doc2
.pdf570 X. Динамика материальной системы
Р е ш е н и е Запишем уравнение Мещерского в проекции на ось Ох (см. рис.
к задаче 45.4): |
|
|
dv |
dm |
(1) |
m~- = -mg-ve—. |
dt |
|
dt |
|
Так как — = w, то уравнение (1) примет вид dt
dm w = -g-ve — mdt
или
тve
Проинтегрируем это уравнение:
|
«О т |
О |
|
и получим |
|
|
|
In m \ l f |
= |
Г In2 = ^ |
7\ |
|
ve |
|
ve |
Откуда найдем время |
Т, за которое масса ракеты уменьшится |
||
в 2 раза: |
|
|
|
Т = w+g 1п2.
О т в е т : Т = ve\n2/(w + g).
Задача 45.10
Эффективная скорость истечения газов из ракеты ve =2,4 км/с. Какой процент должен составлять вес топлива от стартового веса ракеты, чтобы ракета, движущаяся вне поля тяготения и вне атмосферы, приобрела скорость 9 км/с?
45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава) |
571 |
|||
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
Уравнение Мещерского запишем в виде |
|
|||
|
|
dv |
dm |
|
|
|
т — = -ve — |
|
|
|
|
dt |
dt |
|
или |
|
|
|
|
|
|
, |
dm |
|
|
|
dv = -ve |
—. |
|
|
|
|
m |
|
Найдем определенный интеграл: |
|
|
||
9000 |
кто d m |
9000 = —ve lnm|™° = -ve (lnкщ - Inn*,) = -vt |
In*. |
|
jdv=-ve |
j — |
|||
0 |
mo m |
|
|
|
Откуда
k _ g-9000/ve = e-9000/2400 = Q qj,
где к — отношение остаточной массы ракеты к начальной.
Следовательно, масса ракеты без топлива составляет 2 % от стартовой массы, а топливо — 98 %.
О т в е т : примерно 98 %.
Задача 45.11
Ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления среды. Эффективная скорость истечения газов ve = 2400 м/с. Определить число Циолковского, если в момент полного сгорания топлива скорость ракеты будет равна 4300 м/с.
Р е ш е н и е В данном случае уравнение Мещерского имеет вид
dv |
dm |
т — -- - v . — |
|
dt |
dt |
или |
|
, |
dm |
dv = - v , |
— . |
574 |
X. Динамика материальной систему |
Следовательно, путь, пройденный телом при равноускоренном движении,
, |
« = » |
2{w+/g |
) |
= |
2 |
^ |
|
|
2 |
|
(w+fg)2" |
||||
О т в е т : s = |
WV2 |
7 |
, где/— коэффициент трения скольжения. |
||||
—r-(In к) |
|||||||
2 |
(w+fg)2 |
|
|
|
|
|
|
Задача 45.14
Тело переменной массы движется по специальным направляющим, проложенным вдоль экватора. Касательное ускорение wT = а постоянно. Не учитывая сопротивление движению, определить, во сколько раз уменьшится масса тела, когда оно сделает один оборот вокруг Земли, если эффективная скорость истечения газов ve = const. Каково должно быть ускорение а, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую скорость? Радиус Земли R.
Р е ш е н и е
Выберем естественные оси п (по радиусу к центру экватора) и 1 (по касательной к экватору).
Запишем уравнение движения тела переменной массы в проек-
ции на ось т: |
|
|
|
dm |
... |
ma = -ve~~. |
(I) |
|
|
dt |
|
Разделим переменные в выражении (I), проинтегрируем |
||
тг amdm |
а ', |
, |
I — = |
О |
dt |
mo т |
|
|
и после преобразований получим |
|
|
- I n тГ |
= |
^ |
1мо |
V, |
|
или
тv,
45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава) |
575 |
Откуда
(2)
т
На основании выражения
S= — = 2%R
2
определим время /, за которое тело совершит один оборот:
Подставим выражение (3) в уравнение (2) и найдем, во сколько раз уменьшится масса тела:
Щ = е2ШВ/уе = е х р ( 2 vSto/V;).
т
Первая космическая скорость
При равноускоренном движении v = at. Тогда
M = at. |
(4) |
Подставим выражение (3) в формулу (4):
JgR^-ДШ.
Откуда определим значение ускорения
a=JL.
4it
О т в е т : в ехр(2л/тсЖ/уе) раз; а = g/(4rc).
Задача 45.15
Определить в предыдущей задаче массу топлива, сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие будет равно нулю.
578 |
X. Динамика материальной системы |
или |
|
dx |
. , . (-а) |
dt |
т0-Ш |
Разделим переменные в уравнении (2), проинтегрируем его:
\dx=-\fgdt:\fved-^i v0 0 0
и получим
V - v0 = -fgt +fve LN(W0 - at)Jo
или
dt |
^ |
m^-at) |
Разделим переменные в выражении (3), проинтегрируем его:
jdx = lv0dt-f$\gt-ve |
In |
mQ |
dt |
|
||
|
|
|
|
m0-at |
|
|
и получим |
|
|
|
|
|
|
gt1 |
t\nm0 |
+ -(mQ- |
at)(In (m0 - at) -1) } + c . |
(4) |
||
|
|
a |
|
|
|
|
Найдем постоянную интегрирования С, подставив в формулу (4) начальные условия: х0 = 0 при t = 0:
Cr_ |
fvem0 (1п/я0-1). |
Тогда выражение (4) примет вид
* = V^T — F I — V, t In т0 + |
- at) -1) |
fvemо (In ma-l).