Математика Яцкевич, Раевская 2012
.pdfР е ш е н и е . |
Вычислим смешанное произведение векторе |
а ,Ь ,с : |
|
2 |
3 - 1 |
(а, Ъ, с)= 5 7 4 = - 4 9 . |
|
2 |
7 - 4 |
Так как а, Ъ, с Ф 0, то векторы а,Ъ ,с не компланарны, а значит образуют базис в пространстве. Учитывая, что (й, Ь, с)< 0, то трои ка векторов - левая. 0
4.11. Полярная система координат. Уравнение линии на плоскости
4.11.1. Полярная система координат
Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым полярной осью, и единичным вектором е того же направления, что и луч Ор.
Положение точки М на плоскости определяется двумя числами ее расстоянием г от полюса О и углом (р, образованным отрезков ОМ с полярной осью (рис. 4.15) и отсчитываемым в положительном направлении.
Рис, 4.15
О п р е д е л е н и е . Числа г и <р называются полярными коор динатами точки М: г называют полярным радиусом, ф - поляр ным углом.
60
Если рассматривать значения г в промежутке [0; +оо), а значение <р в (-л; тс] (или в [0; 2п)), то каждой точке плоскости (кроме О) соот ветствует единственная пара чисел г и ф, и наоборот.
Если совместить полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось - с положительной полуосью Оху (рис. 4.16), то связь между полярными и прямоугольными координатами точки (кроме точки О) устанавливается формулами:
fx = rcos9,
(4.31) I
\у = гвшф
1
Г = л)х2 + у2, |
|
|
|
|
\ . |
у |
|
X |
(4.32) |
Sin ф = |
■ |
— , COS ф = —Г........ |
.... |
|
4 |
7 7 |
7 |
J 7 7 |
7 |
у
Откуда, в частности, tgф = —, где х^О.
х
61
О п р и м е р |
4.32. Найти прямоугольные координаты точки |
||||||||||
с полярными координатами | 2;-—и |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р е ш е н и е . Имеем г = 2, ф= |
п . По формулам (4.31) находим |
||||||||||
_ ( |
2 |
, . |
О |
|
|
f |
|
2 ) |
Л ' |
л/Г |
S . |
JC= 2COSI— л | = 2' |
= -1, у = 2sin |
|
— % |
=2- |
2 J |
||||||
I |
3 |
|
2у |
|
|
1 |
з J |
Г |
|
||
Итак, А/(-1;-л/з). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О п р и м е р |
4.33. Найти полярные координаты точки М с прямо |
||||||||||
угольными координатами (-V3;-l). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р е ш е н и е . Имеем х = —ч/З; у = -1. По формулам (4.32) нахо |
|||||||||||
дим г = а/(-Уз)2 + (-l)2 = 2, tgф= —-J^. = |
. Точка М лежит в Ш |
||||||||||
четверти, следовательно, с учетом того, что |
- к < ф < %, получаем |
||||||||||
|
5 |
„ |
. Л |
5 |
Щ |
|
|
|
|
|
|
Ф = —- п =— %. Итак, М\ 2;— я 1. |
|
|
|
|
|
||||||
6 |
6 |
|
^ |
6 j |
|
|
|
|
|
|
|
4.11.2.Уравнение линии на плоскости
Оп р е д е л е н и е . Уравнением линии на плоскости Оху на зывается уравнение F(x,_y)= 0, которому удовлетворяют координа
ты х и у каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Переменные х и у в уравнении линии на зываются текущими координатами точек линии.
Задача нахождения точек пересечения двух линий, заданных уравнениями -^(*,>’)= 0 и F2 (х,у) =0 , сводится к решению систе мы двух уравнений с двумя неизвестными:
!/2(*>.у) = 0.
Аналогично вводится понятие уравнения линии в полярной сис теме координат: F (r,y)= 0,
62
Линию на плоскости можно рассматривать как траекторию пути, пройденного точкой, движущейся по какому-нибудь закону. Если абсцисса точки М(х;у) изменяется по закону х = x(f), а ордината -
по закону y = y(t), где t - переменная, называемая параметром, то уравнение линии записывается в виде
\x = x(t\
te
[У = Ж \ Эти уравнения называются параметрическими уравнениями
линии.
Линию на плоскости можно задать векторным уравнением г = r(t), где t - скалярный параметр; при изменении t конец вектора r-r{t) описывает некоторую линию, называемую годографом
\x = x(t\
(рис. 4.17). Параметрические уравнения годографа:
|
Рис. 4.17 |
|
|
|
Так, например, |
параметрическими |
уравнениями |
окружности |
|
^ |
„ |
\х = Rcost, |
, а эллипса |
|
с центром в точке О и радиуса R являются < |
|
Iy = /?sin4
x = acost,
сполуосями аиЬ
[у = bsin/.
63
Здесь в качестве параметра t использован угол между осью Oi
и вектором ОМ , где М - текущая точка кривой.
Примером векторного уравнения кривой является уравнение ок ружности диаметра 2R, центр которой лежит на полярной оси, а по люс системы координат лежит на окружности: г = 2i?coscp.
4.12. Прямая на плоскости
Будем считать, что на плоскости задана прямоугольная декар това система координат Оху.
4.12.1. Различные виды уравнений прямой
Положение прямой на плоскости однозначно определяется какойлибо фиксированной точкой М0(x0,,v0) , лежащей на ней, и либо:
1) ненулевым вектором п(А,В)ф 0, перпендикулярным к пря мой, который называется нормальным вектором прямой;
2) ненулевым вектором s(m,n)±Q, параллельным прямой, кото рый называется направляющим вектором прямой;
3)угловым коэффициентом прямой к, который равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ох;
4)еще одной точкой А/’1(jcj,jhi), не совпадающей с точкой
Щ{хо>Уо)-
Вкаждом из перечисленных случаев получаются свои уравнения прямой.
1)Заданы точка Л/0(дс0,у0), лежащая на прямой, и нормальный
вектор п{А,В), т.е. п(а ,В)ф О и перпендикулярен прямой. Имеем следующие уравнения:
А {х-хй)+ В {у-уй)=0, |
(4.33) |
J |
откуда получаем |
|
j |
Ах + By +С —0, |
(4.34) |
где С = -(Ах0 + Ву0), причем А2 + В2 Ф0 (т. к. п Фб).
64
О п р е д е л е н и е . Уравнение (4.34) называется общим урав нением прямой на плоскости.
Уравнение Ах + By + С =О с условием А2 + В2 Ф 0 называется
уравнением первой степени с двумя переменными.
Если в уравнении (4.34) А Ф 0; В Ф 0; С ф 0, то его можно привес-
X V v.
ти к виду —+ — = 1. Это уравнение называется уравнением прямой
аb
вотрезках, где а иЬ - длины отрезков с учетом знака, отсекаемых
прямой на координатных осях Ох и Оу соответственно.
2)Даны точка М0(х0,у0) прямой и направляющий вектор s(m,n),
т.е. s Ф 0 и J параллелен прямой.
Имеем уравнения: |
|
|
|
|
(x =xa+mt |
(4.35) |
1 |
||
i |
0 |
,te R , |
||
|
Iy = y0+nt |
|
|
|
илипри условии ш ф 0 , п ф 0 : |
|
|
|
|
|
х - х 0 |
у - у 0 |
(4.36) |
I |
|
т |
п |
||
|
|
I |
||
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е . Уравнения (4.35) называются параметри ческими уравнениями, а (4.36) - каноническим уравнением пря мой на плоскости.
Несложными алгебраическими преобразованиями уравнения (4.35) и (4.36) могут быть сведены к общему уравнению (4.34), т. е. куравнению первой степени относительно хиу.
Замечание. В случае, когда одна из координат направляющего вектора s(m,n) равна нулю, запись уравнения прямой в канониче ской форме сохраняется в виде (4.36). При этом если в знаменателе стоит нуль, то к нулю нужно приравнять и числитель. Полученное равенство (или у = const, или х =const) и будет уравнением пря мойна плоскости.
65
3) Если заданы точка М0(х0,у0) прямой и ее угловой коэффици ент к, тоуравнение сугловым коэффициентом имеет вид
.У-Уо =£(*-*())• |
(4-37) | |
После приведения подобных членов (4.37) можно записать и так: у = foc + b .
4)На прямой заданы две точки М0(х0,у0) и Mi(x1>yl). Тогда
каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки,
имеет следующий вид:
х - х 0
W |
W |
|
1 |
о |
|
|
|
0 1
II
У\~Уь
(4.38)
Все уравнения (4.35-4.38) можно записать в виде уравнения пер вой степени относительно хиу.
/ \ Вывод. Каждая прямая на плоскости Оху определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у:
Ах + Ву + С = 0;А2 + В2 *0.
Верно и обратное: каждое такое уравнение первой степени относительно х и у задает на плоскости прямую.
Заметим, что нормальный и направляющий векторы прямой на плоскости связаны следующим образом: если п(А,В), то s{B,~A)
(т. к. (n,s)= А В -А В =0 , то s _LЯ).
Расстояние р(М0,/) отточки М0(х0,у0) до прямой /, заданной уравнением (4.34), вычисляется по формуле
(4.39)
J A 2+B 2
О п р и м е р 4.34. Составить каноническое и общее уравнении прямой, проходящей через точки Mj(2;l) и М2( - 1;2). Найти угло вой коэффициент этой прямой.
66
Р е ш е н и е . Для составления канонического уравнения вос пользуемся формулой (4.38):
- каноническое уравнение.
Общее уравнение получим из данного канонического, умножая обе части равенства на - 3, перенося все слагаемые в левую часть
нприводя подобные члены:
х- 2+3(у - 1)= 0 о х + Зу - 5 = 0 - общее уравнение.
Чтобы получить угловой коэффициент прямой, выразим из об щего уравнения у:
у - -ijc + j - уравнение |
с |
угловым коэффициентом вида |
у=кх+ Ь . Следовательно, к = |
1 |
_ |
|
.ад |
Опример 4.35. Составить уравнение прямой на плоскости, про ходящей через точку М (-1, 2) перпендикулярно вектору, проходя щему через точки М\(3, 1) и M2(4, -2). Найти расстояние от точки М до прямой, проходящей через точки М\ и М2.
Решение. Уравнение прямой запишем в виде (4.33):
А(х-хц) + В (у-уй) = 0,
где хо,уо- координаты точки М, а А и В - координаты нормального вектора.
Так как Я = AfjM2 = (1,-3), то уравнение имеет вид 1(х + 1) - 3(у-2) = 0 или х - Зу + 7 = 0.
Для нахождения расстояния от точки М до прямой М\М2 запи шем уравнение этой прямой в виде (4.38):
х ~ х \ = У - У у |
т е х - 3 ^ у - 1 |
|
х2 ~ Х1 У г-У \ |
1 |
3 |
илиЗх +у - 10 = 0.
Подставляя в формулу (4.39) координаты х0 = -1, уо = 2 точки М, получаем
67
Ппр име р 4.36. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(1; -2) и образующей с осью Ох угол а = 60°.
Реше ние . Найдем угловой коэффициент к - tga = tg60° = Уз, Подставляя координаты данной точки Мо и значение углового коэффициента в уравнение (4.37) получим искомое уравнение пря мой: у +2 = Уз(л;-1) или у - л/зх + 2 + Уз = 0 - общее уравнение прямой. О
4.12.2. Взаимное расположение прямых на плоскости
Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.
О п р е д е л е н и е . Под углом между прямыми в плоскости
понимают наименьший (острый) из углов, образованных этими прямыми. Один из углов, образованных пересечением прямых, сов падает с углом между векторами нормали или направляющими век торами прямых.
1. Если две прямые 1\ и /2 заданы общими уравнениями Ахх + Вху +СХ=0 и А2х + В2у +С2 = 0, то величина ф угла между ними вычисляется по формуле
где, щ(а1,В1),П2 (А2 ,В2 ) - векторы нормали прямых. Условие пересечения прямых:
ц.
в частности, условие перпендикулярности прямых:
ахл 2 + вхв2=0 .
(4.41) |
(4.42) |
68
Условие параллельности прямых:
|
|
|
А _ в, |
су |
4 - 4 |
3 ) |
|
|
|
|
|
* |
7 ( |
||
|
|
|
|
а 2 |
с 2 |
|
|
условие совпадения прямых: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
д. |
г. |
|
|
|
|
|
А _ В Х_ |
С, |
|
(4.44) |
|
|
|
|
А2 |
В2 |
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. Если прямые |
1\ и /2 заданы каноническими (параметриче- |
|||||
|
|
х - х х У-Ух „ х - х 2 у - у 2 |
|
||||
сними) уравнениями: ------ |
——— 1 —— —— |
|
|||||
= -—— и ----- |
= -— — , то |
|
|||||
|
|
тх |
|
щ |
т2 |
п2 |
|
|
( |
Л 1 |
|(?1,? 2) | _ |
\тхт2 + п 1п2\ |
(4.45) |
||
|
COS(p =COS |
5, ,S2 |
^1‘Ы |
|
, |
||
|
\ |
У |
mf + nf •yjm2 +n2 |
|
|||
где |
s2(m2,n2) - направляющие векторы прямых. |
|
|||||
Условие пересечения прямых: |
|
|
|
||||
|
|
|
Uh-^OL |
|
|
(4.46) |
|
|
|
|
т2 |
п2 |
|
|
|
параллельности прямых: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Щ = Щ |
|
|
(4.47) |
|
|
|
|
т2 |
«2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
перпендикулярности прямых: |
|
|
|
|
|||
|
|
щт2 + пгп2 =0. |
|
(4.48) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
69