Герасимович(математический анализ)
.pdfНапример, ]а; оо [, N являются множествами, которые ограничены только снизу. Множества Z, Q неограничены как сверху, так и снизу.
|
Д ля множеств, неограниченных сверху, принимают дополнитель |
|||||||||||
но sup Л = оо, |
а для неограниченных снизу полагают inf А = |
— оо. |
||||||||||
|
З а м е ч а н и е . |
Символы |
— о о |
и |
о о часто используют в приложениях. Их при |
|||||||
соединяют к R и считают, что |
— о о |
< |
лг < ; о о V * 6 R. |
|
|
|
|
|||||
|
Множество R, пополненное — оо и оо, обозначают R и называют |
|||||||||||
расширенным множеством действительных чисел. |
|
|
|
|||||||||
|
Приведем |
несколько |
примеров. |
|
|
|
|
|
||||
|
1. |
Пусть А = |
[2; 5], тогда |
m = inf А = 2, М = sup А = 5. |
|
|
|
|||||
|
2. |
Пусть Zo— множество |
всех |
неотрицательных |
целых |
чисел, |
тогда |
т = |
||||
— inf {pip € Zo} = |
О, М = sup {р|р € Zo) = оо. |
|
|
|
|
|
||||||
|
3. |
Пусть R — множество действительных чисел, тогда m = |
inf R = |
inf (х | лг 6 R} = |
||||||||
= |
— оо, М = sup R = оо . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4. |
Пусть А = |
{х | лг2 < 5, х € R), тогда m = inf А = Ы{лг | — - ^ с х с л / ь , х 6 R} = |
|||||||||
= |
— |
М = sup {лг | —-д/б < |
х < -д/б, |
х 6 R} = |
~ф>. |
|
|
|
|
|||
|
Точные грани множества |
А |
могут |
как |
принадлежать, так и не |
|||||||
принадлежать |
ему. Например, |
пусть А = ]а; |
Ь], тогда а = inf А (£ А, |
|||||||||
s u $ A = b(zA. |
В случае, если точная |
верхняя (нижняя) |
грань |
при |
надлежит множеству А, она совпадает с наибольшим (наименьшим)
элементом этого множества, т. е. sup/4 = |
т а х Л , iniA = mi nA. |
Например, пусть Л = {1/n | n £ N). Тогда s u p A = |
l, i nf / 4 = 0 . Точная верхняя |
грань достигается и равиа наибольшему элементу множества A (sup А — max А = 1), нижняя грань inf А £ А.
1.6. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Определение. Основные понятия. Существуют задачи, для реше ния которых действительных чисел недостаточно. Например, квад ратное уравнение х 2 + 1 = 0 не имеет решения в множестве действи тельных чисел, так как не существует действительного числа, квадрат
которого равнялся бы — 1: х 2 + 1 = |
= — 1. |
Обозначим i = -\/ — 1. Тогда формальное решение уравнения х 2 + |
|
- f a 2= 0 можно записать в следующем |
виде: Х \ ^ — ± a i . Таким |
образом, возникла необходимость расширить множество действи тельных чисел R до нового числового множества, в котором все алгебраические уравнения
а0х п + a ixn~ i + ... + ап = 0, а0, а,, ..., a„6 R
имели бы решения. Таким множеством является множество комп лексных чисел.
О п р е д е л е н и е 1.16. Комплексным числом г называется число вида х + iy, где х, у 6 R, a i удовлетворяет условию i2 = — 1.
Число х называется действительной частью комплексного числа г, а число у — мнимой частью комплексного числа г. Д ля этих чисел приняты обозначения:
х — Re(jc - f iy) = Re z, у — Im(jc - f iy) = Im z
18
(от фр. reel — действительный, im a g in a ire— мнимый).
Множество комплексных чисел обозначается С. Так как любое действительное число х можно рассматривать как комплексное число, т. е. х = х~\- О/, то множество действительных чисел содержится в
множестве комплексных чисел: R c C |
или с учетом рассмотренных |
|||
ранее числовых |
множеств |
N c Z c Q c R c C . |
||
Д ва комплексных числа |
Z\ — X\ -\-iy\ и z 2 = х 2 -f- iy2 называются |
|||
равными тогда |
и только тогда, |
когда |
Х\ — х 2, у\ = у 2, т. е. |
|
|
, . |
|
, . |
( X I — х 2, |
|
Х\ + t y 1 = * 2 |
+ iy2o ^ y i zz=y2. |
Комплексное число z — 0 -f- Oi называется нулем и обозначается 0. Оно совпадает с числом 0 множества действительных чисел:
z = х + iy — О о х = 0, у = О о х 2 + у 2 = 0.
Понятие неравенства для комплексных чисел существует лишь в смысле отрицания равенства, т. е. Z\ Ф г 2 означает, что число z t не равно числу z 2. Понятия «меньше» и «больше» для комплексных чисел не определены.
О п р е д е л е н и е 1.17. Комплексное число z = x — iy называет сопряженным комплексному числу z = х -\- iy. Вообще, два комплекс ных числа, отличающихся лишь знаком при мнимой части, назы ваются комплексно-сопряженными.
Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргу мент комплексного числа. Каждое комплексное число х -f- iy можно изображать геометрически точкой с координатами х, у на плоскости R2 (в декартовой прямоугольной системе координат), либо как вектор z, проекции которого на оси Ох и Оу соответственно равны х и у. При этом координатную плоскость Оху называют комплексной плоскостью, ось абсцисс — действительной осью, ось ординат —
мнимой осью комплексной плоскости.
Итак, каждому комплексному числу z = x - \- iy соответствует
определенная точка М(х\ у) комплексной плоскости и, наоборот, каж |
||
дой точке М(х; у) этой |
плоскости соответствует определенное число |
|
z = x - \ - i y , т. е. между |
точками плоскости R |
и элементами множе |
ства С (комплексными числами) существует взаимно однозначное |
||
соответствие. Таким образом, комплексная |
плоскость является ге |
ометрической |
моделью множества С. |
Из геометрической интерпретации множеств R и С следует, что |
|
С есть расширение R, так как множеству действительных чисел R |
|
соответствует |
множество точек прямой Ох (действительная ось), |
а множеству |
комплексных чисел С — вся плоскость R2. |
О п р е д е л е н и е 1.18. Расстояние от точки z(x\ у) до начала ко ординат называется модулем комплексного числа z (обозначается |z| или г)
|2 | = г = л / х 2 + у 2.
О п р е д е л е н и е 1.19. Аргументом комплексного числа назы вается угол ф, который образует радиус-вектор точки z(x\ у) с поло
19
жительным направлением оси Ох. |
|
|
|
||
Д ля г ф О аргумент |
г определяется |
равенствами (рис. 1.8): |
|||
cos ф — |
= |
т— .х......, |
sin ф = |
|
^----- . |
|
|zl |
V*2+ у2 |
' |
|z| |
- Ф ^ + 7 |
Модуль комплексного числа г определяется однозначно, а аргу мент — с точностью до слагаемого 2kn, k £ Z .
Значение аргумента, удовлетворяющее условию — л < ф ^ л , называется главным. Главное значение аргумента комплексного
числа обозначается arg z, а |
множество всех значений аргумента — |
A rg z: |
|
Arg z = |
a r g z - f 2kn, k £ Z . |
Если комплексные числа равны, то их модули равны, а аргументы отличаются на 2kn, k £ Z .
|
Пример 1.2. Определить, какие множества точек плоскости заданы следующими |
||||||||||||||||||||||
условиями (а, р, у, 6 6 |
R, г,, г2 6 |
R (п > |
0, г2 > |
0); а £ С): |
1) Re z |
= |
а; 2) |
а sg Re z < |
р; |
||||||||||||||
3) |
Im z |
< |
7 ; |
4) |
(a sgT Re z < |
Р)П ( 7 < |
Im z sgT 6 ); 5) |
r, sg |z | |
|
r 2; 6 ) |
а |
< |
arg z < |
p; |
|||||||||
7) |
\z — a\ |
< |
r; 8 ) n |
< |
|z — a\ |
< r 2. |
|
|
а задает прямую, параллельную |
|
|
||||||||||||
|
Р е ш е н и е . |
1. Условие Re z = а-»-лг = |
миимой |
||||||||||||||||||||
оси |
Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Условие |
а |
Re z <; р -» -а <1 лг <С р |
определяет |
бесконечную |
|
вертикальную |
|||||||||||||||
полосу |
между прямыми |
лг = |
а |
и лг = |
р, включая прямую |
лг = |
а |
(рнс. |
1.9). |
|
|
||||||||||||
|
3. |
Условие |
1ш z < |
у о у |
< |
7 задает |
полуплоскость, |
расположенную |
ниже пря |
||||||||||||||
мой у — 7 |
(рнс. |
1 . 1 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р) П (у < |
У < |
|
|
|
|||||||
|
4. |
Условия |
(а < |
Re z < |
р) П ( 7 < |
Im z < 8 )-»-(а < |
лг < |
6 ) |
задают |
||||||||||||||
прямоугольник, |
ограниченный |
прямыми лг = |
а , лг = |
р, у = у, |
у = |
8 , причем |
стороны |
||||||||||||||||
у = |
у нлт = |
р не включаютси в этот прямоугольник (рис. |
1. 1 1 ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5. |
Условие |
и < ; |z | sg гг |
определяет |
кольцо |
между |
двумя |
концентрическими |
окружностями с центром в начале координат и радиусами т\ и г2, причем внутренняя
окружность исключается из |
рассматриваемого множества точек (рис. 1 . 1 2 ). |
||||||||
6 . Условие |
а. С |
arg z < |
р |
задает бесконечный |
сектор, |
ограниченный лучами |
|||
a r g z = |
a и a r g z = |
p, |
причем |
сами |
лучн исключаются (рис. |
1.13). |
|||
7. |
Условие |
|z — а\ |
< г, |
где г £ |
R ( г > 0 ) ; а в С, |
определяет точки z, удаленные |
от точки а иа расстояние, меньшее г. Такие точки заполняют круг радиусом г с
центром в точке |
а |
(рис. 1.14). |
8 . Условие |
г, < |
\ г — а\ ^ г2 задает кольцо между концентрическими окружно |
стями радиусами г, и г2 с центрами в точке а, причем внутренняя окружность исклю чается из рассматриваемого множества точек (рис. 1.15).
Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комп лексными числами в алгебраической форме. Запись комплексного
20
Рис. 1.11 Рис. 1.12 Р и с . 1.13
t/h |
Уи |
|
о |
К |
О |
Р и с . 1.14 |
|
Р и с . 1.15 |
числа в виде х + iy называется алгебраической формой комплексного числа.
Операции над комплексными числами определяются таким обра зом, чтобы для их частного случая — действительных чисел — эти операции совпадали с известными. При выполнении алгебраиче
ских действий над комплексными числами считают всегда —а)2 = = — а. Это предположение служит основой при операциях над комплексными числами. Формально действия над комплексными числами производятся по тем же правилам, что и действия над
многочленами |
(в |
частности, |
двучленами) с действительными коэф |
фициентами, |
если |
заменить |
в результате i2 = — 1, i3 = — i, i4= 1 |
и т. д. |
|
|
|
Суммой комплексных чисел называется комплексное число, дейст |
вительная |
и мнимая части которого равны суммам соответствую |
||
щих частей |
слагаемых: |
|
|
21 |
+ |
2 2 = (*1 + iy\) + (Х2 + iyi) = (х, + х2) + i{y\ + У2)- |
(1.1) |
Разностью комплексных чисел называется комплексное число, действительная и мнимая части которого равны разностям соответ ственно действительных и мнимых частей этих чисел:
2 i — z2 = (*1 + iy о — (х 2 + iy2) = (*1 — х 2) + i{y\ — у 2). (1.2)
Заметим, что сумма или разность двух комплексных чисел может оказаться числом действительным (например, сумма комплексно
сопряженных чисел 2 + 2 = (х -f- iy) + (х — iy) = 2х 6 R.
Из формул (1.1) и (1.2) следует, что сложение (вычитание) комплексных чисел производится так же, как сложение и вычитание векторов: при сложении (вычитании) векторов их соответствующие
21
координаты складываются (вычитаются). При этом модуль разности двух комплексных чисел
Izi — 2г1 == \(х{ + iyi) — (х2 + iy2)\
= l(*i — x 2) + i(y\ — уг) I = |
V(*i — x z f + |
(У1 |
Уа)2 |
|
есть расстояние между точками z\ и z 2. |
Д ля любых г ь z 2 6 С имеет |
|||
место неравенство треугольника |
|
|
|
|
I I 2 | | — \z2\ I ^ \Z[ -f- |
I < |
\Zi | -f- |
I z2 1- |
i |
Умножение комплексных чисел z \ — X\-\- iy\ и z 2 = x 2 -\- iy2 опре делим формулой
Z ] Z 2 - ( j c i - f iy\) (x2+ iy2) = x ix 2+ x,y2i + x2y^i + y ^ i 2=
= (x\X2 — y,y2) + i(xxy 2 + x 2y i).
Заметим, что произведение двух комплексно-сопряженных, н е . равных нулю, чисел равно положительному действительному числу. В самом деле,
zz = (x + iy) {х — iy) = х 2 + xyi — xyi — y 2i2 = x 2 + у 2.
Деление комплексного числа Z\ на г 2 ф 0 вводится как действие, обратное умножению, т. е. под частным z \ / z 2 '4 г 2 ф 0 понимается комплексное число г: z 2z = z\. Частное получается_путем умножения числителя и знаменателя дроби z \ / z 2 на число z 2, комплексно-со- пряженное знаменателю:
z I _ |
х, + |
iyi _ |
(х, + |
iy\) (хг — life) |
_ |
(*1*2 + l/iУ2 ) + 1(хгУ\ — х, 1/г) _ |
г г |
хг + |
life |
(хг + |
iy2) (х2 — iy2) |
|
х% + у§ |
|
|
|
_ |
Х,х2+ У Ф |
I•Х2У 1 — Х,у2 |
|
|
|
|
|
х\ + 1/2 |
|
*2 + у\ |
Возведение комплексного числа z в степень п ( п £ N) рассматри вается как умножение г на себя п раз. Определим натуральные степени мнимой единицы i для п:
{1 V п = 4k,
i |
Y n = |
4 k + 1, , , N |
|
- 1 |
V n = |
4k + 2, |
"■ |
— i |
V n = 4k + 3, |
|
Теперь легко находить результаты возведения комплексного числа в степень с натуральным показателем.
Например: |
|
|
|
(х + |
i y f = х? + 2xyi + |
/ У = |
(х2 — у 2) + 2*1/1, |
(х + i y f = *3 + |
3x2(iy) + 3x(iy)2 + |
(iyf ~ |
(х3 — 3ху2) + (Зх2у — у 3)г. |
Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел значительно упрощается, если представить их в тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Любому комп
лексному числу z 6 С, заданному в алгебраической форме, соответ ствует точка комплексной плоскости, положение которой однозначно определяется ее декартовыми координатами х, у. Эту же точку можно однозначно определить заданием аргумента и модуля комп лексного числа z.
Действительно, пусть на комплексной плоскости выбраны тонка О и луч Ои с началом в точке О. Совместим точку О с началом декарто вой системы координат, а луч — с действительной осью. Тогда каждой
точке |
z(x; у) |
можно |
поставить |
в соответствие два числа: г — по |
||
лярный радиус, |
равный длине |
отрезка ОМ, и ф — полярный |
угол, |
|||
равный углу между полярной осью и лучом ОМ; при этом О ^ |
г < |
|||||
< оо, |
— я < ф ^ я . Числа г, ф называют полярными координатами |
|||||
точки |
М (рис. |
|
1.16). |
|
|
|
Так как |
|
|
X = ГCOS ф, У = r Sin ф, |
(1.3) |
||
то |
|
|
|
|||
z = |
х |
-\- iy = |
г cos ф -f- ir sin ф = r(cos ф -f- i sin ф). |
|
||
|
|
|||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z — r(cos ф + i sin ф). |
(1.4) |
Выражение (1.4) называется тригонометрической формой комп лексного числа. Д ля того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической с помощью формул (1.3), связывающих декартовы и полярные координаты, находят модуль
комплексного |
числа |
|
затем |
по формулам |
||
|
|
|
|
sin ф = =у— = |
у |
|
определяют аргумент ф: tg ф = у /х . |
|
|
||||
|
|
|
|
II |
I |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
У |
|
Ш ; у ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
О |
к |
|
О |
|
X |
X |
|
|
|
|
Р и с . |
1.16 |
|
Р и с . |
1.17 |
Д ля |
главного |
значения аргумента |
справедливы соотношения: |
|||
|
|
|
|
fa rc tg (у/х) |
V * > О, |
|
|
ф = |
arg z = < arctg(y/x) + л V x < 0 , |
V y ^ O , |
|||
|
|
|
|
(^arctgO//*) — л V * < 0, V y < 0 . |
||
Действительно, |
главное значение arctg(y/x) заключено между |
|||||
— я /2 |
и л /2 , |
поэтому: |
|
|
|
23
|
1) |
если точка г лежит в I или IV четверти, т. е. х > 0 |
(рис. 1.17), |
|||||||
то |
arg z = arctg(y/x); |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2) |
если |
точка г лежит во II четверти, |
т. е. Ж 0, |
у ^ О |
(рис. |
||||
1.18, |
а), то |
— я /2 < |
a r c tg ( y /* X 0 |
и |
a r g z — arctg(y/x) + |
я; |
|
|||
|
3) |
если точка г расположена в |
III |
четверти, т. е. |
|
О, |
у < О |
|||
(рис. |
1.18, |
б), то |
0 < arctg(y/x) < |
я/ 2, |
следовательно, |
a r g z = |
||||
= |
— я + arctg(y/x). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а |
|
|
5 |
|
|
|
|
Пример 1.3. Представить в тригонометрической форме комплексное число г =
— — 1 — (д/5Г и изобразить его геометрически. |
|
|
Р е ш е н и е . Д л я геометрического |
изображения комплексного числа z = — 1 — |
|
построим точку М ( — 1; — л / з ) |
и радиус-вектор |
ОМ. Точка М и вектор ОМ |
являются геометрическим изображением комплексного |
числа г. Вычислим |
1*1 = л/(“ 1)2 + ( - л/з )2 = 2.
Найдем аргумент. Так как х < 0, у < 0,, то комплексное число z лежит в III чет верти (это видно из рис. 1..19). Следовательно,
<р = arctg(<//x) — я = a rc tg ( — ~ \/з/— 1) — я = a rc tg -^З — я = —2 п /3
и тогда
Тригонометрической формой комплексно го числа удобно пользоваться при выполне нии операций умножения, деления, возведе ния в степень и извлечения корня.
Пусть
|
2 \ — |
Г\ ( c o s |
ф! + |
1 s in |
фО, |
|
|
|
Тогда |
Z 2 = |
r 2( c o s |
ф 2 + |
i |
s in |
фг). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z iZ 2 = |
r i r 2( c o s |
ф! - i- isin < p i) ( с о в ф г + ^ в т ф г ) = |
||||||
= |
r i r 2(c o s |
ф! c o s |
ф 2 — |
s in ф | |
s in |
ф 2) + |
||
-f- i (s in ф | c o s ф 2 -f- c o s |
ф 1 s in |
фг) = |
||||||
= |
n r 2(c o s |
(ф! + |
фг) + |
i |
s in (ф! |
+ |
фг)), |
24
т. е. Z1Z2 = rir2(cos(<jpi + фг) + i s in ^ i + фг)).
Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригоно метрической форме их модули перемножаются, а аргументы скла дываются.
Аналогично при z2 ф О
|
Z[ |
ri(cos ф[ + <sin ф[) |
г | (cos ф! + |
i sin ф[) (cos фг — i sin фг) |
|
||||||||
|
2г |
r2(cos фг + |
( sin фг) |
|
Гг(cos фг + |
( sin фг) (cos ф г— i sin фг) |
|
||||||
= |
Z L |
с о 5( ф , — ф г) + 15т ( ф , - ф г ) |
= |
n _ ( c o s ( |
- |
ф 2) + |
i а ш ( ф , - |
ф 2) ) . |
|||||
|
Г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
COS ф г + |
Sin"' ф 2ГгТ Т |
Итак, |
|
г ,/ г г = ^ (c o sfa i — ф2) + |
i s in ^ i — ф2)). |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
Следовательно, при делении комплексных чисел их модули де |
||||||||||||
лятся, а |
аргументы |
вычитаются. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Число z", |
где z |
= r(cos ф -f- i sin ф); z 6 С; |
rag N, |
можнорассмат |
||||||||
ривать как умножение z |
на |
себя га раз: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
z" = (г (cos ф + |
i sin ф))" = |
г" (cos гаф + i sin гаф)=*- |
|
||||||||
|
_ ^ z n = |
rn(cos иф - f i sin иф), |
\zn\ = r n, |
|
a r g z n = n a r g z . |
(1.5) |
|||||||
Из |
формулы |
(1.5) |
следует, |
что |
при г = |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
(cos ф - f i sin ф)" = |
cos «ф + |
i sin гаф. |
|
(1.6) |
Формулу (1.6) называют формулой Муавра*.
Корень ^ с т е п е н и п 6 N из комплексного числа Zo определяется как комплексное число z, которое, будучи возведено в степень п, дает число z0, т. е. z" = z0. Запишем z0, z в тригонометрической форме: Zo = Л)(cos фо + 1 sin фо), z = г(cos ф -f- i sin ф). Тогда
|
z n = г™(cos «ф + |
1 sin Пф) = т0(cos ф0 + |
1 sin фо)=*- |
|
|
=>rn = |
r0, иф = фо + |
2/гя или ф = |
k £ Z, |
г=-л/г^. |
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
г = ^ 7 0 = Щ |
Со* (po + 2fejt -I-1 sin |
*° + 2fe” ) . |
( и ) |
|
Из формулы (1.7) следует, что среди значений -у^Гразличными |
|||||
являются только п, все |
они получаются при |
k = 0 , |
га— 1. |
|
|
Исходя |
из формулы |
(1.7), можно показать, что |
геометрически |
точки, соответствующие различным значениям корня га-й степени из комплексного числа zo = r0(cos фо + t sin фо), располагаются в верши нах правильного га-угольника с центром в точке О, причем одна из
вершин (соответствующая /г = 0) имеет |
полярные координаты |
(V^o, фо/га). |
|
* Абрахам де Муавр (1667— 1754) — английский |
математик. |
25
Пример 1.4. Пусть Zi = 1 — |
, Z2 = |
1 + (. Требуется записать z t и z 2 в триго |
|||||
нометрической форме |
и найти Z |Z 2, |
Z 1/ Z 2 , |
z?, Цгг. |
|
|
||
Р е ш е н и е . Чтобы записать комплексное число z в тригонометрической форме, |
|||||||
надо найти его модуль и аргумент: |
|
|
|
|
|||
U il |
= "V1 + 3 |
= 2, a rg z, = a r c t g ( —-\/§ /l) = |
a rctg ( —" \/S ) = |
— л/3 . |
|||
Тогда |
Zi = 2(cos(— л /3) + i sin (— л/3)). |
|
|
||||
Представим гг в тригонометрической форме: |
|
|
|||||
IZ2 I = V T T T = |
л/2, a rg Z2 = |
arctg |
1 = л /4 , z2 = |
~^2(cos(n/4) + |
i sin(n/4)). |
||
Найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
z ,z 2 = |
2~\j2(cos( — n /3 + |
n /4 ) + ( sin ( — л /3 + л/4)) = |
|
|||
|
|
= 2 ~^2 (c o s(n /1 2 ) — i sin ( л / 12)), |
|
||||
|
Z| |
2 / |
|
|
|
|
|
|
—— = |
—p ( c o s ( — л /3 — л /4) + 1 sin ( — л /3 — л/4)) = |
|
2V2
=V 2 (co s(— 7л/12) — i sin(7n/12)),
|
zf = |
2 2^ c o s ^ — у я ^ |
+ i |
sin |
= |
— 2 — а - \/з, |
a |
^ |
cos |
" / I |
t » g |
+ I sin ." / * |
+ gfa. ^ |
- ^ ( c o s ^ ^ + i s t a ^ + l i » ) , * = 0, ,, 2.
В |
частности, |
z0 = ^ 2 (cos ( л / 12) + i sin ( л / 12)) |
при /г = 0, |
z, = |
-^2 (cos(3n/4) + |
|||||||
+ |
<sin(3n/4)) при k = { , |
z 2 = |
^ 2 (cos( 17 л / 12) + |
i sin (17 я / 12)) |
при |
ft = |
2, или |
z0 = |
||||
= |
1,084 + |
0,29 li, z, = — 0,794 |
+ 0,794(, z 2 = — 0,291 — 1,084(. |
|
|
|
|
|||||
|
Дадим |
геометрическую интерпретацию полученных значений л [ г ^ = |
л/l + i |
Мо |
||||||||
дули всех z jt / = |
0, 1, 2, равны ~$2 |
х , 1,122. |
Следовательно, точки z0, z u |
z2 леж ат на |
||||||||
окружности радиусом г = |
1,122 с |
центром |
в начале координат. Построив эти точки |
в декартовой системе координат Оху, заметим, что они являются вершинами пра вильного треугольника, вписанного в окружность (рис. 1 .2 0 ).
Показательная форма комплексного числа. Наиболее удобной формой комплексного числа является показательная. Чтобы полу чить ее, воспользуемся формулой Эйлера*, устанавливающей связь между показательной и тригонометрическими функциями:
e,<f = cos ф + i sin ф, ф 6 R |
(1.8) |
(е — 2,7182818...— иррациональное число).
Пусть комплексное число г записано в тригонометрической форме:
z — r(cos ф -f- i sin ф). Используя |
формулу Эйлера |
(1.8), |
получаем |
|
|
z |
- ге |
|
(1.9) |
Это |
и есть показательная форма комплексного |
числа, |
где г = |
|
= |гг|; |
ф = a r g z + 2/гл; k £ Z . |
|
|
|
* Леонард Эйлер (1707— 1 783)— выдающийся математик, механик, физик астроном, член Петербургской академии наук, большую часть жизни провел в Рос сии, по происхождению швейцарец.
26
Функция е‘ф обладает свойствами показательной функции с дейст вительным показателем, поэтому формулы умножения, деления, возведения в натуральную степень для комплексных чисел в пока зательной форме имеют простой вид.
|
|
Если |
z\ = г |
|
Z4 — г ^ \ |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Если |
г 2 ф 0, то |
|
|
|
Z\Z2 = r lr2^ ' + |
^ . |
|
|
|
|
|
|
(1.10) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Z| |
— |
Г| |
е Ч ' |
— |
Г| с '(ф|~ф;)_ |
|
|
|
|
/ | |
J | \ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
z2 |
Гг |
е'4” |
т\ |
|
|
|
’ |
|
|
|
|
\ |
• |
/ |
||
|
|
Если |
п 6 N, |
z = |
гещ, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
г п = |
(ге1ф)" = |
г"е‘"ф |
|
|
|
|
|
|
(1.12) |
|
||||
и |
|
|
|
|
|
___ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2к = д /^ = = ^ /7 е'(< р + 2*")/") |
/г = |
0,л — 1. |
|
|
|
(1.13) |
|
|||||||||||
|
|
Пример 1.5. Найти |
z z u |
z /z ,, |
-^/z" и z 12, если |
z = |
I — 1, |
г, = |
1 + - \/з < . |
|
|
|
||||||||||
|
|
Р е ш е н и е . Запишем z |
и Zi в показательной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|z | |
= V £ |
a rg z = |
a rc tg ( — 1) = |
—л /4 =>z = |
^J% е ~ ы/*, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
I zi | = 2 , |
a rg Zi = |
arctg-\/3 = n/3=>-Zi = |
5e*"/3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда по формулам (1.10) — |
(113) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
zz, = |
2~\[2 e**'2, z /z , |
= |
- ^ - e ~ i7“/l2, |
z* = |
^[z = 1 / 2 |
e ^ 6 *” |
^ , |
k = |
0 ,4 . |
|
|
|||||||||
|
|
Прн k = 0 zo = |
л[2 |
|
|
|
при k = 1,4 имеем соответственно Zi = |
'^ 2 е'7л/20, z2 = |
|
|||||||||||||
= |
' ^ 2 ei3”/4, z 3 = '-V2 ei23"/2°, z 4 = ' ^ 2 |
e‘3u/20. Точки zo, Zi, z2, z3, z4 являются вершина |
|
|||||||||||||||||||
ми праввльного пятиугольника, вписанного в окружность радиусом |
|
1,072 |
с цент |
|
||||||||||||||||||
ром |
вначалекоординат |
(рнс. |
1.21). Полярный угол точки г 0 фо = |
— л/20, |
а поляр |
|
||||||||||||||||
ные |
углы |
остальных точек получаются последовательным прибавлением |
угла |
2 л / 5 |
|
|||||||||||||||||
к |
<ро: ф* = |
фо + 2nfe/5, k = |
1,4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Найдем z 12 = |
( - ^ ) 12е_3” . Так |
как на |
основании |
формулы Эйлера |
(1.8) |
ё* = |
|
|||||||||||||
= |
cos ф + |
( sin ф, |
то |
е -3ш = |
cos Зл — i sin Зл = |
— 1 , |
и, |
следовательно, |
z 12 = |
|
||||||||||||
= |
- ( V 2 ) 12= - 6 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение уравнений в С. Рассмотрим |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
ах2 -\-b x -\-c — 0,а, Ь, с 6 R,
27