Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Строительная механика учебник

.pdf
Скачиваний:
145
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
10.86 Mб
Скачать

В матричной форме записи эти выражения представляются так:

 

 

 

 

 

D

 

ГГ.Т -»*

 

тГ,

 

ГГ.Т

^

*

 

 

 

 

 

 

 

 

Ян

= Т гн ,

M н = Т mн,

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

r

н

= [r

 

 

R

 

 

 

R

]Т ;

 

 

 

 

 

 

 

 

\у-х,н’

 

У,н’

z ^ J

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

=[m

 

 

;

M

 

 

 

;

M

 

]Т ;

Н

 

 

 

 

 

1У±н

 

Y

х,н

 

1У±у,н>

1V±z,н\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

Г

r

 

;

 

 

r

Т

 

 

-

 

*

 

 

г

' m ' m

 

 

 

н

= r '

 

 

 

 

 

' m

 

 

= m

 

 

 

Yx,^

 

у,н>1z,н]

 

 

 

 

Y

л,н

 

у,н

 

z,HТ]J •

 

 

Аналогичные соотношения имеют место и для усилий в конце

 

стержня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

ГГ^Т ^ *

 

 

 

и

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гу-тТ ^ *

 

 

 

 

 

 

 

 

R K = Т rK,

 

M K = Т mK,

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

о

 

 

 

R

]Т;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= [R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лк

L x,K

 

у,к

JXz,K\

 

 

 

 

 

 

 

M к = [M XK ;

M y,K;

M z,K JТ .

 

 

 

 

 

С учет м аписанных выражений вектор концевых реакций

R

 

 

*

r

 

;

r

 

 

' m

 

 

= m ' m ' m

 

 

 

 

 

[rx,K

 

 

т,]Т ;/ик* =

 

 

 

 

 

K

x,K

y,K

 

 

 

y,K

 

z,K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в глобальн йзсистеме координат определяется так:

 

 

 

 

где

R = к , н ;

 

R ^ ;

 

^ , н ;

m X,н ; м У н; M z,н ;

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

R

= a S

,

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

r X,K;

Ry,K; r Z,K;

m X,K;

м у ,к ; М ,к ;;

 

 

 

 

 

 

 

 

a - матрица равновесия стержня в общей системе координат: 461

- *11

-

(N

_

*13_

* 1 3

*12

*12

 

l

l

l

l

_

123

*23

_ *22

*22

 

l

l

l

l

 

 

 

 

m

 

 

 

*33

*33

*32

*32

 

 

 

-

 

 

 

 

l

l

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

_

*12

 

13

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

21

-

22

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15.22)У

 

 

a =

 

 

 

*31

_

*32

 

*33

 

 

 

 

 

 

 

 

*13 _

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

*13

*12

_

*12

Н

 

 

 

 

 

 

l

l

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*21

 

 

*23

*23

*22

*22

 

 

 

 

 

l

l

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*33

*33

*32

*32

 

 

 

on

 

 

 

l

l

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

-

*11

 

 

*12

 

Б*13

 

 

 

 

 

-

21

 

 

*22

 

 

23

 

 

 

 

 

 

-

31

 

 

*32

 

 

33

 

 

Матрицы равновесия сте жнейплоских

и

пространственных

ферм, плоских изгибаемых систем, систем перекрестных балок по­

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

лучаются как частные случаи изрзаписанной матрицы a (15.22) вы­

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

черкиванием соотве с вующих стр к и столбцов.

 

 

Матрица внутренней жескости

защемленного по концам стерж­

ня имеет следующую форму записи:

 

 

 

 

 

 

EA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

зG IKP

 

 

 

 

 

 

 

о

 

l

 

4E J y

2 E J y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

пK =

 

 

 

 

l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 E J y

4 E J y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

l

4 E J z

 

2EJz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 E J Z

 

4EJz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

l

462

Основные уравнения строительной механики для расчета стержневой системы в форме метода перемещений представ­ ляются в виде:

 

 

 

 

 

 

 

R z = F + A K А '.

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица уравнений равновесия A рассчитываемой системы со­

ставляется поэлементно с помощью матриц равновесия a (15.22)

стержней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р . Построить эпюры продольных сил, крутящих и изги­

бающих моментов в раме, показанной на рис. 15.27, принимаяТдля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

всех стержней следующее соотношение жесткостей:

 

 

 

 

 

 

E A h 2 = GIKP = E Jy

 

 

й

 

 

 

 

 

 

= E J Z, ( h

= 1 м).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оказанные

и

Рис. 15.27

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пол жения л кальных осей координат для каждого стержня ра­

е

 

на рис. 15.28, определяют матрицы направляющих

мы,

 

 

косинусов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

“1

 

0

0"

“ 0

1

0"

“0

0

1"

 

 

 

0 1 0 , T2 = -1

0 0 , Тз = 0 1 0

 

 

 

0

 

0

1

 

0

0

1

1

0

0

 

463

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У6

 

 

 

 

'

13

 

 

 

 

 

1/6

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

4/6

-2/6

 

,

K2 =

43

-23

 

 

 

-2/6

4/6

 

-23

43

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

4/6

-2/6

 

 

 

43

 

 

 

 

 

 

 

-23

_

 

 

 

-2 /6

4/6 _

 

 

 

 

43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 -

 

 

 

 

 

ГУ4

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

K =

1

-0,5

 

 

 

 

 

 

 

-0,5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

-0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

1Б

 

 

 

 

 

 

 

 

-0,5

 

 

Принимая вектор нагрузки F

= [0; 0;

-11;

3;

7,5;

o f

(размерность сил - кН; м мент в - кН • м; длин - м; положительные

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

моменты направляю ся

н сирельно осей общей системы коорди­

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

нат по ходу часовой с релки, если смотреть с точки, соответствую­

щей концу оси), получ м: о

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

,

 

Z = [-1,87; - 2,75; -17,54; - 3,89; 2,64; 0 ,7 6 ] ]

 

п

 

 

 

 

 

 

E Jy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9,10;

S = [-0,31; 0,65; - 3,80; 4,68; - 0,21; - 0,05; | 0,92; 0,88; 6,51; -

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 0,24; 0,74; | - 4,38; - 0,19; -1,94; 0,62; - 2,86; 0,91;]T.

 

РЭпюры усилий показаны на рис. 15.29. На рис. 15.30 показаны (в аксонометрии) изгибающие и крутящие моменты, действую­ щие на вырезанный узел 2. Моменты подразделены на группы в соответствии с их расположением по отношению к координат­ ным плоскостям.

465

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 15.29

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пл. XZ

 

 

 

 

Пл. YZ

 

 

Пл. XY

 

 

 

 

 

 

 

р

6,51

 

 

 

 

4 ,6 S ^ _ 7 , 5 j r / ^

0,88

 

0,65

3,0 Я

й

 

а

 

 

 

о

 

 

 

0,24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с — в

и

О

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

0,05

 

 

 

1,94

 

 

2,86

 

 

 

 

^ > 0 ,1 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е M 2 =

 

 

Е M 2 =

 

 

Е M 2 =

 

 

 

 

 

 

 

4,68 + 0,88 +1,94 - 7,5 = 0.

 

0,65 - 6,51 + 2,86 + 3 = 0.

- 0,05 - 0198 + 0,19 + 0,24 = 0.

 

го

и

Рис. 15.30

 

 

 

 

 

 

п

узла выполняются также и уравнения проекций сил на

 

Для эт

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координатные оси.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

П р и м е р . Построить

эпюры

усилий в

раме,

показанной на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GT = 0,27EJy ,

рис. 15.31, приняв для всех стержней EA h2 = 10E J y ,

E J . = 0,5E J y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1 =[12,0; 0 ;-9 8 ,0 ; 4 0 ,0 ;- 52,0; 0 ; f ,

466

F2 = [0; 0;-98, 0; 40,0; 64,0; o f .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 15.31

осей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

Размерность сил - кН, моментов - кН •м, длин - м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

местной системы коор­

 

Матрицы направляющих косинусов

 

 

динат для стержней рамы представляются в следующей форме:

 

 

 

 

 

"1

0

0"

 

 

 

"0

0

-1"

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

0 1 0

 

 

 

 

 

 

T = 0 1 0

Г2 = T =

-1

 

 

 

 

 

 

и

о1

 

1

0

0

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

9,42809

 

2,35702“

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"- 2,35702

 

 

 

 

 

 

 

T

=

- 9,70143

- 2,42536

 

 

0

•10

 

 

 

 

п

 

0,57166

- 2,28665

 

9,71825

 

 

 

е

 

 

" 2,35702

 

9,42809

 

2,35702"

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

=

- 9,70143

 

2,42536

 

 

0

10 -1

 

 

 

 

 

 

- 0,57166

- 2,28665

9,71825

 

 

 

Матрицы жесткости 4-го и 5-го стержней совпадают:

467

 

 

 

 

2,357

 

 

 

 

 

 

 

 

K 4 = K 5 =

 

 

0,707

 

 

E J y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,354

 

 

 

 

После формирования матрицы внешней жесткости R = AKA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

решаем систему уравнений Rz = F и определяем усилия в стерж­

нях рамы по выражению S = K A

 

z .

 

 

 

 

У

Эпюры усилий показаны на рис. 15.32.

Б

 

 

 

0,50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57,82

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

0,28

 

 

к4,53

 

-7,37

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

(кH" м)

 

 

1,0ГM p (кH•м)

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

Рис. 15.32

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м р . Для системы перекрестных балок (СПБ), показанной

на рис. 15.33, примем изгибные жесткости для всех стержней рав­

еными и GIKP = 0,27EJ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

468

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 15.33

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

Матрица уравнений равновесия, составленная с помощью мат­

рицы равновесия астержня в общей системе координат, записана

в табл. 15.7.

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

469

470

Узел 4 Узел 3 Узел 2 Узел 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

Таблица 15.7

С те р ж н и

1

 

2

 

 

3

4

 

5

 

6

7

 

8

 

9

10

11

 

12

У с и л и я

Мк M KP М н М к М н Мк М КР М н Мк М н М к М КР М н Мк М н М к М кР М н Мк М н

№ п/п

1

2 3

4

 

5

6

7 8

9

10

11

 

12 13

14

15

16 17

18

19

20

Z z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б

 

 

 

 

 

 

 

- 1/4

 

- 1/4

1/4

 

 

 

 

 

 

 

-1 /2

 

-1/2Н1/2

 

 

 

 

 

х

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

й

1

 

 

 

 

 

 

Z№y

 

1

 

-1

 

 

 

 

 

 

и

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z z

 

 

 

1/4

- 1/4

- 1/4

 

 

 

 

 

 

 

 

-1 /2

-1/2

1/2

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

ZM,

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z№y

 

 

 

 

1

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z z

A =

 

 

 

 

 

 

- 1/4

 

- 1/4

1/4

 

 

 

1/2

-1/2

-1 /2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

1

 

 

 

 

 

 

-1

1

 

 

 

 

ХМ-

 

 

 

 

з

1

 

-1

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z z

 

 

п

 

 

 

 

 

1/4

- 1/4

- 1/4

 

 

 

 

 

 

1/2

-1/2

-1 /2

ХМ,

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

1

 

е

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ м ,

 

 

 

 

 

1

-1

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р