Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1316 вузов, 5367 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc2

.pdf
Скачиваний:
117
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
14.26 Mб
Скачать
☆

580

X. Динамика материальной систему

Найдем постоянные интегрирования С\ и С2, подставив в формулы

(3) и (4) начальные условия движения: х0 = v0, х0 = 0 при t = 0; Q = v0, С2 = 0, тогда выражения (3) и (4) примут вид

v = x = v0-f(g-ave)t,

 

(5)

 

 

/2

 

(6)

s = x = v0t-/(g~ave)j.

 

Из равенства (5) найдем а, при котором тело будет двигаться с по-

стоянной скоростью v0:

 

 

 

 

v = v0

= v0

-f(g-ave)t,

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

Ve

 

 

О т в е т : v = v0-f(g-ave)r,

s = v0t-f(g-ave)—;

t2

Я

2

<x = —.

 

 

 

v.

Задача 45.18

Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve, если известна начальная масса ракеты т0 и секундный расход (3?

Р е ш е н и е

Запишем уравнение динамики ракеты переменной массы в проекции на направление ее движения:

dv

dm

т — = —ve —

dt

dt

или

л

dm

 

dv = -ve—.m

(1)

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

581

Проинтегрируем уравнение

(I):

 

 

 

L

 

1

d m

 

 

J dv-

J -к

—

 

 

0

 

mg

т

 

и получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

щ

(2)

 

V = -Ve(ln ГП\ - 1п/Я0) = Ve 1п

 

 

 

 

m,"

 

Согласно формуле (2) при достижении ракетой скорости v = ve

 

1 = I n l i n e ,

 

 

 

 

m.

 

 

Откуда

 

 

 

 

 

 

 

mx Щ

 

(3)

В то же время

 

 

 

 

 

 

/и, = т 0 - р / -

(4)

Приравняв выражения (3) и (4), найдем время, когда v = ve\

 

 

T_m0(.e-l)

 

(5)

 

 

 

Ре

 

 

 

 

 

 

Равенство (2) запишем в виде

 

 

 

v = ~

= ve(ln w0 -

1п Щ)-

(6)

В выражении (6) разделим переменные и проинтегрируем:

 

s

т

 

т

 

 

\dS = J ve In mQdt - ve J In (щ - PO dt;

 

0

0

 

0

 

 

s = ve 1п#и0-/|о v r

(«0-РО ^(«o-po = Ve 1п/я0-/|о +

 

P0

+^(m o - P01n(mo - p0

582

X. Динамика материальной систему

^ = ve Т In /я0+ (щ - р?) In (ю0 •- р/)

5 = veT\nm0 + j-C/Wo-PT^ln^o-prj-^-moln/no-

(7)

Подставим выражение (5) в формулу (7) и получим

тй(е-\),

 

ve

 

 

In щ-

7Ио1п/И0-

 

Ре

 

 

Р

 

е

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

щ

т^е-1)

 

УеГПр _

 

 

 

 

Р

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

= ~^(е1пм

0 - 1п m0

+ \nm0~\-e\n

/и0

-1 + е) = ^ ^ - ( е - 2 ) .

 

ре

 

 

 

 

 

 

 

Ре

„

 

vem0

е-2

 

 

,,

 

 

 

О т в е т :

s =

р ^

е

, где

е — Неперово число.

Задача 45.19

Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо. Начальная масса ракеты т 0 , конечная — Эффективная скорость истечения ve постоянна.

Р е ш е н и е

Запишем дифференциальное уравнение динамики ракеты переменной массы в проекции на направление ее движения:

dv

dm

т— = —V- —

dt

dt

и л и

dv = -v,

dm

(!)

 

m

 

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

583

Проинтегрируем уравнение (1):

 

 

 

 

J * - j

dm

 

 

 

т

 

 

о

«о

 

 

и получим

 

 

 

 

 

v = ve(lnm0-ln/w).

(2)

Работа силы тяги

 

 

 

 

 

 

А = \Fds,

 

 

 

где F = т—; <& = УЛ.

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

>1 = риу

 

tfv.

(3)

Подставим выражение (1) в формулу (3):

 

 

A = ~\vevdm,

 

(4)

затем выражение (2) в формулу (4) и получим

 

 

mi

 

 

т

1 =

A--v2

j (In т0 - In т) dm =

Inmo'/n]^ н- v|m In m| 1

 

'«U

 

 

 

 

= ~vj]nm0-{mi-mo) + v2ml\nml-vl\r\m0m0-veml + vem0 =

= -v}m| In wq + v2mo In w0 + v2W| In /n(

- v2mQ In m0 -

+ vjmQ =

 

= /n,v; -(lnm0 -lnm|) + — - 1

 

 

 

 

 

Щ .

 

Так как

 

 

 

 

 

 

~ ~ Zf

 

 

 

 

 

m,

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

A=m<v}(z-\-\nz).

(5)

О т в е т :

/4 =mxv2(z~ 1 - In z), z = m0/ml.

 

 

584

X. Динамика материальной системы

Задача 45.20

 

 

При каком отношении z начальной т 0

и конечной

масс ракеты,

движущейся прямолинейно в пустоте

и

при отсутствии сил тяготе-

ния, ее механический к.п.д., определяемый как отношение кинетиче+ ской энергии ракеты после выгорания топлива к затраченной энергии, имеет наибольшее значение?

Р е ш е н и е

Запишем выражение для вычисления к.п.д.:

Тm,v?

т| = — = - L - L ,

А 2А

где Т— кинетическая энергия ракеты после выгорания топлива; А — работа силы тяги.

Используем формулы (2) и (5) из решения задачи 45.19:

V[ = Ve(ln /WQ — In ftl\)

или

v, = v e ln — = velnz,

Щ

 

А=т^е

(z-\-\nz).

 

Тогда

 

 

 

 

 

T| —

miv2ln2z

 

—

In2

г

e

 

 

 

2 m , v e % - l - h u )

 

2(z-\-\nz)

Для определения экстремума найдем производную этого выражения и приравняем ее нулю:

2 l ( < : - l - l t u ) l n £ - f l - - l l n 2 2

= 0.

2 ( t - l - ins)2

Откуда

2(z-\)-2\nz-z\nz+\nz

= 0

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

585

или

2<г-1)

где z — корень уравнения 1пг = —• -. 1 + z

О т в е т : z — корень уравнения In г = — — l + z

Задача 45.21

Самолет, имеющий массу т0, приземляется со скоростью v0 на полярный аэродром. Вследствие обледенения масса самолета при движении после посадки увеличивается согласно формуле m-m0 + at, где а = const. Сопротивление движению самолета по аэродрому пропорционально его весу (коэффициент пропорциональности/). Определить промежуток времени до остановки самолета с учетом ( Т ) и без учета (Г,) изменения его массы. Найти закон изменения скорости с течением времени.

Р е ш е н и е

Покажем на рисунке силы, действующие на самолет: силу тяжести mg, силу трения ^тр, реакцию N опоры.

Запишем уравнение движения само-

 

лета в проекции на ось х, приняв самолет

o.

за материальную точку:

 

 

 

 

d

(mv) =

тр,

 

(1)

 

 

dt

 

 

 

 

 

dv

 

dm

,

 

 

m

dt

+ v— = -fN

= -fmg

 

(2)

 

 

dt

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

vdm

,

 

 

 

 

— + —7- = -/£•

 

 

 

 

dt

mdt

 

Так как m = m0 + at, то dm = adt.

Ni

Jmg

586

X. Динамика материальной системы

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

vadt

 

г

 

Л

 

dt

+

7

TTl^fg

=

 

 

 

 

(m0+at)dt

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

civ

 

, •

 

<

 

~г

+

mo+а/

 

—

 

4

rff

 

 

 

 

 

 

Введем подстановку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = u\V -

f(t).

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t/v

 

fifW

 

... du

 

 

— = u

dt

+ Ж — .

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

С учетом выражений (5) и (6) уравнение (4) примет вид

 

dW

 

...du

 

auW

,

Л

и

at

+

dt

+

mQ+at

+ ^ = 0.

Подберем и таким, чтобы выполнялось равенство

H/du ( auW dt т0 +at

Тогда

du

adt

и

щ + at

<3)

>

(5)

(6)

(7)

Проинтегрируем последнее выражение и получим

In и = -ln(Wo + tf/)

или

 

1

 

1п« = -In (т0 + at)

 

Откуда

 

 

и

1 .

( 5 )

 

т^ + at

 

45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

587

Подставим выражение (8) в уравнение (7) и получим

1 dW

щ+ at dt

или

 

—г- = ~/ё {Щ + at),

 

 

dt

 

 

dW = (-fgniQ-fgaf) dt.

(9)

 

Проинтегрируем выражение (9):

 

 

W ^ - f g m o t - f g a ^ + C , .

(9')

 

Найдем постоянную интегрирования из выражения (9') при t = 0;

С,

Следовательно, согласно выражению (5)

 

 

v0 = и0Щ>,

 

 

Щ) =: —vo = voт0.

 

 

«о

 

 

Тогда

 

 

/2

(10)

 

W = -fgm(>t-jga — + v0m0.

Подставим выражения (8) и (10) в формулу (5) и получим закон изменения скорости с течением времени:

v = -±-LoVo-fgmot-lfgatA=

 

 

^ - f g C ^ a t V

m0+at\

2

)

2(m0+at)

Время до остановки самолета определим из условия v = 0:

m0v0-fgm0t~^fgat2= 0

или

/2 + 2wo/_2moVo = 0

a fga

588

 

X. Динамика материальной системы

Корни квадратного уравнения

 

t

Г° +

2/,'оуо

''

а V a2

fga

Так как время не может быть отрицательным, то

Т = Ш

1+ 2avn

-1

о

VV

,

Теперь рассмотрим случай, когда m=m0 = const. Тогда

FTPl =/jV|,

(12)

где /V, =w0£-

 

 

 

 

Подставим выражение (12) в уравнение

(1):

 

 

Л

,

 

или

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

Jdv = {-.&//.

 

 

 

t'o

О

 

После интегрирования

получим

 

или

 

v - v0 - -fgt

 

 

 

 

 

 

 

v =

v0-fgt.

(13)

В момент остановки t = 7], v = 0. Тогда из уравнения (13) получим

 

 

71 = —

 

 

 

 

£

 

О т в е т : Г :

да0

 

v_2m0v0-fg(2mn+at)t

fg'»o

J

fg

2 (m0+at)

 

Задача 45.22

Эффективные скорости истечения первой и второй ступени у двухступенчатой ракеты соответственно равны = 2400 м/с и vj.2' = 2600 м/с. Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения

4 5. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)

589

и атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скорости V| = 2400 м/с первой ступени и конечной скорости v2 = 5400 м/с в т о р о й ступени.

Р е ш е н и е

Скорость ракеты в конце активного участка находим по формуле Циолковского:

v = v0 + veln^,

(1)

М0

где z - — - — отношение начальной массы всей ракеты к массе ее Мк

корпуса; ve — эффективная скорость истечения газов.

Воспользуемся формулой (1) и получим

v, = Уо + ^'Чпгь

следовательно, так как v0 = 0,

v2 = v,+v<2) hu2 ,

следовательно,

/ ^ = е х р Г 5 4 0 0 - 2 4 0 0 У е , 5 / , з ^ Л -

" С Х Р 1 ^ Р Г j = е Х Р 1 2600

J

О т в е т : Z\ =2,72; г2 = 3,17.

 

Задача 45.23

Считая, что у трехступенчатой ракеты числа Циолковского и эффективные скорости ve истечения у всех трех ступеней одинаковы, найти число Циолковского при ve =2,4 км/с, если после сгорания всего топлива скорость ракеты равна 9 км/с (влиянием поля тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности