Математика Яцкевич, Раевская 2012
.pdfПусть заданы функции |
|
|
|
* = <р(4 |
, Чили |
\x = x{t\ |
(6.5) |
, ч |
b = y (f^ e (a ;p ) |
||
y = 4/(fye(a;P) |
|
Бели функция х = q>(f) на интервале (а;р) имеет обратную
t = ф-1(х), то определена новая функция ,у(х)= ц/(ф_1(х)), называе мая функцией, заданной параметрически соотношениями (6.5). Дифференцируя ^(х)= vj/(cp_1(jc)) по х и используя формулу (6.4) имеем соотношение
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф/ |
|
4 - |
|
|
|
(6.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х( |
|
|
|
|
|
|
О п р и м е р |
6.8. Найти |
касательную к |
окружности |
х = 2cosi. |
|||||||||||
у = 2sint, t е [0;2я] в точке f0 = ~ • |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Р е ш е н и е . |
Запишем |
уравнение |
касательной |
в |
вид |
|||||||||
У = ;v(*o)+ :vi(*oX* “ *<>)■ Здесь д^= х(% )= ^ |
=2cos- = 2-— |
=Jl |
|||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
= 2sin arccos-S ' |
Л . Tt |
_ |
л/2 |
/г |
|||||
|
|
|
|
arccos |
|||||||||||
а 7o = ^ ( xo )= 2 sin |
=2sm—= 2-— |
=V2, |
|||||||||||||
а |
2 |
) |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем |
производную |
у'х |
по |
формуле |
(6.6): |
y't - (2sin?) <=2cos; |
|||||||||
, |
/. |
v |
„ |
. |
, |
y't -2sinf |
|
|
|
|
|
|
|||
xt |
=(2cos0/ = -2smt,.yx = -7 = —-------- = - tg f . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x’t |
\ |
2cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -tg |
г |
Л ) |
|
|
|
|||
|
Тогда y'x(x0) = —tgj^arccos-^- |
1 |
arccos— |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 J |
|
|
|
|
|
Окончательно |
имеем: |
у =4 2 -\{x - ^2) |
или |
у - -х + 2V2 |
||||||||||
(рис. 6.2). # |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130
6.5. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Пусть функция у - /( х) диффереБдируема в точке х0 е(а;6). Тогда
lim fofel). = f'(x0) и — |
= /'(х0)+а(х),где а(х)-»0 при Ах-->0. |
|
ii-й) Дх |
Ах |
|
Из последнего равенства получаем, что Ау(х0) -- f ( x 0) ■Ах + а(х) ■Ах. О п р е д е л е н и е . Произведение f'(x0) ■Ах , являющееся глав ной линейной частью приращения функции, называется дифферен циалом функции у - /(х) в точке х0, соответствующим прираще
нию Ах и обозначается dy = /'(х0) • Дх , а для произвольной точки х
131
dy = /'(x)- Ax . Дифференциал независимой переменной x будет ра
вен dx = 1 • Ах, поэтому
dy =f(x)-dx. |
(6.7) |
t
Основные свойства дифференциала аналогичны правилам диф ференцирования (п. 6.2).
1.d(C) =0;
2.d(Cu) = Cdu ;
3.d(u±v) = du±dv;
4.d(u-v) = v-du + u-dv;
6.d f (и) = f'(u)du, где и =<p(x).
Последнее свойство называется инвариантностью формы диф ференциала первого порядка.
Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции у = f(x) (рис. 6.3) в точ
ке М0{хо,уо) при приращении аргумента, равном Ах . Это следует
ЛВ
из того, что ----= /'(х 0)= tga , тогда АВ = /'(х 0 )Дх = dy. Здесь АВ - Ах
приращение ординаты касательной ТТ\.
132
При достаточно малых Дх Ay « dy, т. е. Ау » /'(х)Лх, а в точке х0 можно записать приближенную формулу
Я хо + Д*)* У(*о)■+/'(*о)Д* ■
Ппр и м е р 6.10. Найти приближенно Vl28 . |
|
|
|||||||
Р е ш е н и е . |
Применим |
формулу |
(6.8), |
записав, |
что |
||||
^ = 5-з/1 + - - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
f(x) = Vx, х0 = l,Ax = ^ j , /'(х) =1—• |
1 |
Тогда |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
з и х2 |
|
|
г |
1 |
1 |
з |
= 5 1 + |
= 5(l + 0,008)= 5■1,008 = 5,04. |
||||
$ 2 8 * 5 |
VT + - |
V ? |
----- |
||||||
[ |
3 |
125 |
|
|
125 |
|
|
|
|
Точноезначение Vl28 равно 5,0396842.... |
# |
|
|
133
О п р и ме р 6.11. Найти приближенное значение объема шара, ра диус которого равен 1,02 м.
4 |
з |
Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой V = V(r) =—кг |
. Тогда |
V - 4%г2. Полагая г =1, Ьг = 0,02, получим V(1,02) » F(l) + Р"(1)0,02=
=-7i + 4TI0,02 «4,43 м3. # 3
6.6.Производные и дифференциалы высших порядков
Производной второго порядка функции у = fix ) называется
£ у
производная от ее производной у' =/'(* ), т.е. У*=~Гг - (УУ■ dx2
Аналогично определяются производные более высоких порядков
ут= {уяУ,...>/ п)=(у(г‘-1)У.
Дифференциалы высших порядков функции у = f(x) (х - неза висимая переменная) вычисляются по формулам
d 2y = /(d x ) 2,...idny =y^(d x)n.
Если |
функция у =у(х) |
задана параметрически соотношениями |
|
х = x(t), |
у = y(t), причем |
x'(t) Ф0, то ее первая у'х |
и вторая |
производные находятся по формулам: |
|
||
|
Ух = у*,> |
У *х= (УхУ, = {Ух} ; или |
(6.9) |
|
х, |
X, |
|
П п р и м е р 6.12. Найти выражение для производной п-ro поряд
ка функции у =—.
х
134
[ ^ П р и м е р |
6.13. Найти производную 2-го порядка от функции |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
------------ |
(J'l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgl — |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
х2 + у 2 - е |
|||
|
Р е ш е н и е . По правилу дифференцирования функции, задан- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
у |
|
|
|
|
|
|
х + уу' |
arctg— |
|
~ |
|
|||
ной неявно, получаем: |
е |
Х( у х - у ) |
|
|||||||
|
. ----- = ------~---- =---- . Отсюда, исполь- |
|||||||||
|
|
arctg— |
г~г |
j |
, имеем: |
|
|
|
|
|
зуя равенство е х =ух +у |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
х + уу' |
|
у 'х - у |
|
|
, |
, |
|
|
|
|
I.или х+уу |
= у х - у , |
|
|
|
|
|||
|
J x 2+y2 |
J x 2+y2 |
|
|
|
|
||||
|
Следовательно, у' = ----- . Дифференцируя последнее равенство |
|||||||||
|
|
х - у |
|
|
|
|
|
|
||
и используя найденное для у' |
выражение, получим: |
|
||||||||
/ |
= (1+y X ^ -.V )-(1-.>,,)(JC+>;) ,= х - у + х у ' - у у ’- х - у |
+ ху' + |
||||||||
|
|
( х - у ) 2 |
|
|
|
|
|
( х - у ) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
х + у |
|
_ |
. |
|
|
|
|
|
|
2(х---------у) |
|
|
||||
, |
уУ = 2лу'-2у |
= |
|
Х - у ____2(х |
+у |
) |
|
|||
|
( х - у ) 2 |
( х - у ) 2 |
|
( х - у ) 2 |
|
( х - у ) 3 * |
|
|||
П п р и м е р |
6.14. Найти производную 2-го порядка функции, за- |
|||||||||
данной параметрически: у =In/, |
у |
|
|
|
|
|||||
x - t , /е(0;+оо). |
|
|||||||||
|
|
, 1 |
|
, |
|
, |
У, |
1 |
|
|
O n р и м е р 6.15. Найти дифференциалы 1-го, 2-го, ..., л-го по рядков функции у = (2х - З)3 .
Р е ш е н и е . dy = 3(2х -З)2 2dx - 6(2х -З)2 dx,
d 2y =12(2лг- 3)2(dx)2 = 24(2х - 3Xdx)2, d3y =48(d x f, d*y = Q(dxf =0,. ..,dny =0.
6.7. Приложения теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [«;&],
дифференцируема на интервале (a; b) и f{a)= fib ) , то сущест вует хотя бы одна точка £,е {a;b) такая, что f t ) = o .
Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
м и дифференцируема на интервале (а;Ь), то существует точка 4 е (a; b) такая, что
Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрез ке [<з;b \ дифференцируемы на интервале (a;b) и g'(^)^0,Vxe М ), то существует точка \ е (а; Ъ) такая, что
<ф°рм>,лаКоши) (6Л2>|
Ппр и м е р 6.16. Доказать, что уравнение Зх5 + 15х-8 = 0 имеет только один действительный корень.
Р е ш е н и е . Поскольку функция f( x ) = Зх5 +15х - 8 непрерыв на и на концах отрезка [0; l] принимает значение разных знаков (/(0)<0,/(1)>0), то по первой теореме Больцано-Коши на ин тервале (0; l) уравнение /(x)= 0 имеет корень. Предположим, от противного, что это уравнение имеет два действительных корня х = а, х = b, f(a) = f{b)= 0.
136
Тогда по теореме Ролля на интервале (а;Ь) существовала бы
точка в которой /'(Д) - 0, Но /'(х) = 15х4 + 15^0 при действи
тельных х. Полученное противоречие доказывает, что действитель ный корень ~ единственный.
О п р и м е р 6.17. Используя формулу Лагранжа, доказать нера венство |sinx2 - sin JCj| < |х2 --JCjj.
Р е ш е н и е . Функция /(x ) = sin x удовлетворяет условиям тео ремы Лагранжа на любом отрезке [jcj;jc2 ]; /'(*)= cos х. Поэтому
sinх2 - sin х{ - cos ^■(х2 - х 1). Отсюда, учитывая, что |cos£,| < 1, име ем |sinx2 -sinxjj = |cos4|x2 —jc£| < |x2 -Xj|.
П п р и м е р |
6.18. Написать формулу Коши и найти значение £, |
||||
для функций f(x) = sin х, g(x) =cos х на отрезке |
|
||||
Р е ш е н и е . |
Все |
условия |
теоремы |
Коши выполнены: |
|
g'(x) = ~sinx*0, х е |
Поэтому |
|
|||
sin—-sin 0 |
|
e |
» в |
||
_ |
2 |
------------------_1 = й й , ,=„ |
|||
cos—-cos 0 |
s*n^ |
|
4 |
||
|
|
2 |
|
|
|
Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей —и —). |
|||||
|
|
|
|
|
0 оо |
Т е о р е м а . Пусть функции /(х) и g(x) дифференцируемы на |
|||||
о |
|
о |
|
|
|
и(х0)-, g'(x)*0,xe U(xo). Если |
lim / (jc)—0 |
и lim ф(х) = 0 (или |
|||
|
|
|
|
X-XQ |
де-ухо |
lim f(x) = оо и |
lim ф(х) = оо),то |
|
|
||
X~>XQ |
|
х->*о |
|
|
|
|
|
Ita |
/ f e j . |
Hm Щ |
(6.В) |
х~*х0g(x) х->х0g(xj
приусловии, что существует предел отношения производных.
137
За м е ч а н и я :
1.Аналогичная теорема справедлива и в случае х0 = °о.
2. Если частное /'(х )/g'(x) в точке х0 также есть неопределен
ность вида —или — и производные f ( x ) и g ‘(x) удовлетворяют
Ооо
соответствующим условиям, то можно перейти к отношению вто рых производных и т. д.
3. Неопределенности вида 0-м или со-оо алгебраическими преобразованиями функции приводятся к неопределенности вида -0
или — , и далее применяется правило Лопиталя.
оо
4. В случае неопределенности вида 0°, оо°, 1“ следует проло гарифмировать функцию и предварительно найти предел ее лога рифма.
О п р и м е р 6.19. Найти lim sin2x-sin3x *—►0 arcsinx
Р е ш е н и е . Используем формулу (6.13)
hm |
sin2x-sin3x |
= |
( 0 \ |
= lim |
2cos2x-3cos3x |
. |
|||||
---------------- |
|
|
— |
|
---------- |
|
= - l .V |
||||
jt->o arcsinx |
|
|
10 J |
*->o |
|
|
1 |
||||
О П р и м е р |
6.20. Найти |
lim |
з |
|
|
|
|||||
3х |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X-++Q0 |
|
|
|
|
lim — |
|
|
|
|
|
2 |
ОСИ |
|
6х |
||
<х>) |
*->+<»2х 1пЗ |
— = lim |
|
|
|||||||
*->+00 З* |
со J |
х->+°0 3 х 1п 2 3 |
|||||||||
|
00 |
lim |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
----------= 0. $ |
|
|
|
||||||
Р е ш е н и е . Имеем: |
|
|
|
|
|
|
\ 0 0 У |
х->+со Зх 1п3 з |
|
138
1 1
EJn р и м е р 6.21. Найти lim
Х-1 \пхJ
Р е ш е н и е . Имеем:
lim |
1 |
1 = ( о о - о о ) = |
lim Inдс —X +1 |
|
i-»lVJt-l |
Inx |
Х-*1 (x-l)ln; |
|
|
l - i |
l - x |
■1 |
-i>2« |
|
= lim |
|
|||
, x-1 |
= lim- |
' • l - l t a - |
||
*-►!, |
*-их1пх + х-1 |
0 J x-*l InX + 1 + 1 |
2 |
|
InJC+ ----- |
|
|
|
smjc\ П п р и м е р 6.22. Найти limf—
x-*0\ X
Р е ш е н и е . Здесь имеем неопределенность вида 1°°. Обозначим
^sinx |
. Логарифмируя и применяя правило Лопиталя (6.13), |
||
У = |
|||
получим |
|
In''sinx'1 |
|
|
1 , sinx |
'0 |
|
|
= (oo ■o)= Hm |
||
lim(in v)= lim -rln----- |
,0 |
||
x->0 |
x->0\ x |
jt->0 |
|
|
xcosx-sinx |
1 lim-xcosx-sinx |
0 |
= lim sinx |
|||
|
2x |
2*->o |
|
1cosx-xsinx-cosx
=—lim -
2 x->o |
3x* |
6 |
|
|
smx |
(здесь дважды использован предел lim------= 1). |
||
|
jr->0 |
X |
Поскольку lim(lny)=-—, то limy = limf Sin- | =e 6. 0
x -*0 6 x_+0x->0VxJ
139