Строительная механика учебник

случаях целесообразно

применить

указанную математическую

У

формализацию этого процесса с использованием матрицы равнове­

сия A и матрицы жесткости K .

Т

Между матрицами LS

и Lz существует взаимосвязь. Действи-

тельно, так

как

Н

Б

Ls = KA T Lz .

Матрица внешней жесткости R = A K AT

и матрица внешней

й

податливости A = R 1 широко используются в динамике и устой-

чивости сооружений.

и

П р и м е р . Покажем

исп льз вание основных уравнений для

р

расчета неразрезной балки. Расчетная схема балки изображена на

рис. 15.23,а. Балка

оянное сечение.

пос

A =61,2 •10-4

меет

м4,

Е =2,1 • Ю 5 МПа.

м2,I =0,895 • Ю -4

Размерн сть сили- кН, моментов - кН^м, длин - м.

Общее

узлов - 9.

В квадратиках указаны номера элементов балки.

Матрица

A формируется по стержням с использованием 5-го

число

варианта табл. 15.2.

Матрицапвнутренней жесткости K является квазидиагональной:

е diagK = [K1K 1K 1K j K 2K 2K 2K 2]•18,795 • Ю 3,

= " 4 - 2]

= Г 4/1,5

- 2/1,5“

Ргде K1 =

- 2

4 ],

2 =|_- 2/1,5

4/1,5 .

=

и

строке в ст лбцах 2, 4, 6, 9, 11, 13. Л.вл. M 3 показана на рис. 15.23,е.

Для

з

стр ения л. вл. Mg (рис. 15.23,ж) использованы значения

второго

ординат из 15-й строки Ls .

Дляпсогласования графиков, показанных на рис. 15.23,г-ж, по

знакам усилий в матрице Ls знаки изменены на обратные.

е

Р

Т

Н

Ум

э п - Z Берт.' 1 0 ,

Б

й

, кН • м

и

эп.M 1

1,0 кН

р

0 ,2 т 0-14

0,05

эп.M 2 ,

кН • м

г)

о

0,03

т

0,69

и

3

з

о

п

е

е)

Р

0-028 0-044

0-038 ^

0,04

л .вл .M 8 , м

ж) -----и и с п ш т и г т - . ------ ©_

щие косинусы cosa x,cosay ,cosa z по выражениям:

Т

x? - X1

У2 - У1

Н

У

zo - z1

c o sa x = —----- ,

c o sa y = — ---- ,

co sa . = —-----

,

x

l

y

l

z

l

где

Б

l = V(x2 - x1)2 + ((2

й

- У1)2 + (z2 - z1)2 .

и

—

Направляющие косинусы направленного отрезка Р2Р1 суть

пр

- co sax, - co say , - co saz .

т

дольную силу в стержне будем

Как и ранее,рас ягивающую

и

считать положительной.В к нцевых сечениях стержня она имеет

противоположные направленияо. Эти направления соответствуют

з

—

—

направлениям отре ков Р1Р2

и Р2Р1 .

о

—

на оси O X , OY и OZ

Пр екции направленного отрезка Р1Р2

п

равны с

тветственно:

е

lx = x2 - x1 = l cosax ,ly = У2 - У1

= l cosay ,

lz = У2 - У1 = l cosaz .

Следовательно, проекции продольной силы N , приложенной

Рв точке Р 2, на те же оси равны:

- N cosax,- N cosay ,- N cosaz .

У

Нумерация узлов фермы определяет и нумерацию узлов Р1 и

Р2,

соединяемых стержнем. При этом за начало стержня, то есть за точ­

куР1,принимается узел с меньшим номером.

В матрице равновесия A с каждым свободным узлом простран­Т

ственной фермы связаны три строки, в которых записываются ко­

эффициенты при усилиях N в стержнях, примыкающих к этому

Н

узлу. Эти коэффициенты являются множителями (направляющими

косинусами) при N в уравнениях ^ X = 0, ^ Y = 0, ^ Z = 0.

Б

В практических задачах матрицу A удобнее формировать не по

строкам, а по столбцам. Еще

напомн м, что направляющие ко­

й

Р2,

синусы стержня Р1Р2 в уравнениях, относящ хся к узлам Р1 и

будут иметь противопол жные знаки.иП формировании матрицы A

по столбцам

следует исп льз вать для каждого стержня вектор-

шаблон а :

раз

о

а = [-cosax,- cosay,- cosaz,cosax,cosay,cosaz].

т

Первые три элемента вектора относятся к началу стержня (узел Р1),

и

оставшиеся три - к концу его (узел Р2).

з

Осн вные уравнения строительной механики для пространствен­

ной ф рмыоимеют ту же форму записи, что и для плоской системы.

Зам чание- В случае плоских ферм матрицу равновесия также мож­

п

но формировать через направляющие косинусы с помощью приведен­

ного выше вектора а,исключив в нем компоненты: - cosaz,cosaz.

е

П р и м е р .

Определить

усилия в стержнях

пространственной

Рфермы, показанной на рис.

15.24. Жесткости

EA всех стержней

У

Т

Рис. 15.24

Н

Матрица равновесия фермы приведена в табл.Б15.5.

В этом примере задача определен я опорных реакций не стави­

лась. Поэтому в матрице A отсутствуют строки, соответствующие

й

уравнениям проекций усилий в сте жнях, примыкающих к опор­

ным узлам, по направлениям

ных связей.

Матрица жесткости K фе

и

мы является диагональной:

р

опо

т

Примем вект

нагрузки

в виде:

з

F

= [0;|0;0;|0;|0;|0;0;|0;|- 5,0; 5,0;- 50,0;|

о

кН *.

п

- 5,0;5,0;-100,0;| - 5,0; 5,0;- 50,0,f

е

Р

* В ертикальны е линии разделяю т компоненты

нагрузки, относящ иеся

Таблица 15.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 15 1617 18 19

-0,8

-1

-0,6247

У

-0,8

-1

-0,6247

-0,6247

1 -1

1

Н

-1

0,8

1

0,6247

Т1 -1

0,6247

0,8

1

0,6247

0,8 -0,8

-0,6247

й

-1

-0,6247

0,6 0,6

0,4685Б

0,8 -0,8

и

-0,6247

0,6247

р

-0,6247

1 -1

0,6247

0,6 0,6

0,4685

0,4685

о

0,6247

0,8 -0,8

0,6247

1

0,6 0,6

0,4685

и

з

Решение системы уравненийт R z = F дает:

zT

о

п

= [-382,96; |-254,51;14,27;|14,27;|25,73;|173,99;25,73;|382,96;|

- 236,14;114,66;- 569,03;|-79,32;120,39;- 828,69;|158,01;

е

Р

126,12;- 621,12]• —

,м*.

EA

*

В ертикальны е линии разделяю т

компоненты

перемещ ений,

относя­

Усилия в стержнях фермы определяем по выражению N = K A

z

N = [- 44,79;- 30,50;47,87;- 71,41;- 58,91;53,56;- 49,25;

- 38,54; 47,87 ;-19,27;5,71;-10,30;-27,27;3,57; 0;0;

У

-

6,43; 1,43;1,43]T ,кН.

Т

15.17. Пространственные рамы

Н

Для каждого стержня рамы ориентацию осей местной системы ко­

Б

ординат (в дальнейшем они обозначаются малыми буквами x, y, z )

будем считать известной. Ось ox направлена от узла Р

к узлу Р2

й

oz

правой декартовой системы координат располагаются в плоскости,

перпендикулярной ox и проходящей через точку

.Так как положе­

р

ние сечения стержня рамы принимается заранее определенным, то тем

самым устанавливается и положен е осей oy и

oz . Расположение

т

бальной системы координат OXYZ:

Пусть относительно сей

- ось ox

имеет направляющие к синусы tц ,

1 21

,1 31

;

- ось oy

и

,1 32

;

имеет направляющиеглокосинусы 1 12,

1 22

- ось oz

з

123

,1 33

.

имеет направляющие косинусы 113,

Тогда принимаемая для стержня локальная система

координат

характеризуется матрицей направляющих косинусов:

п

е

о

T =

t11

t21

t31

t12

t22

t32

_t13

123

t33

C помощью матрицы T совершаются преобразования декарто­

Рвых прямоугольных координат при повороте осей.

У

Усилия в концевых сечениях стержня, ориентированные по осям

Н

рицы равновесия а* :

Б

Т

r * = a * S . Компоненты вектора

-»•* |

й

компонент

показаны на рис. 15.25. Положительные направления

вектора S показаны на рис. 15.26.

р

m z , K &

о

и

т

I

m „ K

и

з

о

п

Рис. 15.25

Рис. 15.26

е

Р

У

mz н, mz K - изгибающие моменты в начале и в конце стержня

относительно оси z .

Т

Условия равновесия для стержня позволяют получить следую­

щие соотношения:

Н

rx,н = —N ;

rx,к = —rx,н;

= M z,к —M z,н .

=

ry,н ;

ry,н =

i

’

ry,к =

M y,к —M

y,н

Г

i = —r

■i’

z,»

z,н ’

Гz^ = --- --------------'

Б

m

= M '

m

= —m

'

"‘x,н

lv± крэ

"‘x,K

"‘x,н

’

my,н

= —M y ,н'

m

й

y,K

= —my,н'

mz „ = M z v ;

и

mz

K= —M zK.

р

Положительные направления к нцевых усилий (рис. 15.26) сов­

падают с направлен

осейместной системы координат. Поэто­

му для проектирован

я х усилий на оси глобальной системы ко­

ординат

эт

уем матр цу T :

ями

зRX ,H = ^11 ■rx ,н + ^12 ■ry ,н + ^13 ■rz ,н ;

RY ,H = ^21 ■rx ,н + ^22 ■ry ,н + f23 ■rz ,н ;

исполь

пRZ,H = ^31 ■rx ,н + f32 ■ry ,н + ^33 ■rz ,н ;

е

M X ,H = ^11 ■mx ,н + ^12 ■my ,н + %

■mz ,н ;

Р

M Y,H = ^21 ■mx ,н + ^22 ■my ,н + ^23 ■mz ,н ;