Математика Яцкевич, Раевская 2012
.pdf7.4.Асимптоты графика функции
Оп р е д е л е н и е . Прямая I называется асимптотой графика функции у = f(x), если расстояние от точки М(х,/(х)) графика
функции до прямой / стремится к нулю при неограниченном удале нии точки Мот начала координат.
Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и гори зонтальными.
Прямая х - а является вертикальной асимптотой графика функции у = /(jc), если хотя бы один из односторонних пределов
lim /(jc) равен бесконечности. В этом случае точка х = а являет-
х-*а±О
ся точкой разрыва 2-го рода функции у - f ( x ) .
Так, например, кривая у = ------ |
имеет вертикальную асимптоту |
|
х - 2 |
|
|
х - 2 , так как lim —-— = -со, |
lim |
—-— = +оо. |
лс—>2—0 Х — 2 |
х-»2+0 Х — 2 |
Для существования* наклонной асимптоты у = kx + b необхо
димо и достаточно существование двух пределов
lim |
X |
-- = к, lim (f(x)-kx) = b . |
х-»+оо |
* —>±00 |
|
или д'— <ю |
|
|
Если в уравнении у = кх + b коэффициент к равен нулю, то име
ем горизонтальную асимптоту у = Ъ.
Заметим, что не всегда прямая, являющаяся асимптотой графика функции при х —> +00, будет являтся асимптотой того же графика при х -» -оо. Поэтому при отыскании наклонных асимптот нужно отдельно исследовать случаи при х -> +оо и jc -> -оо.
0 |
2jc3 |
П р и м е р 7 .4. Найти асимптоты графика функции у = —-— , |
|
|
х -1 |
Р е ш е н и е . Прямые JC= 1, JC= -1 являются вертикальными
асимптотами графика функции, так как
150
hm |
2х3 |
.. |
2х3 |
= -оо, |
||
—г------ |
= +оо, |
lim |
—z |
-------- I |
||
*-►1+0 JC2 _ 1 |
x^>\-0x |
|
||||
lim |
2хъ |
.. |
|
2x3 |
||
— ------ |
= -o o , |
hm |
—r------- |
= +oo. |
||
x->-l-0 x |
- 1 |
x->-l+0 x |
- 1 |
Следует отметить, что точки х —1, х =- \ являются точками раз
рыва 2-го рода функции у = 2х3 х2 -1
Наклонную асимптоту ищем в виде: у = кх + Ь ,
к = |
lim |
f i x ) |
lim |
2х2 |
= 2, |
|
|
-------= |
-------- |
|
|
||||
|
* - > ± 0 0 |
х |
х —»+<» х 2 |
— 1 |
|
||
b= |
lim (/(x)-A x) = |
lim |
' |
2;c3 |
' |
||
|
|
- 2 x |
|||||
|
*->±00 |
|
|
JC-»±CO x 2 - l |
j |
||
|
{ix3 - 2x3+ 2x) |
|
lim |
2x |
|||
, = lim ------------------- |
|
|
-== |
|
= 0. |
||
X -* * » |
X 2 - \ |
|
|
|
|
|
Следовательно, прямая у = 2х - наклонная асимптота. *25*
7.5.Общая схема исследования функции
ипостроения графика
Исследование функции и построение ее графика удобно выпол нять по следующей схеме.
1.Найти область определения функции.
2.Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодиче
ской.
3.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва.
4.Найти асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные).
5.Исследовать функцию с помощью первой призводной: устано вить интервалы монотонности функции, найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках.
6.Исследовать функцию с помощью второй призводной: опре делить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точ ки перегиба.
151
7. Используя результаты проведенного исследования, построить график функции. При необходимости уточнения отдельных участ ков кривой можно вычислить координаты нескольких дополнитель ных точек (в частности, координаты точек пересечения графика с осями координат).
П |
Л |
Х XН" 1 |
|
П р и м е р |
7.5. Исследовать функцию у = ----------- и постро- |
ить ее график. |
X —1 |
|
Р е ш е н и е . Областью определения функции является совокуп ность интервалов (- oo,l)U(t,+<»).
Функция общего вида, т. к. /( - * ) * /(х) и / ( - х) ф - /(х). Функ ция не периодическая. Функция не определена при х = 1. Исследу ем поведение функции в окрестности этой точки.
.. |
х - х + 1 |
|
|
|
х - х + 1 |
|
|
|
|||||
lim ----------------= -оо, |
lim-----------------= +оо. |
|
|
|
|||||||||
х-Я-О |
X —1 |
|
л:->1+0 |
|
X — 1 |
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
х = 1 |
- точка разрыва 2-го рода, а, значит, пря |
|||||||||||
мая х = 1 |
является вертикальной асимптотой. Найдем наклонную |
||||||||||||
асимптоту у - к х + Ь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
/(х ) |
|
х2 - х + 1 |
I 00 |
1- — |
4---- |
|
|||||
к - |
lim |
|
lim - |
|
1, |
||||||||
------ = |
lim ------------- |
=, |
|
||||||||||
|
Jt-i'OO |
х |
|
|
(х-1)х |
|
оо/ |
Л—>СС |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
X |
2 |
|
1 |
|
|
|
b = lim (/(х )-Ь с )= |
|
lim |
|
- x + l |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
X |
= |
|
|
||||||
|
JC-*CO |
|
|
X-+OD |
|
|
x -1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ 2 |
|
i |
2 |
+ X |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= lim |
X |
- x + l - x |
|
|
|
lim |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
||||
X—>00 |
|
x —1 |
|
/ |
|
|
|
x —1 |
|
|
|
||
|
V |
|
Л |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v = x - наклонная асимптота.
152
Находим у' - xz - x + \ |
(2jc—lX ^ —l) —(jc2 - x |
+ l) _ x2 -2x |
х-1 |
( x - l f |
= (x~lf |
\ |
|
|
Решаем уравнение у' = 0. |
|
|
x2 ~2x =0 при x = 0, x = 2. (л- l) 2
Укажем интервалы монотонности.
у1!
У‘ |
О |
|
msx |
На (-oo,0)U(2,+oo) - функция возрастает, на (0,l)U(l,2) - функ ция убывает.
Тогда ;с = О —точка максимума, _у(о) = -1; х = 2 —точка мини мума, у(2) = 3.
Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
|
(2х- 2 f x - |
1)2 - 2{х- ijx2 - 2.x) _ |
|
|
( x - l f |
|
(г-1 у |
|
|
2 ( x - l% > - i? - х 1+2х) |
2(хг - 2 х + 1 - х 2 +2х) |
2 |
||
( x - l f |
' |
(,-!}> |
|
% - 1 Г |
Находим критические точки второй производной. |
|
|||
у" не обращается в ноль, но в точке JC = 1 |
не существует (хо |
тя в этой точке функция не определена).
у":
У!
153
Точек перегиба нет. Точки пересечения с осью Ох найдем из урав
нения f(x)=Oyа точки пересечения с Оу получим при х =0 : 2
- — ~ = 0=>JC2-JC+ 1*0, т.к. D < 0. А /(о )= -1 , значит,
J C - 1
(0,-l) - точка пересечения с осью Оу. Строим график функции (рис. 7.3). -ф
7.6. Векторная функция скалярного аргумента
Эта часть высшей математики - приложения дифференциально го исчисления к геометрии в пространстве.
О п р е д е л е н и е . Если каждому значению действительной пе
ременной t e D a R поставлен в соответствие вектор a(t) е R3, то
говорят, что на множестве D задана вектор-функция а = a(i) дей ствительной переменной t.
154
Множество D называют областью определения функции a(t).
Задание вектор-функции а = a(t) равносильно заданию трех чи словых функций ax(t), ay(t\ az(t) - координат вектора а :
a(t)=ax( t) i+ a y(t)-] + a.(t)-k
или кратко a{t) = {ах(/),ау(/),az(/)).
Если вектор а является радиусом-вектором точки A(x,y,z), то соответствующую вектор-функцию принято обозначать
г = г(t) =x(t)-i + y(r)- j + z(t)-k .
падает с D.
При различных значениях t положение конца вектора r(t) будет,
вообще говоря, изменяться.
О п р е д е л е н и е . Годографом вектор-функции г = r(t) назы вается линия, описываемая в пространстве концом вектора r(t).
Таким образом, всякую линию в пространстве можно рассматри вать, как годограф некоторой вектор-функции.
155
Точка О называется полюсом годографа. Выражение
r{t)=x(t)i + y(t)-] + z(t)-k
называют векторно-параметрическим уравнением годографа, а x = x{f\y = y(t\z = z{t)
называют параметрическими уравнениями годографа.
^ П р и м е р |
7.6. Найти годограф вектор-функции |
|||||||
r(t) =3 t i |
+ (2t-t2y ] , |
t e R . |
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
_ x |
|
|
|
|
|
||
fx(t) = 3t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~3 |
|
|
|
|
|
|
[yit)= 2t- t\ |
|
|
|
|
|
|||
y = 2- |
9 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
У=- x - — =- - ( x 2 - 6 x +9-9)= |
-(х-3)2 +1 |
|||||||
1 |
Q |
|
O' |
|
|
> |
) |
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
ИЛИ |
|
Y = - ± X 2 |
|
|
|
у =--- * |
|
|
|||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
9 |
Годографом является парабола (рис. 7.4). >5
Рис. 7.4
156
7.7. Предел, непрерывность и производная векторной функции скалярного аргумента
Предположим, что lim х(/)= х0, lim y(t) = у$, Hm z(t) = z0.
/—>/q |
t—btQ |
Тогда говорят, что вектор |
rQ=xQ-i + у0 ■j + z^ ■к есть предел |
вектора г = г (г) и пишут lim r(t) = r0. |
|
/-w0 |
|
Из последнего равенства |
|
IimjF(f)-r0|= lim ^[x(t)-x0f |
+ \y(t)-y0f +[z{t)-ZQ% = 0. |
/-*/() |
|
Это означает, что limlr(f)| = |rj. Если |
Iimr(f) = r(r0), то вектор- |
Wo |
^0 |
ная функция называется непрерывной в точке t0, Рассмотрим век тор-функцию r{t) =x(t)-i +y(t)-j + z{t)-k в точке М (рис, 7.5). Да дим t приращение At, тогда получим вектор г (/ + At) = x(t + At)-i +
+y(t +At)-j+z(t + At)-k, |
который определяет на кривой некото |
|||||
рую точку М\. |
|
|
|
|
|
|
Ar - |
r(t +A t) - r(t) = [x(f + At) - *(/)]• i + |
|||||
+ j\y{t + At)-y(t)]-j + [z(t +At)-z(t)]-k. |
|
|||||
Рассмотрим вектор — , которыйколлинеарен вектору Ar . Тогда |
||||||
|
|
|
At |
|
|
|
Ar |
x{t + At)-x(t) |
j t |
y(t + At)-y(t) j t |
z(t +At)-z(t) ^ |
||
At |
At |
|
|
At |
|
At |
Если |
x(V),y(t\ z(t) |
имеют производные, то множители, стоящие |
||||
при J,j, k при |
At ->0 обратятся в |
x'(f),/(f),z'(f). Следовательно, |
||||
в этом |
случае |
предел |
АГ |
А П |
существует и равен |
|
— при |
At —»0 |
At
x'(f)- i +у'if)- j + z'(t)-k , т. e. lim — = x'{t)- i +y'{t)-j + z'{t)- k . At—yOAt
157
Рис. 7.5
О п р е д е л е н и е . Вектор, определяемый последним равенст вом, называется производной от вектора г(t) по скалярному аргу менту t.
dt*
Производную обозначают символом — или г '. Итак, dt
~ |
|
i+/(/)-7 +z'(/)-* и-™ |
dt dt |
r i + ~ |
r ' J + T <7Л)1t |
|
dt |
|
|
dt |
dt |
||
О п р и м е р 1.1, Найти производную вектор-функции |
||||||
|
r(t)= sint-i +cos21■j +sintcost■к . |
|
|
|||
|
|
’ е н и е . |
|
|
|
|
|
|
dy -r |
dz |
|
|
|
|
|
+ — • J |
+ — к , |
|
|
|
|
|
dt J |
dt |
|
|
|
где jc(/) = sinf, |
dx |
* |
=cost; |
|
— -(sinf) |
|
|||
|
dt |
|
|
f |
|
i |
|
|
|
y(t) = cos21, |
— = ^cos2^ |
= -2cosfsiiU = -sin2f; |
||
z(t) = s'mtcost = —sin 2/, |
|
— = —2cos2/ = cos2f. |
||
W |
2 |
|
|
dt 2 |
Итак, — = cosf ■/ - sin 2t • j +cos2J • к . Ф dt
Сгеометрической точки зрения вектор r'(t) - это вектор, на правленный по касательной к годографу функции r(t) в сторону возрастания параметра t.
Смеханической точки зрения г'(f) есть вектор мгновенной ско
рости движения материальной точки по траектории, являющейся годографом функции r(t) .
7.8.Касательная прямая и нормальная плоскость
кпространственной кривой
Канонические уравнения прямой, проходящей
М0(х0,y0,z0) имеют вид
Х - Х 0 _ У ~ У о = * - * 0
т |
п |
р |
Так как |
вектор |
s(m,n,p) коллинеарен — , |
dt
(x(t0\y(tQ),z(t0)) следующие уравнения
х-х(‘о) .... У~А(о) _ * - Ф о)
через точку
то в точке
(7.2)
есть уравнения касательной к пространственной кривой x - x [ t),
y = y(t),z = z(t).
159