + px+q был делителем Р„(х), необходимо и достаточно, чтобы P{p,q) =0 и Qip,q) =0. Если решить систему уравнений

Р(Р,Я)=0, Q(p,q)=0,

то мы получим необходимые значенияj? и q.

Процесс нахожденияpnqносит итерационный характер:

а Лр', А^', А' В свою очередь вычисляются через определители так:

Р',(р',я^) Р(р',д^) Q',(p'.q^) Qip',q^)^

ЛР'.9^) P'pip\g^) Qip'.q^) Q'p(p',q^)'

А' = P'pip'.q^) P;,(.p',q^) Q'pip',q^) Q',(p'.q^)'

Значения производных Fp(p',q') (для компактности исполь­ зованы стандартные обозначения Fp{p',q')»dPldp), K(p',q'),

82

Итак, вьщелен квадратичный трехчленх^ +3,78&с -0,236 Его

корнями являются ДС] «-3,8502,дг2 «0,0613.

После деления исходного полинома на выделенный трех­ член получим следующий полином: 1^х) =х^+0,21115х+4,23605 Приравняв его к нулю и решив, получим еще одну пару корней д;з^4 «-0.1056+2,055/

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

КОНЦЕПЦИЯ МЕТОДОВ

Решение системы нелинейных уравнений /(д:)=0, где х — векторная величина, а /(дс) — векторная функция, значительно сложнее, чем решение одного уравнения. Очень сложно отделить корни, поэтому на этом этапе обычно выбирают начальное при­ ближение ближе к потенциально возможному решению. Для полз'чения всех возможных решений чаще всего на практике пере­ бирают различные начальные условия поиска. В основном используют два метода решения систем: метод Ньютона — Рафсона и метод итераций. Реже используются поисковые методы оптимизации, которыми ищут минимум суммы квадратов невя­ зок/(л) =8 всех уравнений системы, подбирая переменные х,-:

R = ^e^—> min,

который будет иметь место только при всехе, =0, т.е. соответст­ вующие значения х, будут являться решением системы.

МЕТОД НЬЮТОНА — РАФСОНА

Метод базируется на разложении функций fj(x^,X2,... ,х„) в ряд Тейлора с отбрасыванием всех нелинейных членов разложе­ ния (т.е. функции линеаризуют). Затем ставится задача перехода по всем переменным из текущей точкид:' в следующую дс'"^', кото­ рую считают решением, т.е. находят А' =дс'*' +х', поэтому пола-

84

гают /(д:'*') = 0. Получается система линейных уравнений отно сительно h^J (/=1,2,..., и):

(здесь и далее через d обозначены частные производные), кото рую решают. С найденными шагами Л. переходят в новую точку по всем переменным х'.^' = дс'. + А'. (/ = 1,2,..., л). Однако вследст вие линейного приближения новая точках-'"^* не является решени ем, т.е. /(х'*') 7t О, ее просто считают следующим приближением

и повторяют всю процедуру многократно, делая процесс поиска корней итерационным. Сходимость метода довольно высокая особенно если удачно выбрано начальное приближение.

Окончание поиска решения осуществляется по условию мало сти шагов по всем переменным одновременно, например при вы полнении условия |М| < е для у = 1, 2, ..., я, где е — заданная

погрешность. Так же как и при решении одного уравнения, мож но воспользоваться для окончания поиска условием малости отклонений функций /(х,,...,х„) от нуля, например условием тах{/(х')}<8, или потребовать вьшолнения обоих условий

сразу.

Недостатком метода является необходимость на каждом шаге вычислять частные производные по всем переменным от всех функций и решать систему линейных уравнений. Существует мо­ дификация, не требующая на каждом шаге вычисления производ ных (используются производные, полученные на первом шаге) но сходимость такого метода существенно ниже.

Пример.

Решить систему уравнений с погрешностью не хуже 0,001. /,(jc„X2) = sin(2t, -Х2)-1,2х, -0,4=0,

Я х , ,Х2) = 0,8дс? + 1,5x2^ -1 = 0.

Найдем выражения для производных:

^=2со»(2.,-.,)-1,2, ^ = - с о К 2 . , - . , ) . ^=1,6 . ,, ^=3»:,.

85

Новые точки находим через предыдущие:

Величины h будем находить из решения системы уравнений через определители.

В качестве начальной точки возьмем х,° =0,4, х" =-0,75, ре­ зультаты вычислений сведем в табл. 9.

Таблица 9

Ответ: х, «0,491, х^ « -0,734.

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ

В этом методе, как и при решении одного уравнения, предва­ рительно все уравнения приводят к специальному виду х =<p(x):

Сущность метода аналогична соответствующему методу при решении одного уравнения. Берется произвольное начальное зна-

86

чение jc° {xf, д:",..., Jc°) и подставляется в уравнение. Из каждо го уравнения системы находятся новые значения (д:}, xl,..., х],) т.е. х\ которое затем опять подставляется в уравнение и нахо дится х^, затем х^ и т.д. При выполнении условий

последовательность jc°, дс', х\ х^, ... сходится к решению. Для обеспечения сходимости метода можно использовать следующий способ преобразования исходной системы к виду, удобному дл итераций:

J

где ay находятся из решения вспомогательной системы уравне ний

^ = 0 , /,у=1,2,3,...,«. axj

Недостатком такого подхода является необходимость боль шого объема вычислений, так как преобразования следует делать на каждом шаге итерахщй. Несколько меньшая сходимость может быть получена, если преобразование от f{x) =0 к дс=(р(х) делать через несколько шагов или один раз.

Пример.

Решить систему уравнений

sm(xi -0,6)-^2 =1.6. 3*, -cos *2 =0,9

спогрешностью не хуже 0,001.

Вкачестве начальных условий примем х^ =0,15, Х2 --2. Пре образуем систему к виду, удобному для применения метода, пу тем выражения переменных из каждого уравнения (этот прием

87

далеко не всегда применим, но в данном случае возможен):

ДГ, = - c o s Х2 + 0,3 = ф i(X| ,Х2), X:2=sin(x, - 0 , 6 ) - 0 , 6 = ф2(Х1,Х2)-

Проверим выполнение условий сходимости

Нетрудно заметить, что условия сходимости будут вьшол няться всегда:

Bee промежуточные вычисления для компактности записи сведем в табл. 10.

Таблица 10

^-2,00 -2,035 -2,0245 -2,0342 -2,0313 -2,0341 -2,0333 -2,034

Ответ: Xj «0,151, Х2 «-2,034.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

1.Что дает отделение корней?

2.Можно ли аналитически отделить корень функции с разры вами?

88

3.Можно ли произвольно задавать значения на отрезке по оси х для отделения корней?

4.Что при отделении корней называют критическими точками?

5.Сколько корней может быть у функции, если у нее существу ет лишь одна критическая точка?

6.Какие основные проблемы могут ветрелпъся при аналитиче ском отделении корней?

УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ

Метод деления отрезка пополам

1.В чем заключается геометрический смысл метода половин ного деления?

2.Всегда ли позволяет метод половинного деления вычислить отделенный корень уравнения с заданной погрешностью?

3.Как выбираются концы отрезка следующего интервала в ме тоде половинного деления?

4.Какими свойствами должна обладать функция f{x), чтобы методом половинного деления можно было гарантированно решить уравнение f{x)=О?

5.Что необходимо для нахождения хотя бы одного действи тельного корня уравнения /(дс)=0 методом половинного деления?

6.Можно ли найти корень методом половинного деления, если он находится на границе интервала?

Метод хорд

1.Какие корни позволяет определить метод хорд?

2.В чем заключается геометрический смысл метода хорд?

3.Всегда ли метод хорд позволяет вычислить отделенный ко­ рень с заданной погрешностью?

4.Как выбираются концы отрезка интервала в методе хорд?

5.Какими свойствами должна обладать функция /(х) для того чтобы методом хорд можно решить уравнение /(х) =0?

6.Какой конец хорды неподвижен при реализации метода?

89

Метод Ньютона

1.В чем заключается геометрическая интерп1)етация метод Ньютона?

2.Исходя из чего выбирается в методе Ньютона первое прибли жениедсо?

3.1Сак выбираются концы "закрепленного" отрезка интервала методе Ньютона при/ • / ' < Она концах интервала?

4.Как выбираются концы "закрепленного" отрезка интервала методе Ньютона при/ • / ' > Она концах интервала?

5.Что необходимо для того, чтобы уравнение /(х) =0решалос методом Ньютона?

6.В каких случаях применение метода Ньютона не рекоменду ется?

Метод параболической аппроксимации

1.Б чем заключается геометрический смысл метода параболи ческой аппроксимации?

2.Последовательность каких процессов представляет собой ме тод параболической аппроксимации?

3.Как выбираются концы отрезка интервала в методе параболи ческой аппроксимации на втором и последующих шагах?

4.В каких сшуациях метод параболической аппроксимации ш найдет ксфень?

5.Можно ли утверждать, что в методе парабол последователь ные приближения могут лежать по одну сторону от корня?

6.Может ли метод параболической аппроксимации найти ко рень, если на начальном участке находится несколько кор ней?

Метод простой итерации

1.Какой функцией заменяется левая часть уравнения /(х) =0 методе итераций?

2.Что называется сходимостью метода итераций?

3.С какой стороны может осуществляться приближение к кор ню в процессе итераций — слева или справа?

90