МиАПР_ПОВТ_2012 / Васильков_Компьютерные технологии вычислений

3.2.С ограничениями (условные):

•с ограничениями типа равенств;

•с ограничениями типа неравенств;

•смешанные.

В пособии представлены пять тем:

1.Одномерная оптимизация.

2.\1ногомерная безусловная градиентная оптимизация.

3.Многомерная безусловная безградиентная оптимизация.

4.Многомерная безусловная случайная оптимизация.

5.Многомерная условная оптимизация.

Методы одномерной оптимизации являются базой для не­ которых "многомерных" методов. В многомерной градиентной оптимизации строится улучшающая последовательность в зави­ симости от скорости изменения критерия по различным направ­ лениям. При этом под улучшающей последовательностью пони­ мается такая последовательность дго, дс,,..., jc,.,..., в каждой точке которой значение критерия оптимальности лучше, чем в преды­ дущей. В безградиентных методах величина и направление шага к оптимуму при построении улучшающей последовательности формируется однозначно по определенным детерминированным функциям в зависимости от свойств критерия оптимальности в окрестности текущей точки без использования производных (т.е. градиента). Случайные методы используются в задачах высокой размерности. Многомерная условная оптимизация учитывает ак­ тивные ограничения, выраженные в виде равенств и неравенств. В каждом из рассмотренных направлений имеется большое число методов, обладающих своими достоинствами и недостатками, ко­ торые зависят прежде всего от свойств тех функций, экстремум которых ищется. Одним из сравнительных показателей качества метода является количество значений функщи, которое нужно вычислить для решения задачи с заданной погрешностью. Чем это число меньше, тем при прочих равных условиях эффективнее метод.

Эти темы охватыэают широкий спектр методов и являются достаточным минимумом, необходимым для дальнейшего ус­ пешного решения различных задач оптимизации, возникающих при математическом моделировании реальных технологических

иэкономических объектов и управлении ими.

Втеоретических и математических задачах принято рассмат­

ривать задачи оптимизации как задачи поиска минимума функ111

ции. Даже методы имеют общее название — методы спуска. Од нако при решении реальных практических задач очень часто встречаются задачи и на максимум (например, максимизация до хода, объема выпуска продукции и т.д.). Конечно, легко перейти от одного вида экстремума к другому путем смены знака у крите рия оптимальности, но это делают в прикладных нематематиче ских задачах не всегда, чтобы не терять содержательную нить за дачи. Поэтому в данной книге не делается упор на поиск именно минимума, тем более что практически все методы могут искать и минимум, и максимум при незначительных изменениях в алго ритмах. Это поможет не потерять контакт со многими нематемги тическими изданиями, полезными в профессиональной деятель ности.

ОДНОМЕРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

КОНЦЕПЦИЯ МЕТОДОВ

В данном разделе рассматриваются методы решения одно мерных задач оптимизации вида

Щх) -> maxIa<x<b,

где X — скаляр, а яЬ — соответственно минимальное и макси мальное возможные значения переменной х.

В основном рассматриваются алгоритмы, связанные с по строением улучшающей последовательности. Решением задачи называется дс*, при котором R{x*) > Щх) для любого значения а<х<Ь. При практическом решении задач не будем различать два значения д:,. и х,.^,, если |дг, -Ar,+i| й е, где г — задаваемая по­ грешность решения.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ

МЕТОД СКАНИРОВАНИЯ

Метод заключается в последовательном переборе всех значений а<х<Ьс шагом е (погрешность решения) с вычислением крите­ рия оптимальности R в каждой точке. Путем выбора наибольшего из всех вычисленных значений /? и находится решение задачиjc*.

112

Достоинство метода в том, что можно найти глобальный мак симум критерия, если R(x) — многоэкстремальная функция. F недостаткам данного метода относится значительное число пов торных вычислений R(x), что в случае сложной функции R{x требует существенных затрат времени.

На практике можно реализо­ вать одну из основных модифи­ R каций метода — последователь­ ное уточнение решения, или сканирование с переменным ша­ гом (рис. 13).

На первом этапе сканирова­ ние осуществляют с крупным шагом, затем отрезок, внутри которого получено наибольшее значение Я{х), разбивается на более мелкие отрезки, ищется новый отрезок, внутри которого находится уточненное значение максимума. Он (новый отрезок) опять делится на более мелкие и т.д., до тех пор, пока величина

отрезка, содержащего максимальное значение R(x), не буде меньше заданной погрешности. Главный недостаток этого вари анта метода — возможность пропуска "острого" глобального максимума R{x).

Пример.

Дана функция R(x) = D sm(Ax'^ +С), где коэффициенты име ют следующие значения: А =1,0, В =1ДС =1,0, D =1,0. Найти мак симум на интервале: [-1,2]. Ошибка задается по jc: е =0,05.

Результаты расчетов. Разобьем весь интервал на че тыре подынтервала (крупный шаг), координаты х будут следую щими: дс, =-0,25,дг2 =0,5,^3 =1,25.

Соответственно значения критерия равны: /?i =0,68163, i?2 = =0,9974, Лз = 0,77807. Следовательно, в качестве нового отрезка выбираем отрезок [-0,25, 1,25], так как внутри него находится

113

максимальное значение: XQ =0,5, RQ =0,99749499, О — номер ите­ рации (после первого этапа). Разбиваем его снова на четыре час­ ти, имеем значения: Х] =0,125, Xj =0,5,Хз =0,875. Вычислив R(x) в этих точках, получим, что новый интервал, внутри которого ле­ жит экстремум, равен [0,125,0,875].

Далее в табл. 17 приводятся только координаты середин от­ резков, при которых критерий имеет наибольшее значение, номер итерации и значение критерия.

Всего проведено 6-3 = 18 вычислений критерия оптималь­ ности.

МЕТОД ДЕЛЕНИЯ ПОПОЛАМ

Метод основан на делении текущего отрезка [а, Ь], где содер­ жится искомый экстремум, на две равные части с последующим выбором одной из половин, в которой локализуется максимум в качестве следующего текущего отрезка. Экстремум локализуется путем сравнения двух значений критерия оптимальности в точ­ ках, отстоящих от середины отрезка на 8 / 2, где г — погрешность решения задачи оптимизации.

Если R(x + е/2) > R(x - е/2), то максимум располагается на пра­ вой половине текущего отрезка [а, Ь], в противном случае — на левой.

Процесс поиска завершается при достижении отрезком [а, Ь] величины заданной погрешности е.

К недостаткам метода относится его работоспособность толь­ ко для одноэкстремальных функций R(x) (т.е. таких, которые со­ держат один экстремум того типа, который мы ищем в задаче),

114

так как в других случаях при сравнении двух критериев в сосед­ них точках невозможно правильно выбрать следующий интервал, где находится максимум.

На рис. 14 приведены три этапа метода половинного деле­ ния. Сплошными вертикальны­ ми линиями отмечены середины отрезков, а пунктирными — вы­ числяемые значения критерия оптимальности слева и справа на £/2 от середин.

Существует и другой вари­ ант алгоритма, заключающийся в следующем. После нахожде­ ния середины отрезка (напри­ мер, точка С]) в одной из полови­ нок (допустим, в левой) находят среднюю точку (точка Cj) и, срав­

нивая значения функции в этих точках, определяют, в какой из половинок находится экстремум. Если R{c{)< Rici), то в качестве следующего отрезка выбираем отрезок [а, С|], если же R(c^)> > R(C2), то берут новую точку в середине правой половины (точка Сз) и в ней вычисляют функщ1Ю. В зависимости от сравнения зна­ чений функции в точках с^ и Cj выбирают новый отрезок [cj, b]

или [С2, Сз] и т.д.

Второй вариант метода не имеет с точки зрения эффективно­ сти принципиального отличия от первого, так как эффективность принято оценивать по наихудшему варианту (т.е. по двум вычис­ лениям f(x) на каждом шаге). В первом варианте метода есть одна особенность, которая его делает очень эффективным при экспериментальном отыскании экстремума (например, при авто­ матической настройке технических систем или при практическом поиске наилучших условий деятельности экономического объек­ та). Малые отклонения от текущей точки обеспечивают в процес­ се поиска отсутствие "шараханий", сопровождающихся резкими отклонениями состояния системы.

115

Пример.

Дана функция Щх) = D sin(vtc*+C), где коэффициенты имеют

следующие значения: ^4 = 1Д 5 = 1,0, С = 1,0, Z? = 1,0. Найти макси­ мум на интервале: [-1, 2]. Ошибка задается по х: Е =0,05.

Результаты расчетов . Середина отрезка JCQ= 0,5000, значение критерия RQ =0,9975, значение R(0,5 - е /2) = Л(0,475) = =0,97922273, значение К{0,5 + е/2) = Л(0,525) = 0,9989513. Следо­ вательно, искомый максимум лежит в правой половине отрезка, т.е. теперь отрезком является [0,5, 2].

Далее приводятся только координаты середин отрезков с но­ мером итерации, значения критерия в них и указывается новый отрезок (тфавый или левый).

1^4 -X5|<e, поэтому в качестве решения можно принять лю­ бое из этих значений или середину между ними.

Всего восемь раз (4 • 2 = 8) вычислялся критерий оптимально­ сти (не считая вычислений непосредственно в середине отрез^са, которые не используются в алгоритме метода).

МЕТОД ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Метод основан на делении текущего отрезка [а, Ь], где содер­ жится искомый экстремум, на две неравные части, подчиняющие­ ся правилу золотого сечения, для определения следующего отрез­ ка, содержащего максимум.

Золотое сечение определяется по правилу: отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части от­ резка к меньшей. Ему удовлетворяют две точки end, располо­ женные симметрично относительно середины отрезка.

аЬ _ сЬ_. аЬ _ ad cb ас' ad db

116

Путем сравнения Л(с) и R(d) определяют следующий отрезок, где содержится максимум. Если R{d) > R(c), то в качестве сле­ дующего отрезка выбирается отрезок [с, Ь], в противном слу­ чае — отрезок [a,d].

Новый отрезок снова делится на неравные части по правилу золотого сечения. Следует отметить, что точка ^является и точ­ кой золотого сечения отрезка [с, Ь], т.е.

cd_ cd cb

Поэтому на каждой следующей итеращ1И (кроме "запуска" метода на исходном отрезке) нужно вычислять только одно зна­ чение критерия оптимальности.

Существуют аналитические формулы для расчета новой точ­ ки на отрезке, где находится максимальное значение /?(х), кото­

В практических задачах под одноэкстремальной функцией понимают функцию, содержащую один экстремум того типа, который ищется в задаче.

117

Пример.

Дана функция R{x) =sin{Ax"+С), где коэффициенты имеют

следующие значения: А = 1,0, В = 1,0, С = 1,0, D = 1,0. Найти макси­ мум на интервале: [-1,2]. Ошибка задается по х: е =0,05.

Р е з у л ь т а т ы р а с ч е т о в . Для "запуска" метода найдем две симметричные точки золотого сечения для отрезка [-1,2]:

Значения критериев в этих точках соответственно i?(xj) = =0,911080, ^(jCj) =0,960136. Следовательно, новым отрезком яв­ ляется [0,145898,2], внутри которого находится максимальное из найденных значений R. Точка золотого сечения для нового отрез­ ка будет jcj =0,58359214, а Л(хз) =0,99991813. Далее приведены только координаты лучших точек при очередном шаге, номер ша­ га и значения критерия в этих точках.

Всего было проведено 10 вычислений критерия оптималь­ ности.

МЕТОД ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Метод заключается в замене нелинейной функции R(x) квад­ ратичной параболой R^x), построенной по трем точкам, принад­ лежащим R(x), с последующим нахождением max параболиче­ ской функции, используя аналитические условия оптимальности: dR/dx =0.

На первом этапе в качестве исходных трех точек используют­ ся х, = а, ^2 = 6 и Xj =(a+b)/2. В этих точках вычисляется R{x) и по полученным точкам R(x{), ^(xj), Л(хз) строится парабола /?2 = =С2Х^ +CiX +Со, коэффициенты которой находятся из решения соответствующей системы уравнений:

Л2(Х,)=Л(ДС,), R2(X2) = RiX2), Л2(Хз)=Л(ДСз).

118

Условие оптимальности приводит к уравнению х^=-С^1(2С'^ где JC4 — точка максимума параболы R^^x). Далее выбирается но вый отрезок, внутри которого находится точка х». и, используя Хз х^, строится новая парабола, по которой уточняется положени максимума R(x) и т.д. до тех пор, пока величина отрезка, внутр которого находится максимум, не будет меньше заданной по грешности S. Таким образом, метод имеет итерационный харак тер. Можно строить параболу на каждом шаге и по трем послед ним точкам, но только в том случае, если точно известно, что функция гладкая и одноэкстремальная. В противном случае пер вый вариант даст лучший результат.

К достоинству метода относится высокая скорость сходимо сти к оптимуму, хотя метод может не всегда сходиться к нему.

На рис. 16 приведены два случая применения метода парабо лической аппроксимации: а) рассмотрена ситуация, когда метод параболической аппроксимации сходится к решению, уже на третьем этапе парабола, построенная по точкам x^tX^, Ху практи чески совпадает с исходной функцией; б) парабола не имеет мак симума уже на втором этапе.

Рис. 16. Иллюстрация метода параболической аппроксимации: а— решение найти можно; б — решение найти нельзя; 1 — функция, экстремум которой ищется; 2 — аппроксимирующая парабола пер­ вого этапа, построенная по точкам л;,, Х2,х^',3 — аппроксимирую­ щая парабола второго этапа, построенная по точкам jcj, д^, х^; Xj — середина исходного интервала; х^—точка максимума первой

параболы; Xj — точка максимума второй параболы

119

Пример.

Дана функция R(x) = D sia(Ax^ +С), где коэффициенты име

ют следующие значения: А=\,0, 5=1,0, С =1,0, D=1,0. Найп максимум на интервале: [-1, 2]. Ошибка задается по х: е =0,05.

Р е з у л ь т а т ы р а с ч е т о в . Первая аппроксимирующая па рабола строится по точкам: Xj =-1, R(-l)=C; JC2=0.5, Л(0,5)=О,9975 ^3 =2,0, R(2,0) =0,141120. Запишем систему уравнений для нахо ждения коэффициентов параболы:

1С2+(-1)С,+Со=0, 0,25С2 +0,5С, +Со =0,9975, 4С2+2С,+Со =0,14112.

Решением этой системы является С2=-0,41197, С, =0,459012 Со =0,87089.

Находим X, при котором парабола имеет максимум:

при этом R =0,99990609. По этой точке, а также по второй третьей исходным точкам, лежащим по обе стороны от точк максимума параболы, аналогично строится вторая парабола максимум которой оказывается в точке х =0,57823785, R =0,99997231. Разница между двумя точками максимума мене заданной погрешности, следовательно, можно заканчивать поиск

В этом методе всего четьфе раза вычислялся критерий опти мальности.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Метод сканирования

1.Экстремум каких функций R(x) можно найти методом скани рования?

2.Основное достоинство метода сканирования.

3.Способ "размещения" точек вычисления критерия оптималь ности на оси X.

120