МиАПР_ПОВТ_2012 / Васильков_Компьютерные технологии вычислений

точнее заменяет соответствующую криволинейную трапецию, чем прямоугольник.

Погрешность R вычисления интеграла методом трапеций при использовании двойного просчета на практике может быть опре­ делена из следующего соотношения:

3 '

где /д и 7^/2 —соответственно значения интеграла при числе раз­ биений п и л/2. Существуют и аналитические выражения для определения погрешности, но они требуют знания второй произ­ водной подынтегральной функции, поэтому имеют только теоре­ тическое значение. С использованием двойного просчета можно организовать автоматический подбор шага интегрирования (т.е. числа разбиений л) для обеспечения заданной погрешности ин­ тегрирования (последовательно удваивая шаг и контролируя по­ грешность).

Пример.

1 ,

вычислить 7 = 1" ^ для всего интервала и с делением ин-

тервала на четыре участка. Аналитическое вычисление данного интеграла дает 7 = arctg(1) - arctg(0) = 0,7853981634. В нашем слу­ чае:

1)Л =1,^0=0; л:, =1;

2)А =0,25 (1/4), ^0=0, л;, =0,25, ^2=0,5, Xj =0,75, Х4=1.

1+дс

51

Получим методом левых прямоугольников:

1)/«(6-а)/(0) = 1 - ^ = 1,0;

Получим методом трапеций:

+i-^-0,25 + ^-^^^=0,78279412.

МЕТОД СИМПСОНА

Этот метод базируется на замене подынтегральной функции квадратичной параболой, которая строится уже не по двум (как прямая в методе трапеций), а по трем точкам на каждом участке. По этим трем точкам (крайние точки участка и средняя точка) строится интерполяционная функция — полином второго поряд­ ка, который аналитически интегрируется. Получается следующая расчетная формула:

52

• для одного участка интегрирования:

ь

в этой формуле все ординаты с нечетными номерами имеют коэффициент 4Л/3, а с четными — 2Л/3 (кроме нулевого и послед­ него). При работе с этим методом обязательно разбивают весь ин­ тервал на четное число участков.

На рис. 6 приведен пример вы­ числения интеграла методом Симпсона. По сравнению с методами пря­ моугольников и трапеций он более точный, что наглядно видно из фафика (подынтегральная функция почти совпадает с параболой).

Метод Симпсона обеспечивает вычисление интеграла точно, без пофешности при полиноме третье­ го порядка. Следовательно, этот ме­

тод предпочтительнее предыдущих. Количественно оценить пофвшность при использовании двойного просчета можно по соотношению

15

53

т.е. при увеличении числа разбиений в два раза погрешность па­ дает в 15 раз.

Теоретические формулы оценки погрешности содержат про­ изводную четвертого порядка от подынтегральной функции, по­ этому не имеют практического значения.

Пример.

Рассмотрим вычисление интеграла из предыдущего раздела.

В случае одного участка будем иметь XQ = О,х, = 0,5, ^2 = 1, А = 0,5.

МЕТОД НЬЮТОНА — КОТЕСА

Данный метод является обобщением предыдущих, построен на аналогичных принципах и предполагает замену подынтеградьной функции параболой ^-го порядка (а не второго, как в методе Симпсона). Расчетная формула для одного (!) участка выглядит следующим образом:

где XQ=a, Xii=b, х,=а + i(b - a)/k, Hj — коэффициенты Нью­ тона — Котеса, а к — число использующихся ординат на участке (начиная с 0), которые применяются для аппроксимации подын­ тегральной функции. Естественно, что для замены f(x) парабо­ лой третьей степени потребуется уже четыре точки, а четвертой — пять точек. Коэффициенты Я,- не зависят от функ­ ции f(x) и определены заранее. Некоторые из них приведены ниже.

54

А: =5; Яо =Я5 =19/288; Я, =Я4 =25/96; Яз =Яз =25/144.

Все предыдущие формулы являются частным случаем форму­ лы Ньютона—Котеса. В частности, при ;t = 1 получаем метод тра­ пеций (для одного участка), при к =2— формулу Симпсона. Не следует брать к>Щ так как при больших значениях к алгоритм оказывается неустойчивым.

При разбиении всего интервала [а, Ь] на я участков формулу нужно применять для каждого участка, а результаты сложить.

Пример.

Рассмотрим вычисление интеграла из предыдущего раздела. Выберем к = 4.

1) ^ « ^ / ( 0 ) + ^/(0.25) + ^/(0,5) + i|/(0,75) +

+^/(1)=0,7855294;

2) в этом случае разобьем интервал на четыре участка (п = 4) с h =0,25, применим для каждого интервала формулу с к =4, сло­ жим результаты и получим / «0,78539817.

МЕТОДЫ ЧЕБЫШЕВА И ГАУССА

Все предыдущие методы имели следующую особенность: значения х располагались равномерно, а весовые коэффициенты были разными (в общем случае, хотя некоторые из них были рав­ ны друг другу). В методе Чебышева приняты все весовые коэффи­ циенты одинаковыми, а х^ — разными. Предварительно при использовании приведенных ниже формул метода следует преоб­ разовать переменную интегрирования, приведя ее к диапазону [-1,1] следующим образом:

55

Расчетные формулы получаются для различных значений к (число ординат, использующихся при расчетах на одном участке) исходя из обеспечения возможности интегрирования без ошибки полинома как можно более высокой степени. Оказывается, мож­ но интегрировать полином без ошибки приЛ^ = 2,3,4,5,6,7,9. Для этого уже рассчитаны необходимые параметры. Часть из них при­ ведена ниже.

С учетом преобразования переменной формула интегрирова­ ния будет выглядеть так:

/ =1/(X) dx =JЛЮ dz «^t/(^/)-

В методе Гаусса в отличие от метода Чебышева все z,- — раз­ ные и все весовые коэффициенты со,. Это позволило обеспечить интегрирование без ошибки уже полинома степени 2Jt - 1 , что и для любых друтик, не полиномиальных подынтегральных функ­ ций дает лучшие результаты (т.е. меньшую ошибку). Некоторые значения параметров формулы интегрирования приведены ниже.

С учетом преобразования переменной формула интегрирова­ ния методом Гаусса будет выглядеть так:

Следует отметить, что в этих методах вследствие неравномер­ ного шага интегрирования нельзя оценить погрешность интегри­ рования двойным просчетом. Для этой цели применяются другие достаточно сложные алгоритмы.

56

Пример.

Рассмотрим задачу, аналогичную ранее рассмотренным в этом разделе. Для сокращения решим ее только для всего интерва­ ла сразу, не разбивая на участки. Примем )t = 4. Помним, чтоДг) =

=1/(1+х^) Hz(x:) = (0+1)/2 + jc(l-0)/2, соответственно будет лс =

=x{z) = 22-1. Для метода Чебышева получим:

д:, =х(-0,794654); ^2= л:(-0,187592); Xj = л; 0,187592; д:4=х 0,794654;

/ « ^ ( / ( ^ i ) +/(^2) +/(^3) + / W ) =0,78530324.

Для метода Гаусса получим:

Х] =д;(-0,861136); х^ =л:(-0,339981); Ху =х 0,339981; X4=A: 0,861136;

/ « b0(0,347855/(jc,) +0,652145/(^2) +

+0,652145/(д;з) +0,347855/(^4)) =0,78540298.

Если сравнить полученные результаты с аналогичными для других методов при интегрировании всего участка сразу, то мож­ но убедиться, что последние методы обладают более высокой точностью, хотя и требуют более сложных вычислений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Простейшие методы вычисления интегралов

1.Как в методе прямоугольников уменьшить погрешность на­ хождения интеграла?

2.В каких случаях метод прямоугольников находит примене­ ние?

3.Как уменьшить в методе трапеций погрешность нахождения интеграла?

57

4.В каких случаях метод трапеций находит применение?

5.Можно ли получить методами прямоугольников и трапеци точное значение интеграла?

Метод Симпсона

1.Какой аппроксимирующей заменяется подынтегральна функция в методе Симпсона?

2.Если для построения аппроксимирующей функции средня точка берется не в середине участка, то что изменится в алго ритме?

3.Обязательно ли участок интегрирования разбивать при реа лизации метода на более мелкие участки?

4.Дана подынтегральная функция/(х) = д: -ь 7, с каким методол совпадет метод Симпсона?

5.Почему метод Симпсона использует аппроксимацию подын тегральной функции квадратичной параболой, а способен ин тегрировать без ошибки и кубические параболы?

Метод Ньютона — Котеса

1.Являются ли постоянными весовые коэффи1щенты в слагае мых в формуле Ньютона — Котеса?

2.Может ли результат, полученный методом Ньютона—Коте са, совпасть с результатом, полученным методом с более низ кой точностью, например методом левых прямоугольников?

3.Может ли подынтегральная функция в методе Ньютона — Котеса аппроксимироваться полиномом второй степени?

4.Какой наивысшей степени полином может использоваться для замены подынтегральной функции в методе Ньютона — Котеса?

5.Могут ли точки при интегрировании располагаться неравно мерно?

Методы Чебышева и Гаусса

1.Зачем осуществляют преобразование исходного интервала интегрирования к диапазону (-1, 1)?

58