Математика_практикум_Ч1
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
|
|
|
|
|
|
|
|
Белорусский национальный |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
технический университет |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кафедра «Высшая математика № 1» |
|
У |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
МАТЕМАТИКА |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практикуми |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
ЧАСТЬ I |
|
|
|
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
Минск |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
БНТУ
2 0 1 4
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет
Кафедра «Высшая математика № 1»
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
МАТЕМАТИКА |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практикум |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В 4 частях |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
оЧАСТЬ I |
|
|
|
|
|||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Минск
БНТУ
2 0 1 4
УДК 519.2 (075.8) ББК 22.1я7
|
М34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составители: |
|
|
|
|
|||
|
Е. А. Бричикова, Е. А. Герасимова, Л. А. Раевская, |
|
||||||||||
|
Е. В. Сагарда, В. И. Юринок, Т. С. Яцкевич |
Т |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рецензенты: |
|
Н |
У |
||||
|
|
|
|
А. Н. Исаченко, В. П. Грибкова |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Издание нап сано впрактикум |
: в 4 ч. / сост.: Е. А. Бричикова [и др.]. – |
||||||||||
|
Математика : |
|
||||||||||
М34 Минск : БНТУ, 2014– |
. – Ч. 1. – 2014. – 134 с. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
стоит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ISBN 978-985-550-340-9 (Ч. 1) |
|
|
|
|
|
||||||
|
ной |
соответствии с действующей программой курса «Математика» |
||||||||||
|
для студентов |
нженерно-технических специальностей БНТУ. |
|
|
|
|||||||
|
Практикум с |
|
из 34 занятий по основным темам разделов «Линейная алгебра |
|||||||||
|
и аналитическая ге метрия», «Введение в математический анализ», «Дифференциаль- |
|||||||||||
|
типовых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ное исчислениезфункций одной переменной», «Дифференциальное исчисление функ- |
|||||||||||
|
ций неск льких переменных». Каждое занятие содержит задания для аудиторной и са- |
|||||||||||
|
мостоятель |
работы студентов. Задания снабжены ответами, что позволит студен- |
||||||||||
|
там роконтролировать правильность решений задач. Издание содержит также вари- |
|||||||||||
|
анты |
расчетов, которые могут быть использованы и для индивидуальных за- |
||||||||||
|
даний студентов, и для проведения текущего контроля знаний студентов. |
|
||||||||||
|
Практикум предназначен для студентов дневной и заочной форм обучения и по- |
|||||||||||
еслужит лучшей организации их самостоятельной работы. |
|
|
|
|||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УДК 519.2 (075.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ББК 22.1я7 |
|
ISBN 978-985-550-340-9 (Ч. 1) |
|
|
|
© Белорусский национальный |
||||||||
ISBN 978-985-550-341-6 |
|
|
|
|
технический университет, 2014 |
|
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
|||||
Занятие 1. Декартова и полярная системы координат. |
|
|
|||||||||||||
|
|
Построение графиков функций.................................... |
|
|
|
|
5 |
||||||||
Занятие 2. Матрицы и действия над ними ..................................... |
|
|
|
|
6 |
||||||||||
Занятие 3. Вычисление определителей ......................................... |
|
|
|
|
11 |
||||||||||
Занятие 4. Обратная матрица. |
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Решение матричных уравнений................................. |
|
|
Т |
15 |
|||||||||
Занятие 5. Решение невырожденных систем |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
линейных уравнений |
.................................................... |
|
|
Н |
|
18 |
|||||||
Занятие 6. Ранг матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Занятие 7. Решение произвольных и однородных систем |
|
|
|||||||||||||
|
|
линейных уравнений |
|
|
Б |
|
|
22 |
|||||||
|
|
.................................................... |
|
|
|
|
|
||||||||
Занятие 8. Векторы. Линейные операции над векторами. |
|
|
|||||||||||||
|
|
Скалярное произведение векторов............................ |
|
|
|
25 |
|||||||||
Занятие 9. Векторное и смешанное произведения векторов ..... |
28 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
Занятие 10. |
Прямая на плоскости .................................................. |
й |
|
|
|
31 |
|||||||||
Занятие 11. |
Плоскость ...................................................................... |
|
р |
|
|
|
34 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Занятие 12. |
Прямая в пространстве. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Прямая и плоскость в п остранстве ......................... |
|
|
|
36 |
|||||||||
Занятие 13. |
Кривые вт р |
|
п ядка на плоскости ................... |
|
|
40 |
|||||||||
|
|
|
|
|
вт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 14. |
Поверхности |
|
|
го порядка................................... |
|
|
|
|
46 |
||||||
Занятие 15. |
Функция. Предел п следовательности |
|
|
|
|||||||||||
|
|
и предел функцииго.......................................................... |
|
|
|
|
|
|
48 |
||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 16. |
Первый второй замечательные пределы ............. |
|
52 |
||||||||||||
Занятие 17. |
Сравнен е бесконечно малых функций. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
Непрерывностьи |
функций. Точки разрыва............... |
|
|
55 |
|||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Занятие 18. |
Пр изводная функции, ее геометрический |
|
|
||||||||||||
Занятие |
и физический смысл ..................................................... |
|
|
|
|
|
|
57 |
|||||||
параметрически и неявно. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
19.оПроизводная функции. Логарифмическая |
|
|
|||||||||||
Р |
|
|
роизводная.................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
||
|
20. |
Дифференцирование функций, заданных |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Дифференциал функции.............................................. |
|
|
|
|
|
63 |
|||||||
Занятие 21. |
Производные и дифференциалы |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
высших порядков.......................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|||||
Занятие 22. |
Правило Лопиталя-Бернулли.................................... |
|
|
|
|
68 |
|||||||||
Занятие 23. |
Формула Тейлора......................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
70 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Занятие 24. Монотонность функций. Экстремум. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Наибольшее и наименьшее значения функций. |
|
|
|
||||||
|
|
Выпуклость и вогнутость графиков функций ........ |
|
|
74 |
||||||
Занятие 25. Асимптоты. Построение графиков функций.......... |
|
|
79 |
||||||||
Занятие 26. Кривизна кривой.......................................................... |
|
|
|
|
81 |
||||||
Занятие 27. Область определения и область значений функции |
|||||||||||
|
|
нескольких переменных. Частные производные |
.... |
83 |
|||||||
Занятие 28. Полный дифференциал функции нескольких |
|
|
|
||||||||
|
|
переменных и его применение. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
Частные производные и дифференциалы |
У |
||||||||
|
|
высших порядков.......................................................... |
|
|
|
|
85 |
||||
Занятие 29. Производные сложных функций несколькихТ |
|
||||||||||
|
|
переменных. Производная функции, |
|
|
|
|
|||||
|
|
заданной неявно |
............................................................ |
|
|
|
|
88 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
Занятие 30. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. |
|||||||||||
|
|
Производная по направлению .................. ГрадиентБ |
|
|
92 |
||||||
Занятие 31. Экстремум и условный экстремум функции |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
нескольких переменных .............................................. |
|
|
|
|
94 |
||||
Занятие 32. Наибольшее и наименьшее значение функции |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
нескольких переменных ........ив замкнутой области |
|
|
95 |
||||||
Занятие 33. Комплексные числа ..............и действия над ними |
|
|
97 |
||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
Типовой расчет № 1 Элемен ы линейной алгебры |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и анали ической ......................................геометрии |
|
|
101 |
||||||
Типовой расчет № 2 Предел функции. Производная |
|
|
|
||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ее пр менен е к исследованию функций |
|
|
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и построению графиков ............................................. |
|
|
|
116 |
|||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Занятие 1.
Декартова и полярная системы координат. Построение графиков функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1.1 |
Построить графики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
, 0 x 2, |
||||||||||||
|
|
|
|
log 2 cos x |
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
y 2 |
|
|
|
|
|
; |
|
2) |
2 | x 1| |
; |
|
3) |
y |
|
|
|
Т |
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x, 3 |
x |
0. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) |
y 2x | x 2 | 1; 5) |
y |
; |
6) |
y sin | x | 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7) |
y log |
x2 |
1; 8) |
y |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| x | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1.2 Построить графики функций, заданных параметрически: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) x 1 2t, y 2 t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
x t, y t |
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 2 cost, |
|
y sin t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
t 2 , y |
t t3 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5) |
x at2 , y bt3 ; |
|
о |
|
|
|
6) |
|
x 2 cos3 t, |
y 2sin3 t ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7) |
x 1 2 cost, |
|
y 3 2sin t ; |
|
|
|
|
|
8) |
|
x 2(t sin t), y 2(1 cost) . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1.3 Записать уравнения кривыхрв полярных координатах: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
y x ; |
|
|
|
|
|
и |
2) y 1; |
|
|
|
|
|
|
3) x2 y2 4 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x2 y2 |
|
з |
т5) x y 1 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4) |
2y |
; |
|
|
|
|
6) |
x2 y2 |
|
a2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Построить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||
|
1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
граф ки |
|
функций, |
заданных |
уравнением в |
||||||||||||||||||||||||||
полярн й системе координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) r e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
r |
1; |
|
|
|
|
2) |
r 2 ; |
|
|
3) |
r cos 2 ; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 2(1 cos ) ; |
|
8) r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5) |
r |
|
4cos ; |
|
|
6) |
r 3sin 2 ; |
7) |
|
3 2 cos |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 cos3 ; 11) r 2 |
36sin 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9) |
r |
|
|
|
|
; |
|
10) r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашние задания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1.5 |
Построить следующие кривые: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
y | x2 x |
|||
4) |
x t |
3 |
, y t |
2 |
|
|
|||
7) |
r 4cos2 |
; |
2 | ;
;
2) |
y |
5) |
r |
8) |
r |
x | x 3 | ;
2sin ; |
|
|
3 |
. |
|
1 cos |
||
|
3) |
x |
6) |
r |
t 2 1, y
3(1 sin
t ;
) ;
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||
1.3 1) |
; |
|
|
|
2) r |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
3) |
r 2 ; |
Т |
|
||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) r 2sin ; |
|
|
|
5) r |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
6) |
2 |
|
a2 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin cos |
|
|
|
Б |
cos2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Занятие 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицы и действия над ними |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные задан я |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2.1 |
Найти 2A 3B C , если |
|
|
й |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 2 |
|
|
1 1 |
|
0 |
|
|
3 |
4 5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A 2 |
|
|
3 , B |
2 |
3 |
|
4 |
, C 1 |
|
2 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
8 |
|
7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о 2 |
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.2 |
|
|
|
|
|
если |
A 1 |
3 |
1 , |
E – |
единичная |
|||||||||||||||||
Найти 3A+2E, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
третьего |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
матрица |
|
|
|
|
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.3 |
Найти матрицу X , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
2 4 |
|
X |
2 |
|
8 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.4 Найти матрицу, транспонированную матрице А: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) A |
|
|
1 3 |
1 ; |
|
|
|
|
2) A |
2 |
|
; |
|
|
3) A a a |
a . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 Даны матрицы
|
|
1 |
0 |
|
|
|
1 |
A |
|
1 |
|
|
B |
|
|
|
3 |
, |
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 |
0 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
1
0
,
|
1 |
|
|
C |
5 |
|
2 |
|
3 |
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
.
Найти: 1) 2А; |
|
2) |
|
2A 3B C |
; |
|
|
|
3) |
|
2C |
T |
. |
|
|
|
|
|
У |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2.6 Даны матрицы A и B. Найти AB и BA, если: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) A |
|
0 |
1 |
|
3 |
, B |
|
3 |
|
|
|
2 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
||||
|
|
|
4 0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Н5 2 |
|
|
|
||||||||||
2) A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) A |
|
|
|
3 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
3 4 |
|
; |
|
|
|
|
4 , B |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7 |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 1 |
|
|
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 , B2 , которые суще- |
|||||||||||||||||
2.8 |
Найти те |
|
|
|
пр изведений AB, BA, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ствуют: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
1) A |
|
о |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
2) A 1 |
|
2 3 |
|
|
0 ; B |
4 |
; |
||||||||||||||||
3 |
4 |
з; B 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3)еA 1 2 |
1 ; B |
|
|
3 |
; 4) |
|
A |
|
2 |
2 |
0 |
|
; B |
3 |
0 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2.9 Найти произведение матриц (AB)C и A(BC):
7
|
5 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
2 |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
C |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|||
2.10 |
|
Показать, что матрица A |
|
|
|
является корнем мно- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
гочлена |
|
f (x) x2 |
3x 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||||||||||
2.11 |
|
Найти значение матричного многочлена f A , если: |
|||||||||||||||||||||||||
1) f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2x2 3x 1, A |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
й |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
0 |
|
|
|
Б |
|
|
|||||
2) f x |
x2 3x 2, A |
|
0 |
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) f x |
|
|
|
|
|
|
|
Домашние |
задания |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2x3 x2 3, A |
|
3 |
|
и. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.12 |
|
Найти: |
|
|
1) |
т |
|
, |
если |
A |
1 |
2 |
0 |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
3A |
2B |
|
; B |
; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
2 |
||
|
п |
з 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
5 10 |
|
||||||||||||||||||
2) 2B 5A , если |
|
A |
|
|
|
|
|
|
; B |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
6 4 |
0 |
|
|
|
15 10 0 |
|
|
|||||||||||||
Найти ( A 3B)2 , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
4 7 |
|
2 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
2 |
|
5 8 |
, B |
1 |
|
|
0 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 6 9 |
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2.14 |
|
Найти те из произведений AB, BA, |
AC, CA, BC, CB , кото- |
||||||||||||||||||||||||
рые имеют смысл, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
A |
|
|
|
2 |
0 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
,
0 |
|
B |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
,
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
C |
1 |
2 |
0 |
|
1 |
2 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
.
2.15 Проверить, коммутируют ли матрицы A и B: |
|
У |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|||||||
1) A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 3 , B |
; |
|
|
|
|
2) A |
|
; B |
|
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
Т |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|||
|
2 |
7 3 |
|
|
|
7 |
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|||
3) A 3 |
9 4 , B |
5 3 |
1 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 3 |
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
||
2.16 |
Найти значение матричного многочлена f A , если: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|||
1) f x |
2x2 2x 7, A |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2) f x 3x2 5x 2, A 0 |
|
|
1 |
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
5 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.17 |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти матр цу Aо, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т1 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) A |
|
о |
|
A |
3 |
|
|
5 |
|
7 ; 3) A 1 2 3 4 . |
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отв пты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
9 |
|
|
|
|
8 15 |
12 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|||||||
2.1 |
|
|
|
|
9 |
|
|
4 |
. |
2.2 |
|
3 |
. |
||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
||||||||||
9 |
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
||||||
Р |
6 |
|
0 |
|
|
2.4 |
|
1) |
|
|
T |
|
|
5 |
|
3 |
0 |
|
2) |
T |
1 |
2 3 ; |
|||||
2.3 |
|
. |
|
|
|
A |
|
|
|
; |
A |
||||||||||||||||
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|