doc2
.pdf590 X. Динамика материальной системы
Р е ш е н и е
Используя формулу Циолковского, запишем скорости ракеты на каждом из трех этапов:
1-й этап— |
v, = v<"liui; |
(1) |
2-й этап — |
v2 = V, + v<2) 1пг2; |
(2) |
3-й этап — |
v3 = v2 + v<3) In Zy. |
(3) |
Так как по условию задачи v*,0 = v<2) = |
= ve и Z\ = Zj = Z3 - Z, то, |
|
решив совместно уравнения (1)-(3), получим, что v3 = 3velnz. Следовательно,
= el•25 = e • \Te = 2,718 •iflJTE = 3,49.
Ответ: z = 3,49.
Задача 45.24
Трехступенчатая ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления атмосферы. Эффективные скорости истечения и числа Циолковского для всех ступеней одинаковы и соответственно равны ve =2500 м/с, z = 4. Определить скорости ракеты после сгорания горючего в первой ступени, во второй и в третьей.
Р е ш е н и е
Воспользуемся формулой Циолковского и определим скорости ракеты на каждом из трех этапов:
1-й этап — v, = ve\nz = 2500 • 1п4 = 3465 (м/с);
2-й этап - v2 = v, + ve In г = 3465 + 2500 -!n4 = 6930 (м/с);
3-й этап - v3 = v2 + ve In г = 6930+2500 - 1п4 = 10 395 (м/с).
О т в е т : v, = 3465 м/с; v2 = 6930 м/с; v3 = 10 395 м/с.
Задача 45.25
В момент, когда приближающийся к Луне космический корабль находится на расстоянии Н от ее поверхности и имеет скорость v0,
592 |
X. Динамика материальной системы |
На поверхности Луны выполняется условие
GmM
>Щя = -R2
т.е. GM = gj]R2.
В результате выражение (3) можно записать в следующем виде:
|
dv_ |
gnR2 |
~ |
- av., = 0. |
( 4 ) |
|
dx |
(R+H-x)2 |
|
|
|
Разделив в уравнении (4) переменные и проинтегрировав, получим |
|||||
|
0 |
ч |
и* |
|
н |
|
f vdv - gj] R2 j |
£ |
• <xve J dx |
||
|
1 |
J (R+H-x)2 |
0 |
||
или |
|
|
|
|
|
|
>'0 = g*R2 |
1 |
|
|
|
|
R+H-x |
о |
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
2 = |
1 |
1 |
~ - a v P H . |
|
|
R+ H } |
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
av, H _ |
VQ2 T |
Zr&H |
|
|
|
|
2 |
R(R+H) |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
2veH |
ve(R+H) |
|
||
О т в е т : a = |
gnR |
|
|
|
|
2veH |
ve(R + H) |
|
|
|
|
Задача 45.26
Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение w постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату ско-
45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава) |
593 |
рости (Ь — коэффициент пропорциональности). Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная скорость истечения газа ve постоянна.
Р е ш е н и е
Запишем уравнение Мещерского для движения ракеты в поле сил тяжести с учетом сил сопротивления (см. рисунок):
|
mw = - mg-Фе - R, |
|
||
где Фе = ve |
dm |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
mg |
|
mw = -mg-ve |
dm |
,bv2 |
R |
или |
|
dt |
|
Ф. |
|
|
|
|
|
|
ve^- + (w + g)m+bv2 |
=0. |
( I) |
|
Так как
dvdt • W,
то с учетом того, что v0 = 0, получим v = wt и тогда уравнение (1) примет вид
|
|
|
dm |
vv + g |
„2 |
|
у |
г, |
|
|
|
bw |
г |
||||
|
|
|
— |
+ - — - т + |
v„ |
=0 |
||
|
|
|
dt |
v„ |
|
|
|
|
или |
|
|
dm + am+$t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0, |
(2) |
||||
|
|
|
~dt |
|
|
|
|
|
где a = |
w + g |
a f>W2 |
. |
|
|
|
|
|
V„ |
(} = |
|
|
|
|
|
||
|
v„ |
|
|
|
|
|
|
|
Решим однородное уравнение, соответствующее формуле (2): dmdt + am = 0,
следовательно, т = Се а
594 |
X. Динамика материальной системы |
В соответствии с методом вариации постоянных решение урав- |
|
нения (2) ищем в виде |
|
m = C(t)e~a'. |
(3) |
Подставим выражение (3) в уравнение (2):
dt e~w -Сосе-0" +Сае~ш +рt2 = 0
или
|
|
dt |
Р |
|
Интегрируя по частям, получим |
|
|||
С = - pjrVdr+C, = ~^\t2deOJ |
+С, = |
t2eM + Qjtewdt +C, = |
||
|
|
a |
a |
a |
a |
a2 J |
a |
a2 |
a2 J |
|
= _ P^ e a/ + 2p / e a / _ 2p e C ( / + |
|||
|
a |
a2 |
a3 |
|
Подставим это выражение в формулу (3): |
||||
|
т = С\е~ш-^t'+^rt-^r. |
(4) |
||
|
|
a |
a |
a |
Используя начальное условие т (0) = т 0 при / = 0, определим
г, 2aР
Тогда согласно формуле (4)
( |
|
ш р < 2 |
2р |
2р |
V |
a' J |
a |
a |
ог |
Возвращаясь к обозначениям а и Р в формуле (2), получим
2р _ lbv2w2 |
р _ |
bw2. |
2р _ 2vebw2 |
a3 (w + g)3' |
a |
w+g' |
a2 (w + g)2 |
45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава) |
595 |
|||||||||
и запишем окончательный |
результат: |
|
|
|
|
|
|
|||
т |
= Щ + |
2bvjw2 |
bw2 |
+ |
2v„bw2 . |
2vjbw2 |
|
|||
(w + g)3 |
t2 |
|
•t-- |
(w + g)3" |
|
|||||
|
|
w + g |
|
(w + gY |
|
|||||
О т в е т : |
m - Щ+ |
2bv2w2 |
bw2 |
j |
|
2v„ bw2 |
|
2vj bw |
|
|
(w+g)3 |
— .tl+— |
- t - |
e |
|
||||||
|
|
|
w + g |
|
|
(W + g)2 |
|
(w + g)3' |
|
|
Задача 45.27
Ракета перемещается в однородном поле силы тяжести по прямой с постоянным ускорением w. Эта прямая образует угол a c- горизонтальной плоскостью, проведенной к поверхности Земли в точке запуска ракеты. Предполагая, что эффективная скорость истечения газов ve постоянна по величине и направле-
нию, определить, каково должно быть отношение начальной массы
ракеты к массе ракеты без топлива (число Циолковского), |
если |
||
к моменту сгорания топлива ракета оказалась на расстоянии |
Н от |
||
указанной выше касательной |
плоскости. |
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
Уравнение Мещерского, описы- |
|
||
вающее движение ракеты с посто- |
|
||
янным ускорением w по прямой, |
|
||
расположенной под углом а к гори- |
|
||
зонту (см. рисунок), имеет в проек- |
|
||
циях на оси координат д- и у следую- |
|
||
щий вид: |
|
|
|
mw cosa = |
dm cos(3, |
(1) |
|
|
dt |
|
|
mwsina = - mg |
dm . n |
|
|
•v„ — sinp. |
(2) |
|
|
|
dt |
|
|
596
Из уравнения (1) следует, что |
|
|
|
систем |
|
|
|
|
|
||
dm _ |
w cos осdt=$ in mlm |
" |
= _ 2^ £ £ sa |
,т |
|
« |
v.cosp |
" " |
^ o - ^ |
t |
|
Отсюда
(3J
ve cosp
Подставив выражение (3) » у р а в н е н и е ( 2 ) >
|
m0e-a,wsm а = ~ m0e'°'g |
+ veam0e"" sin|3 |
или |
|
|
|
wsin a + g = ve |
о |
Откуда |
ve cosp |
|
|
|
|
|
t g ( 3 = wsina+g |
|
|
vccosa |
' |
P = a r c t g f 2 ^ L ±£ w cosa
Проинтегрируем уравнение (1) П 0 |
воемени п „ |
|
Г - время сгорания топлива. Тогда |
П р е д е л а х от 0 ^ Г, |
|
In; |
Лтк |
Ю |
|
т0 |
|
или |
|
|
Откуда |
«•cosa^ |
|
z - |
e v e cos£ |
|
Время T определим из условия |
^ |
|
d2y
-jjY ~ wsin a.
45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава) |
99 |
|||
или |
|
|
|
|
|
|
— = -yte"'. |
|
(4) |
|
|
dt |
|
|
Проинтегрируем уравнение (4) по частям и определим |
|
|||
C = -y\tea,dt+C{ |
= - I f |
tde"'+Q=-he'" |
+ y-iea'dt+C, |
= |
|
а |
а |
а 3 |
|
= +Че«> +Q.
аа
Подставим это значение С в выражение (3):
аа~
Используя начальное условие при t = 0 т(0) = т0, определим постоянную интегрирования
|
|
|
|
С| = т 0 - Х |
|
|
|
||
С учетом обозначений а и у получим |
|
|
|
||||||
|
|
|
( |
bwve ^ ' |
bw(t |
t—t |
v, |
I |
|
|
|
|
т = \т0—гт~ |
\е |
wД |
|
|||
|
|
|
V |
W| |
J |
|
щ) |
||
„ |
( |
и 0 |
bwve} |
|
bw(, |
v. |
|
|
|
О т в е т : и = |
|
т~\е |
; |
/ - |
— |
|
|
|
|
|
v |
щ ) |
|
щ V |
ц |
|
|
|
|
где W| = w + g(sina+/cosa); |
/я„ — начальная масса тела. |
||||||||
Задача 45.29
Аэростат весом Q поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат действует подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости: R = -(Зх2. Вес единицы длины каната у. Составить уравнение движения аэростата.