Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Строительная механика учебник

.pdf

Скачиваний:

145

Добавлен:

31.05.2015

Размер:

10.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 7644 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Определитель матрицы равновесия основной системы не должен быть равен нулю.

Примем в качестве основной неизвестной усилие в 4-м стержне. Тогда матрица равновесия основной системы (рис. 15.15) будет

иметь следующий вид:
				1	-1	0	0	0	0		Т
				0	0	0	0	-1	0		Т
				0	0	0	0	-1	0			У
				0	1	0	0	0	0,8			У
		А0 - 0			0	0	0	0	- 0,6
				0	0	1	0,8	0	Б
				0	0	1	0,8	0	- 0,8	Н
				0	0	0	0,6	1	0,6	Н
								й
							и
						р
					о
				т
			и
		з
Определитель этой матр цы det А 0 - - 0,36.
	о
Матрица		Ах представляется четвертым столбцом матрицы рав
п
новесия заданн й системы:
е			Ах= [0		,8 ;- 0,6 ;0 ;0 ;0 ;0]Г.
Р						матрице Aq ,и Lx - матрицу влия
Найд м матрицу, обратную						матрице Aq ,и Lx - матрицу влия

ния усилий в стержнях основной системы от Xi — 1:

431

		1		0		1	1,333		0		0						- 0,8
		0		0		1	1,333		0		0						0
Aq-1 —		0	-1,333			0	- 2,667		1	-1,333			Lx — - A) 1Ax —				- 0,8
Aq-1 —		0	1,667			0	1,667		0	1,667			Lx — - A) 1Ax —				1	У
																		У

		0		-1		0		0	0		0						- 0,6
		0		0		0	-1,667		0		0					Т
		0		0		0	-1,667		0		0						0
	Тогда усилия					NF									Н
	Тогда усилия					NF	в стержнях основной системы от нагрузки
F —[0; - 10,0; 0; - 10,0; 0; о]													Б
F —[0; - 10,0; 0; - 10,0; 0; о]									будут иметь следующие значения:
N° — A 0-1F — [-13,333 ;-13,333												стержней			; 10 ; 16,667]Г .
N° — A 0-1F — [-13,333 ;-13,333											; 40 ;-33,333				; 10 ; 16,667]Г .
	Матрица внутренней податливости													основной системы
									р
является диагональной и представляется в такой записи:
								о			иl5		l6		l7
	diagDo				—	h	.	12		EA3 EA5			EA6		EA7
						EA1		EA2		EA3 EA5			EA6		EA7
	— [0,7619; 0,7619; 0,7619; 0,9524; 0,5714; 0,9524]-10-4.
				з
	Податливость стержня,тусилие в котором принято за основную
		о							I4		— 0,9524 -10 4 .
неизвестную X 1,равнаиDx — — 4—											— 0,9524 -10 4 .
	п								EA4
	п				датливости основной системы по направлениям ос
	Матрица				датливости основной системы по направлениям ос
е
новных неизвестных в случае одной неизвестной представляется
одним эл ментом:
Р					D — Lrx D0 Lx + Dx — 30,857-10-5.
					D — Lrx D0 Lx + Dx — 30,857-10-5.

Перемещение по направлению основной неизвестной, вызывае

мое заданной нагрузкой, то есть свободный член в уравнении мето

да сил, равно:

432

A —Lrx D 0 NF —-514,286 -10-5 .

И з

у р а в н е н и я

( 1 5 . 1 4 ) ,

к о т о р о е

м о ж н о

з а п и с а т ь

в и д е

Г^ 0

D X 1 + L x D o N f — 0 , н а х о д и м X 1 — 1 6 , 6 6 7 к Н и д а л е е п о в ы р а
						У
ж е н и ю ( 1 5 . 1 2 ) о п р е д е л я е м о к о н ч а т е л ь н ы е у с и л и я в о в с е х с т е р ж н я х ,
к р о м е ч е т в е р т о г о , з а д а н н о й ф е р м ы :					Т
N 0 — L x X	1 + N F —			Н

— [ - 2 6 , 6 7 ; - 1 3 , 3 3 ; 2 6 , 6 7 ;	- 1 6 , 6 7 ; 0 ; 1 6 , 6 7 ] Г , к ,
а п о в ы р а ж е н и ю ( 1 5 . 1 3 ) - п е р е м е щ е н и я е е у з л о в :
15.12. Статически оп		й
	еделимые		системы
Z — (A - 1 Г D o N o —			Б
р
— [ - 0 , 2 0 3 2 ; - 0 , 5 3 5 5 ; - 0 , 3 0 4 8 ; - 1 , 4 7 7 ; 0 , 2 0 3 2 ; - 0 , 5 3 5 5 ] Г - 1 0 - 2 , м .

				т
	В с т а т и ч е с к и о п р е д е л и м й с и с т е м е ч и с л о н е з а в и с и м ы х у р а в н е
н и й р а в н о в е с и я р а в н о ч с л у н е и з в е с т н ы х у с и л и й , п о э т о м у м а т р и ц а
р а в н о в е с и я А я в л я е с я ков а д р а т н й . В э т о м с л у ч а е с и с т е м а у р а в
н е н и й ( 1 5 . 7 ) р а с п а д а е с я н а д в е н е з а в и с и м ы е г р у п п ы у р а в н е н и й .
И з п е р в о й и н х с л е д у е т , ч т о е с л и d e t А Ф 0 , т о :
			и
		з		S — A -1 F .
		о

	У с л о в и е р а в е н с т в а н у л ю о п р е д е л и т е л я м а т р и ц ы А я в л я е т с я , с л е
д о в апт л ь н о , п р и з н а к о м т о г о , ч т о р а с с ч и т ы в а е м а я с и с т е м а ч а с т и ч н о
г о м т р и ч е с к и и з м е н я е м а и л и м г н о в е н н о и з м е н я е м а .
е
Р

И з в т о р о й г р у п п ы у р а в н е н и й н а х о д и т с я	в е к т о р п е р е м е щ е н и й Z :
z — ( a _ 1 f ( d s + A	' ) .

433

При отсутствии внешней нагрузки получим:

S = 0 и i = (л —1f А'.

Этими соотношениями подтверждается известное свойство стати чески определимых систем: изменение температуры, смещение опор или неточность изготовления элементов в статически определимых


системах усилий не вызывают, а вызывают лишь перемещения.		У
15.13. Основные уравнения строительной механики
для стержня	Т

	Рассмотрим раму, загруженную узловой нагрузкой (рис. 15.16,а),
и фрагмент ее дискретной схемы (рис. 15.16,б). Показанные на ри
											Н
сунке направления узловых сил и сил взаимодействия в сечениях
соответствуют направлениям осей общей системы координат.
	Установим взаимосвязь нагрузки узлах i, j										Б
	Установим взаимосвязь нагрузки узлах i, j										и усилий в сечениях,
примыкающих к узлам. Эту зависимость проще получить вначале в ме
									й
стной системе координат (для сте жня i —j										-	системе % п ), а затем,
используя правила линейных п										- в общей системе X Y .
								азований,
								р
						еоб
					т
				и
			з
		о
	п
е							Рис. 15.16
Р

Направления усилий в концевых сечениях стержня и узловых сил, ориентированных по осям местной системы координат, пока заны на рис. 15.17,а,б,в.

434

а)	б)	п	в)
		п

H ,

) NK

- Л

Рис. 15.17

общем

случае,

векторы

усилий

начале стержня

SH =[NH , QH ,M H ]

конце

его

SK =[NK , QK , M ТK ] со

держат по три компоненты. По отношению к стержню эти силы яв

ляются внешними и зависимыми, они связаны тремя уравнениями

равновесия:

# = 0, —N H + N K = 0,

N H = N K = N;

п = 0,

QH — QK = 0,

QH = QK = Q;

M h = 0,

M h —M k + Qlи= 0, Q = j (

—M h ).

Если напряженное с с

яние стержня характеризовать вектором

S = N ,Mн ,Mк ]

о необходимо установить зависимость меж

ду SH, S K и S . В матр

чной форме записи эта зависимость опре

делится таким

браиом:

'Nh

0 '

— 1/1

1/ 1

>к.

M к

— 1/1

1/ 1

_MK

435

Связывая эти усилия с положительными направлениями узловой нагрузки (рис. 15.17,а,в), получим зависимость между вектором уз-

ловой нагрузки F и вектором S в виде:

'- 1

F <3

- 1/I

1/1

-1

М н = a S.

(15.15)

М к

1/i

- 1/1

Первые три компоненты вектора F

определяют нагрузку на

узел в начале стержня, а последующие три - в конце стержня.

Через

обозначена

равновесия

стержня в

местной

матрица

системе координат:

~ - 1

/ 1

- 1

р- 1

V i -

перех

де к общей системе координат уравнения равновесия

При

стержня (15.15) преобразуются.

Рассмотрим задачу о преобразовании координат вектора узловых

сил ри

реходе от местной системы координат к общей.

Из уравнений проекций линейных сил в i -м узле на оси общей

сист мы координат (рис. 15.18) следует, что:

Fix = F.f

c o s ^ - Fn

sin ^ ,

F .'f = F f sin ^

+ Fn cos^ .

436

A y

F n

F y

j v

A ;

F}x

Рис. 15.18

Учитывая, что момент

остается неизменным при повороте сис

темы координат, представим выражение для преобразования сил i -го

узла в виде:

F x

TYt

co sp

- sin p

Т — *

sin p

cosp

(15.16)

Fi =

Fiy

= C TF

иF! 1

где C T - матр ца операоравращения (при повороте вектора на

угол р потходу часовой стрелки). Через C принято обо

начать

матр цу

оператора

вращения

вектора

против

да часовойистрелки.

-м узле:

Анал гичные с отношения имеют место и для сил в j

Т ^ *

= C

Fj .

Тогда для вектора нагрузки в узлах, соединяемых стержнем, пре

еобразование вращения будет выполняться с помощью выражения:

C 1

—

(15.17)

F =

C 1

F = V T F

437

	где
				cosp		- sin p		0			0	0	0
				sin p		cosp		0			0	0	0
								0						У
				0		0		1			0	0	0	У
				0		0		1			0	0	0
	VJ =							0						Т
				0		0		0			cosp	- sin p	0	Т
				0		0		0			cosp	- sin p	0
				0		0		0			sin p	cosp	0
								0
				0		0					0	0	1
												Б
	Итак, если умножить равенство (15.15) слева на Нматрицу V ,
											й
то получим взаимосвязь вектора узловых сил												F и вектора усилий S
в общей системе координат в таком										виде:
в общей системе координат в таком
								р						(15.18)
								F = a S .						(15.18)
							о
	где a = V			a	- cosматрицаp
	где a = V			a	-			авн весия стержня в общей системе
					координат.
				и					& si 5.			i & si 5.
		оa =							^			^ -
		оa =			- sinp				cosp		I	cosp
									cosp		I	cosp

	п		з					-		l	1	l
					0				-1			0
					0				-1
Р					cosp				sinp		\|	sinp
Р					cosp							1
е								-		l	1	l
					sinp				l		'	l
									l		'	l
					0				0

438

В таком виде записывается матрица равновесия для стержня с защемленными концами. Как следует из (15.18), матрицы равновесия для стержней с другими условиями закрепления концов могут быть

получены из данной посредством вычеркивания строк и столбцов, со

ответствующих нулевым усилиям в стержне. В частности, если ле

вый конец стержня будет иметь шарнирное опирание (Mн =0),

а другой конец будет защемлен, то матрица равновесия получается

из исходной вычеркиванием второго столбца и третьей строки. Для

стержней с различными вариантами опорных закреплений матрицы

равновесия в общей системе координат записаны в табл. 15.2.

Таблица 15.2

439

Окончание табл. 15.2

											У
										Т
									Н
									Б
								й
							и
						р
					о
				т
			и
		з
	его
	п
	О ределим зависимость между деформациями стержня и пере
мещениями			z = z Н , zН , ph, zК , zK >pk
		концов. Запишем вектор перемещений в общей сис
т ме координат для защемленного по концам стержня в виде:
Р									T
	где, как и ранее, индексы “ н ” и ” к ” обозначают начало и конец
			стержня. Перемещения концов стержня суть пе

ремещения узлов, которые они соединяют.

440

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 7644 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.11.201925.44 Mб6Стр. 3-6 (Стр24-25).doc
#
08.11.20192.04 Mб2стр.7-15.doc
#
01.04.202575.26 Кб0Стратегия ТО и Р приборов и аппаратов -- ТОРПА.doc
#
08.05.201979.87 Кб2Страховое дело.doc
#
31.05.20151.2 Mб55Строит теплотехника ТКП 45-2_04-43-2006.doc
#
31.05.201510.86 Mб145Строительная механика учебник.pdf
#
31.05.20153.84 Mб587Строительная механика.pdf
#
25.09.20195.54 Mб53строительные конструкции (1-50).doc
#
31.05.20151.15 Mб229Строительные материалы Метода.pdf
#
01.12.201836.17 Mб425Строительные_чертежи_заочники.doc
#
31.05.201530.66 Кб27строймат(64-77).docx