Герасимович(математический анализ)
.pdfПример 5.26. Вычислить е0,1 с точностью до 0,001. Р е ш е н и е . Запишем формулу М аклорена для ех:
|
|
„н |
|
|
|
рЬх |
|
|
+ т г + т |
+ - + * - + |
|
* • « - т г + п г * " ' ’ 0 < е < 1 |
|||||
При х = 0,1 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ т |
+ т + щ _ |
|
|
||
|
|
|
1 ! |
2 ! |
" |
л! |
' |
|
Погрешность |
приближения ие |
должна превышать 0,001, следовательно, |
|
|||||
|
|
|
ео10(О 01У+ | |
|
|
|
||
|
|
* ■ « -------5 r t i 5 i - < 0 -°0L |
|
|
||||
Поскольку е010 < 2, |
|
2 |
|
|
|
п = I, 2, 3......... |
иахо- |
|
т о ------ л ------------- < 0 ,0 0 1 . Полагая |
||||||||
3 |
|
10"+ (л + I)! |
|
|
|
|
|
|
дим, что последнее неравенство выполняется, начиная с п = 3. |
|
|||||||
Итак, с точностью до 0,001 |
|
|
|
|
|
|
||
В частном |
случае при |
п = 1 |
функция |
f(x) |
аппроксимируется |
|||
многочленом первой степени |
|
|
|
|
|
|||
|
|
f ( x ) « f ( x о) + f ' ( x о) ( х — Х о ) |
|
|
||||
с погрешностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ri(x ) — |
(х — х 0)2, х0 < |
I < |
х - |
(5.29) |
|||
Так как |
по |
определению |
х |
— х 0 = |
Д д с , |
f'( x 0)A x = d f(x 0), |
||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К*) * / Ы |
+ |
|
|
|
|
Погрешность, возникающая при применении такой приближен ной формулы, не превышает модуля остатка /?г(дс), задаваемого формулой (5.29).
Пример 5.27. Найти с помощью дифференциала функции площадь |
5 круга |
|||||||
радиусом г = 1,01. Оценить погрешность вычисления. |
|
|
|
|||||
Р е ш е н и е . Площ адь |
круга |
S = nr2. Полагая |
г0 = 1 , |
Дг = 0,01 и |
заменяя |
|||
приращение функции S = S(r) ее дифференциалом, имеем: |
|
|
||||||
S (г)« |
S (го) + |
d S (го) = S (го) + |
S ' ( r 0)Ar, |
|
|
|||
S ( l ,0 1 ) « |
S (l) + 2n -0,01 = |
1,02я. |
|
|
||||
При этом погрешность ие превосходит |
|
|
|
|
|
|||
R i(r) = |
-2 j |
(г - |
г0)2, |
Го < |
6 < г. |
|
|
|
Так как S"(r) = 2л и не зависит |
от г, |
то |
|
|
|
|
||
|
/?2 (г) = |
0 .0 1 2 = |
0 ,0 0 0 1 я. |
|
|
|||
Пример 5.28. Найтн приближенное значение функции f(x) = |
е х'~ х в точке х = 0,03 |
|||||||
с помощью дифференциала. Оценить погрешность вычислений. |
|
|
138
|
Р е ш е н и е . Запиш ем приближенную формулу для вычисления значений f(x) = |
||||||||
= |
е* с помощью дифференциала в окрестности точки х»: |
|
|||||||
|
|
|
f(х ) « |
f(xB) + |
df(хв) = |
f(xо) + f '( x 0)Ax. |
|||
|
Так |
как хо — 0, * = |
0,03, |
Ах = 0,03, то |
|
|
|
||
|
|
|
|
f(0,03)№ f(0) + |
Г (0)0,03 |
|
|
||
с |
погрешностью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tf 2 = |
- Ш И |
х2 = И М - (0,03)2, 0 < |
I < |
0,03. |
|||
Найдем |
Г (0) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f'(x) = |
( 2 x — |
l)ex*~x=>f'(0) = |
— 1, |
|
||
|
|
l"(x) = |
2ex' ~ x + |
(2x — 1 f exl- x=>f"(l) < |
3. |
Следовательно, f ( 0 , 0 3 ) » 1 + ( — 1)-0,03 = 0,97 с погрешностью Rj(x) < ——1^22L =
= 0,0017.
Формула Тейлора используется также при исследовании функции на экстремум, в теории рядов, при вычислении интегралов.
6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
6.1.В О ЗРА С ТА Н И Е И У БЫ ВА НИЕ ФУНК ЦИ И
Спомощью производной функции можно произвести полное ее исследование (найти промежутки возрастания и убывания, экстре мумы, точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости, асимп тоты графика) и построить график этой функции.
Теорема 6.1. Д л я того чтобы дифференцируемая на ]о; Ь[ функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и до статочно, чтобы /'(д с)^О ( f '( x ) ^ O ) для всех дс6 ]а; Ь[. Если же для
любого дсб]а; b[ f ' ( x ) > 0 {fix) < |
0 ), то функция f возрастает (убы |
|||
вает) |
на этом интервале. |
|
|
|
Д ругим и словами: |
|
|
|
|
1 ) |
f{x) не убывает на ]а; b[ |
- « * V * 6 |
]a; |
b[. f ' ( x ) ^ 0 ; |
2) |
fix) возрастает на ]a; b{ |
-«►V'xGja; |
&[: f ' ( x ) > 0 ; |
|
3) |
fix) не возрастает на ]а; |
V х 6 |
]а; |
b[: f i x ) ^ 0 ; |
4) |
f\x) убывает на ]о; b[ |
-«*Удс6 |
]а; |
b\: f i x ) < 0. |
>1. Рассмотрим случай неубывающей функции.
|
Необходимость: Пусть fix) не убывает |
на }а\ Ь[. Тогда Удсб]а; |
|||||||||||||
fe[ при Ддс > |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ay = |
fix + |
Ддс) — / ( д с ) ^ 0 ^ - | | - > 0 = > И т - ^ - |
= |
/ '( д с ) ^ 0 Удс£]а; |
Ь[. |
||||||||||
|
Достаточность. |
Пусть |
f i x ) ^ |
0 V дс 6 ]о; |
Ь[. |
Тогда |
по |
формуле |
|||||||
Л ангранж а |
имеем |
/(дег) — |
/ ( * i ) = / ' ( £ ) (дс2 — |
ДС|). |
Так |
как |
/ ' ( £ ) ^ 0 |
||||||||
(дс| < |
£ < д с2), то V дс|, дс2 6 ]а; 6 [:дс|<дс2 |
/(дс2) — /(дс|) ^ |
0 , |
т. е. f |
не |
||||||||||
убывает |
на |
]а; 6 [. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. |
|
Д окаж ем |
теорему для |
случая |
возрастающей |
функции. Пус |
||||||||
f'i д с )> 0 |
на |
la; b[. Т о г д а У Е б ]а ; |
b[ / '( £ ) > |
0 |
и поэтому Удс|, дс2 :дс| < |
||||||||||
< |
дс2=*-/(дс2) — /(дс|) = Р(Е)(дс2 — ДС|) > 0, |
т. |
е. |
/(дс) |
возрастает |
на |
|||||||||
]о; |
Ь{. < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подчеркнем, что условия теоремы для возрастающей и убываю |
||||||||||||||
щей функций достаточны, но не необходимы. |
|
|
|
|
|
||||||||||
х = |
Например, функция |
у = х 3 возрастает иа ] — 1; |
1[, |
однако |
производная в точке |
||||||||||
0 |
обращ ается в нуль. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл теоремы состоит в следующем: касатель ная к графику возрастающей на ]а; Ь{ функции {fix ) > 0 ) составляет острый угол с осью Ох; касательная к графику убывающей на ]а; Ь[ функции (/'(дс) < 0) образует тупой угол с осью Ох. Если функция
140
f(x) на }a\ b[ является постоянной: f(x) = C, |
С = const, |
то f'{x) = О |
||
и касательная к графику функции параллельна оси Ох. |
|
|||
Пример 6.1. Найти интервалы возрастания и убывания функции |
/ (JC) = 1/(1 -f- |
|||
+ **)• |
Функция /(х) = 1/(1 + |
х 2) определена, |
непрерывна и дифференци |
|
Р е ш е н и е . |
||||
руема на R. Д л я |
отыскания интервалов |
монотонности |
функции найдем f'(x): |
|
|
/'(*)= — 2 лс/(1 +jc2)2. |
|
|
|
И з теоремы 6 .1 следует, что f(x) возрастает на некотором множестве, если f'(x) > 0. |
||||
Решим неравенство — 2дс/(1 + х2) 2 > 0. |
Оно выполняется на ] — оо; |
Of. Следова |
тельно, { ( х ) = 1/(1 + х 2) возрастает на |
] — об; |
Of. По той ж е теореме ((х) |
убывает на |
|||||
множестве, |
где /(х ) < 0 . |
Неравенство |
— 2дс/(1 + |
х 2)2 < |
0 выполняется |
на ]0; |
оо[. |
|
Итак, |
функция f ( x ) = ---------- — убываю щая |
на 10; |
oof. Ее графиком (рис. |
6.1) |
||||
|
|
1 + xJ |
|
|
|
|
|
|
является кривая, которую |
называют локоном |
Аньези*. |
|
|
|
6.2.ТОЧКИ Л О К А Л ЬН О Г О ЭКСТРЕМУМ А ФУНКЦИИ.
НЕОБХ ОДИ М ОЕ И ДО СТА ТО ЧНЫ Е УСЛОВИЯ СУЩ ЕСТВОВАНИЯ
ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
Экстремум функции. Особую роль в исследовании поведения функции на множестве играют точки, разделяющие интервалы воз растания и убывания функции. Д ля функции у = f(x) на интервале ]а; Ь[ такой точкой является точка х0, отделяющая интервал возра
стания f(x) ]а; *о[ от интервала убывания ]ж0; Ь[ функции |
(рис. 6.2). |
|
И з |
рисунка видно, что существует Оь(х0) ( 6 > 0), такая, |
что f(x0) > |
> |
f(x). |
|
|
Определение 6.1. Точка х 0 называется точкой локального макси |
мума (минимума) функции f(x), если существует 8-окрестность точки
Р и с. 6 . 2 |
р и с. 6.3 |
* М ария Гаэтана Аньези (1718— 1799) — итальянский математик.
141
х0> такая, что д ля всех х £ Об(*о) выполняется неравенство
А/ Ы = f{x) — f (х0) < О (Af (х0) = f(x) — f (хо) > О).
Значение f(x0) называют локальным максимумом (минимумом) функ ции и пишут
шах |
f(x) = |
f(xо) ( min |
/(х) = /(х0)). |
*ио«(*о) |
|
jce Oe(jto) |
|
Точки максимума |
или |
минимума |
функции называют точками |
экстремума функции, а максимумы и минимумы функции называ ются экстремумами функции.
Из приведенных рассуждений следует, что экстремумы функции носят локальный характер — это наибольшее или наименьшее зн а чения функции по сравнению с близлежащими ее значениями.
Если функция /(х) на [а; b] имеет несколько максимумов и мини мумов, то возможен случай, когда максимум функции меньше ее минимума.
Например, на |
рис. 6.3 точки xt, х 3 являю тся точками максимума функции f(x), |
а *2, * 4 — точками |
ее минимума, ио f ( x i ) < . f( x ^ . |
|
Наименьшее и наибольшее значения функции на [а; b] в отличие |
||
от |
локальных |
ее экстремумов называют абсолютными минимумом |
|
и |
максимумом |
функции f(x) и обозначают min f(x), |
т а xf(x). |
|
|
*£[а; 6] |
*£[а; 6] |
|
Д л я функции, |
график которой изображен иа рис. 6.3, абсолютным минимумом |
|
будет /(а), абсолютным максимумом — /(&). |
|
Необходимое условие существования экстремума функции. Спра ведлива следующая
Теорема 6.2. Если в точке х 0 функция f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.
>Пусть f(x) в точке х 0 достигает максимума. Тогда существу
дб(х0), такая, что
У*£()б(*о) f(x0) > f(x)=>f(x0) > f{x0 + Ах), Ах ф 0.
При Ах < |
0 |
+ |
|
> |
0 , при |
Ах > 0 ^ |
+ ^ |
т |
М < |
0 , |
|
Если пределы левых частей этих неравенств при Ах-»-0 сущест |
|||||||||||
вуют, то: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hm К*° + у |
~ |
= f'(x о — 0 ) > |
0 , |
|
|
|
|
||
|
|
д*-о |
Ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Д * < 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ит_/(*. + у |
|
= |
f,(Xo _|_ 0 ) < |
0 . |
|
|
|
||
|
|
Лг—0 |
Ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Л*>0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
производные |
функции |
f ' ( x ± 0) в точке |
х0 |
равны |
нулю, |
то |
||||
существует f'(x 0) = f'(x 0 — 0 ) = |
f'(x 0 + |
0 ) = 0 . |
|
|
не сущест |
||||||
Если f'(x о — 0) и f'(x о + |
О) отличны |
от нуля, то f'(x о) |
|||||||||
вует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
142
Аналогично доказывается случай, когда х 0 — точка минимума. <] Геометрический смысл теоремы 6.2 заключается в следующем:
в точках экстремума функции fix) касательная к ее графику парал лельна оси абсцисс, если существует f'(xo) = 0 (рис. 6.4, а); парал
лельна оси ординат, если f'(x 0) бесконечна (рис. 6.4, б); |
существуют |
|
не совпадающие левая |
и правая касательные, если |
} '{ х о — 0 ) Ф |
Ф Г { х о + 0 ) (рис. 6.4, |
в). |
|
а |
5 |
в |
Р и с . 6.4
Точки, в которых производная функции у = f(x) обращается в
нуль или не существует, называют критическими или точками |
воз |
|||||
можного экстремума. Точки, в которых производная |
функции |
у = |
||||
= f(x) обращается в нуль, называют стационарными. |
|
|
||||
Критическая |
точка |
х 0 называется |
угловой |
точкой |
функции |
fix), |
если f'( x 0 — 0) Ф |
f'(x 0 + |
0) (см. рис. |
6.4, в). |
Критическая точка х0 |
называется точкой возврата функции, если ее левая f'(x0 — 0 ) и пра
вая |
f'(xo + 0) производные бесконечны (см. рис. 6.4, б). |
|||||
|
Не всякая критическая точка функции f(x) является точкой ее |
|||||
локального экстремума. |
|
|
|
|
||
|
Например, х = 0 — критическая |
точка |
функции |
f(x) = |
x 5, так как f'(x) — 5x4 |
|
при |
х = 0 |
обращ ается в нуль, но х = |
0 не |
является |
точкой |
локального экстремума |
функции. |
В этой точке функция возрастает. |
|
|
|
Достаточные условия существования экстремума. Выяснить, ка кая из критических точек функции будет точкой ее локального экст ремума, можно с помощью трех достаточных признаков существо вания экстремума функции.
Теорема 6.3. (первый достаточный признак существования экст ремума функции). Пусть хо — критическая точка непрерывной функ ции fix). Если f'(x) при переходе через точку х 0 меняет знак с « + » на « — », то хо — точка локального максимума; если f'(x) при переходе через точку х 0 меняет знак с « — » на « + », то х0 — точка локального
минимума; |
если f i x ) |
при переходе через точку |
х 0 не меняет знак, |
|||
то' хо не является точкой локального |
экстремума. |
|||||
[> Пусть х 0 — точка |
возможного |
экстремума, причем f'(x) > 0 |
||||
V x 6 0&(хо - |
0 ) и f'(x) < 0 V x e 0&(хо + 0 ). |
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
при f'(x) > |
0 |
V x 6 |
0{,(хо — 0)=>f(xo) > |
|
|
|
при f'(x) < |
0 |
V* 6 |
О&(х0 + |
0)=>f(xo) > |
f{x) J |
143
^НОб(*0) :f (Хо) > f (*),
т.е. точка хо является точкой локального максимума.
Аналогично доказывается и существование точки локального минимума.
Если f'(x) сохраняет знак в окрестности точки х 0, то в этой окрест ности функция монотонна, т. е. точка х 0 не является точкой локаль ного экстремума. <]
На рис. 6.5 дана геометрическая интерпретация точки локаль ного максимума.
Пример 6.2. |
Найти |
локальные |
экстремумы |
функции f(x) = -i- х ? -----i- х*. |
|||
Р е ш е н и е . |
Д ан н ая |
функции |
определена и |
непрерывна на |
R. Ее |
производная |
|
f ( x ) = х 2 — х такж е непрерывна |
на |
R. Найдем |
стационарные |
точки |
функции из |
||
уравнения f'(x) — 0 : х 2 — x = 0=>xt = |
0 , х2 = 1 . |
|
|
|
Исследуем зиак производной в окрестностях стационарных точек. |
|
|
|
|||
Если х 6 Ое(0 — 0), то f'(x) = |
х 2 — х > 0; если |
х £ Ов(0 + 0), то f ( x ) < |
0. |
В |
точке |
|
х = 0 f '( х) меняет знак с « + » |
на « — ». Следовательно, стационарная |
точка |
х = 0 |
|||
является точкой локального максимума функции: |
m ax f (х) — f (0 ) = |
0 . |
|
|
|
|
Если х £ Ое(1 — 0), то f ’(x) = |
х 2 — х < 0; если |
*ео.(о) |
(х) > |
|
|
|
х £ Oe(1 -|- 0), то f |
0. |
В |
точке |
х = 1 f'(x) меняет знак с « — » на « -|-» |
. Значит, стационарная точка х = 1 есть точка |
|||
локального |
минимума |
функции: min |
f(x) = / ( 1) = |
— 1 / 6 . |
|
|
jceo.(i) |
|
|
График |
функции |
f( дг) = — дг3 — — з? приведен |
на рис. 6 . 6 |
Теорема 6.4 (второй достаточный признак существования экст ремума функции). Стационарная точка хо функции f(x), дважды дифференцируемой в Об(х0), является точкой локального минимума
f(x), если f"(x0) > |
0 , и точкой локального максимума, если f"(x0) < |
0 . |
|||||
> |
Пусть |
выполнены условия |
теоремы и f"(x о ) > 0 . Тогда |
f ( |
|||
в Ов(х0) |
возрастает, |
но |
f'(x 0) = 0 , |
следовательно, в |
Oe(x0) f (х) |
||
меняет знак с « — » на |
« + |
> (рис. 6.7). Согласно теореме 6.3, точка |
|||||
хо является точкой локального минимума функции f(x). |
|
|
|||||
Если |
f"(x0)<C 0, то |
f'(x) в Ов(х0) убывает, но f'(x0) = |
0, следова |
тельно, в Об(х0) производная функции f'(x) меняет знак с «-|-> на « — »
(рис. 6 .8 ). Тогда, согласно теореме 6.3, |
точка хо |
является |
точкой |
|
локального максимума функции f(x). <] |
|
|
|
|
Пример |
6.3. Используя теорему 6.4, найти |
локальные |
экстремумы |
функции |
f{x ) = x */ i — |
* 72. |
|
|
|
144
|
Р е ш е н и е . Д ан н ая |
функция |
определена, |
непрерывна н дважды дифференци |
||||||||||||||||
руема |
на |
R. Определим |
стационарные точки {(х ): |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- X, X3— X= 0=>*1 = 0 , Х2= — 1, х3= |
1. |
|
||||||||
Найдем |
|
значения |
0), |
/ " ( ± 1 ) . |
Учитывая, что |
f"(х) = |
Зхг — |
1, |
получаем f"(0) = |
|||||||||||
— — 1 < |
|
0 , |
т. |
е. |
* i = |
0 |
— точка |
локального |
максимума функции: m ax f(* ) = 0 ; |
|||||||||||
f " ( — 1) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
х г = — 1 — точка локального |
|
*€0 t(0) |
|||||||||
2 |
> 0 , следовательно, |
минимума |
функции: |
|||||||||||||||||
|
min |
|
f(x) = |
— 1/4; f"{ 1) = 2 > |
0, т. е. х3 = 1 — точка локального минимума функ- |
|||||||||||||||
л;ео*(—1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ции: |
min |
f ( * ) = — 1/4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Графнк функции у = х*/4 — х г/ 2 приведен |
на рис. 6.9. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Теорема 6.5 ( третий достаточный |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
признак |
существования |
экстремума |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
функции). |
Пусть |
|
функция |
f(x) — |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
п раз непрерывно дифференцируема |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в |
точке |
лс0 |
и |
f'(xo) = |
f"(xo) = ... = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
f ^ - ' \ x о) = 0, |
Г(хо)Ф О . |
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 ) |
если |
п — четное |
и |
fn(x0) < |
0 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
то |
хо — точка |
локального |
макси |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
мума. |
если |
п — четное |
и |
fn(x0) > 0 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
то хо — точка локального минимума; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3) |
|
если п — нечетное, то х 0 не является точкой локального экст |
|||||||||||||||||
ремума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 6.4. Найти локальные экстремумы |
функции f(x) = x A— 4*3. |
|
|||||||||||||||||
|
Р е ш е н и е . Д ан н ая функция определена, непрерывна н дифференцируема на R. |
|||||||||||||||||||
Найдем стационарные точки f(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f { x ) = |
4х3 — |
12х2, |
4х3 — 12** = |
0 =>*1,2 = |
0, х3 = |
3, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
f"(x) = |
12х2 — 24*, f"(3) = 36 > 0 , /"(О) = 0 . |
|
|
||||||||||
Стационарная |
точка |
* = |
3 |
является |
точкой |
локального |
минямума |
функции: |
||||||||||||
min |
f(x) = |
f( 3 ) = — 27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Are о,(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f'"(x) = |
|
|
|
Д л я |
|
исследования |
стационарной |
точки |
|
* = 0 |
находим |
24* — 24, |
|||||||||||
/" '( 0 ) = |
— 24. |
Согласно теореме 6.5, точка * = 0 не является точкой локального |
||||||||||||||||||
экстремума |
f(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
145
6.3. А БС О Л Ю ТН Ы Е ЭКСТРЕМ УМ Ы Ф УНКЦИИ НА О Т РЕ ЗК Е
Одной из основных характеристик функции f(x) на отрезке [а; b] являются ее абсолютные экстремумы, т. е. наибольшее и наимень шее значения f(x) на [а; Ь].
Если функция f(x) непрерывна на [а\ Ь\ то наибольшее и наимень шее значения она принимает на концах этого отрезка или в точках ее локального экстремума. Следовательно, для отыскания абсолют
ных экстремумов min f(x), |
m ax f(x) надо найти ее значения на кон- |
*6 [а;6] |
*е[а;6] |
цах отрезка [а; b], в точках локального экстремума и выбрать со ответственно наименьшее и наибольшее из них.
Если х\, хч, ..., х п — точки локальных экстремумов, то
m in/(■*) = min{/(a), f ( b) , f ( x i), |
f(Xn% |
*e[a; b] |
|
|
m ax f(x) = |
max{/(a), f{b), f{xi), |
|
|
*€[a; 6] |
|
|
Пример 6.5. |
Найти абсолютные экстремумы |
функции |
|
[ - 1; 4 |
Определяем |
стационарные точки |
/( дс): |
Р е ш е н и е . |
/'(дс) = Здс2 — 12дс -(- 9, Здс2 — \2х + 9 = 0=>*| =
f ( Xn)}.
/ (х) = х3 — 6 х2 -(- 9х на
1, х г = 3.
Вычисляем значения /( х) на концах отрезка |
и в стационарных точках: / ( — 1) = |
||
= - 1 6 , /(4) = 4, f( 1) = 4, /(3) = 0. |
Тогда |
|
|
min |
/ (JC) = |
min {— 16, 4, |
4, 0 1 = — 16. |
* e [ - i ; 4 ] |
|
|
|
m ax |
fix ) = max{— 16, |
4, 4, 01 = 4. |
Наименьшее значение даииая функция принимает на левом конце отрезка в точке х = — 1, наибольшее — в стационарной точке х — 1 и на правом конце отрезка
в точке х = 4. График функции у = |
х3 — бдс2 + Ях приведен |
на рис. 6.10. |
|
||
Пример 6 .6 . Найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно |
|||||
вырезать из бревна диаметром 25 см |
(рис. 6.11), считая, что прочность бруска с пря |
||||
моугольным сечением пропорциональна ширине и кубу высоты. |
|
|
|||
|
Р е ш е н и е . Обозначим через х шири |
||||
|
ну бруска, |
через |
h — его |
высоту. |
Тогда |
|
прочность |
бруска |
у = kh3х, |
где k — коэф |
|
|
фициент пропорциональности. Из |
А А В С |
|||
|
(см. рис. 6 . 1 1 ) находим |
|
|
||
|
h = V 252 -**=► (/ = Ь:;У(252 - |
х2)3. |
|||
|
Определим стационарные точки функ |
||||
|
ции у = кхл!{252 — дс2)3: |
|
|
Mf (-VrlS)
Рис. 6 . 1 0
146
у ' — k-\J(252 — x2)3 — Зкх2л]2Ь2 — л:2, у ' = 0,
тогда
252 — 4jc2 = 0 = > 2 jc= ± 2 5 = > jc = ± 1 2 ,5 .
По условию задачи х 6 ]0; 25[. Следовательно, наибольшаи прочность бруска
будет при ширине х = 12,5 см. В этой точке функция у = kx-\l(252 — jc2)3 имеет локаль ный максимум, так как у " = 0 .
6.4. И С С Л ЕД О В А Н И Е ФУНК ЦИИ НА В Ы ПУКЛОС ТЬ И ВОГНУТОСТЬ. ТОЧКИ П Е РЕ ГИ БА ФУНКЦИИ
О п р е д е л е н и е 6.2. График дифференцируемой функции у = = f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым) на ]а; Ь[, если дуга кривой у = f(x) V х 6 ]а; Ь[ расположена выше любой касатель ной, проведенной к графику этой функции (рис. 6.12).
О п р е д е л е н и е 6.3. График дифференцируемой функции у = = f(x) называется выпуклым вверх (или выпуклым) на }а; Ь[, если дуга кривой у = f(x ) V х £]а; Ь[ расположена ниже любой касатель ной, проведенной к графику этой функции (рис. 6.13).
О п р е д е л е н и е 6.4. |
Точка М{хо\ f(x0)) графика дифференцируе |
мой функции у = f (х), в |
которой направление выпуклости меняется |
на противоположное, называется точкой перегиба (рис. 6.14). Сформулируем достаточный признак вогнутости (выпуклости)
графика функции.
Теорема 6.6. Если функция y = f(x) на ]а; Ь[ дважды дифферен цируема и f " ( x ) > 0 Ух £ ]а; Ь[, то график этой функции на ]а; Ь[ вогнутый (выпуклый вниз). Если функция y = f(x) на ]а; Ь[ дважды
дифференцируема и f"(x) < 0 |
V x 6 |
]а; |
b{, то график этой функции на |
|
]а; Ь[ выпуклый. |
|
b[ |
f " { x ) > 0. Возьмем точку х0 6 ]а; |
|
> |
Пусть на интервале |
]а; |
и покажем, что все точки графика функции y = f(x) на ]а; Ь[ лежат выше касательной к нему в точке хо, т. е. что ординаты этих точек больше ординат точек касательной с одной и той же абсциссой.
Уравнение касательной к кривой y = f(x) |
в точке с абсциссой х 0: |
Y — f(xо) = f' (хо) (х — х0)=>- Y = f(xо) + |
f' (х0) (х — х0), |
где Y — ординаты точек касательной. Разность ординат точек кривой и касательной
У — Y = f(x) — f(xо) — f'{xо) (х — хо).
147