Герасимович(математический анализ)
.pdfСледовательно,
,iim»(i+1 )4 '™»((1+4-Г)4'‘=М(1+4-ГУ=е2-
В данном параграфе было рассмотрено раскрытие неопределен ностей вида 0- °о, 1 ” , оо — оо. Д ля раскрытия неопределен
ностей вида 0 °, оо° целесообразнее использовать правило Лопиталя (см. § 5.15).
4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
4.1. Н ЕП РЕРЫ ВН О СТЬ Ф УНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА М НОЖ ЕСТВЕ
Интуитивное представление о непрерывной функции обычно свя
зывают с такой |
функцией, график |
которой — непрерывная линия. |
|||
О п р е д е л е н и е |
4.1. Функция y = f(x) называется непрерывной |
||||
в точке Хо, если выполняются следующие |
три условия: |
||||
1 ) |
функция |
y = |
f(x) определена |
в точке |
хо, т. е. x Q£D(f)', |
2 ) |
существует lim f(x)\ |
|
|
||
3) |
\imf(x) = |
f(x0). |
|
|
|
|
X -*-X Q |
|
|
|
|
Если в точке хо нарушено хотя бы одно из условий 1—3, то функ ция называется разрывной в точке хо, а точка х 0 — точкой разрыва.
Если воспользоваться определением предела функции в точке по Коши, то можно дать эквивалентное определение непрерывной функ ции в точке х0 на языке «е — б».
О п р е д е л е н и е |
4.2. Ф ункция f(x) называется непрерывной в |
||||
точке хо, если для любого заданного числа е > |
О можно найти такое |
||||
число 6 > 0 |
(зависящее от г и |
х0), что для |
всех х, для |
которых |
|
\х — x o l < 6 , |
будет |
выполняться |
неравенство |
\f(x) — f(xo)\ |
или |
в |
более краткой записи: |
|
|
|
f(x) непрерывна в точке хоО- |
|
|
|
- o - V e > 0 3 6 > 0 :V x \х — х 0\ < |
6 =И/(л:) — f(x0)\ С |
г. |
|
Так как х — х й = А х — приращение |
аргумента, a f(x) — f(xо) = |
|
= |
Лу — приращение функции в точке хо, то определение |
4.2 можно |
сформулировать следующим образом: функция f(x) непрерывна в точке хо, если V 6 > О Н 6 > 0: | Лл: | < 6 =>-1Ау\ < е, т. е. Ау->- 0 при Дл:->-0. Таким образом, получаем еще одно определение непрерыв ности.
О п р е д е л е н и е 4.3. Функция f(x) называется непрерывной в точке хо, если бесконечно малому приращению аргумента Ах со
ответствует бесконечно малое приращение функции Ау, т. е. lim Ау =
Ддг-М)
=0.
Внекоторых случаях приходится пользоваться понятием одно
сторонней непрерывности.
О п р е д е л е н и е 4.4. Функция f(x), определенная в некоторой левой (правой) окрестности точки хо, называется непрерывной слева (справа) в точке хо, если существует предел слева (справа) функ ции у — f(x) и он равен f(x о).
Другими словами,
89
f(x) непрерывна справа в точке хо<>Н lim J(x) — f(x0),
f(x) непрерывна слева в точке х0<$- Н lim J(x) — f(x0).
Из определения односторонней непрерывности в точке хо следует, что функция f(x), определенная в некоторой 6 -окрестности точки хо, непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда она непрерывна
вэтой точке слева и справа.
Оп р е д е л е н и е 4.5. Ф ункция f(x), непрерывная во всех точках некоторого множества X, называется непрерывной на этом мно жестве.
Если X = [а; Ь], то для непрерывности функции на [а; b}требуется, чтобы f(x) была непрерывна во всех внутренних точках отрезка, непрерывна справа на левом его конце, т. е. в точке а, и непрерывна слева на правом его конце, т. е. в точке Ь.
4.2. ТОЧКИ РА ЗРЫ В А Ф УНКЦИ И И ИХ КЛАССИ Ф ИКА ЦИЯ
Если хотя бы одно из условий определения 4.1 не выполнено, то точка хо является точкой разрыва. Различают следующие случаи:
1) если условие 2 определения 4.1 выполнено и при этом хо£ £ D(f) или lim f{x) Ф f(xo), то точка х 0 называется точкой устранимого
Х —ь-Хо
разрыва;
2) если условие 2 определения 4.1 нарушено, т. е. не существует lim f(x), но при этом существуют два конечных односторонних предела
Х - * Х й |
|
lim f(x) = |
f{x0 — 0 ), lim f{x) = f(x0 + 0 ), не равные друг другу, то точ- |
л — л-,, — 0 |
Х ^ - Х о + О |
ка хо называется точкой разрыва первого рода, а разность f(xо + 0 )—
— f(xо — 0 ) — скачком функции f(x) в точке хо\
3)если хотя бы один из односторонних пределов равен + оо или
—оо или вообще не существует, то точка хо называется точкой раз рыва второго рода.
Таким образом, при исследовании функции на непрерывность
необходимо |
проверить |
выполнение |
условий определения 4.1. |
Если |
|||||||
хо — точка |
разрыва, |
то для |
установления |
характера |
разрыва не |
||||||
обходимо вычислить односторонние |
пределы. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin х |
|
|
|
Пример 4.1. Исследовать на непрерывность функцию f ( x ) = |
. |
|
||||||||
|
Р е ш е н и е . Область определения |
данной функции D ( \ ) = R\{0). Следовательно, |
|||||||||
JCO = |
0 — точка |
разрыва. |
Выясним |
|
характер |
этой |
точки разрыва. Так как |
||||
lim |
Sm - ■ = |
I , lim Sln x |
~ 1 и |
xo — 0 1 |
Dlf), |
то |
точка xo = 0 |
является |
точкой |
||
х_*0 —0 * |
х—0 + 0 * |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
устранимого разрыва. График этой функции дан на рис. 4.1. |
|
|
|||||||||
|
Функцию f(x) — S‘” х |
можно доопределить в точке ха = 0 таким образом, чтобы |
|||||||||
она была непрерывной на |
R. Другими |
словами, если |
положить |
|
|
||||||
|
|
|
|
s, \ |
( |
sin х |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
I |
----- |
УхфО, |
|
|
|
||
|
|
|
|
- /(*) = { |
* |
лс = 0 . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
V |
1, |
|
|
|
90
Р и с . 4.1
то |
f(x) будет непрерывна в точке хо = 0 и на |
множестве R. |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 4.2. Исследовать на непрерывность функцию f(x) — • |
j . |
|
||||||
|
Р е ш е н и е . Область |
определения |
данной функции |
D(f) = |
[х \ х — 1 # 0 ) = |
||||
= |
R\(l). Следовательно, хо = |
1 — точка |
разрыва. Выясним характер |
точки |
разрыва. |
||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
— оо, |
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|||
|
|
1—о |
х — I |
|
|
►1 + 0 х- |
|
|
|
|
Следовательно, |
х о = 1 — точка |
разры ва |
второго рода. |
График |
этой |
функции |
||
изображен на рис. |
4.2. |
|
|
|
|
|
|
|
Р и с . 4.3
Пример 4.3. Исследовать на непрерывность функцию
( |
— х |
V * < 0 , |
f(x) |
X2 + |
1 V x . 0 < x < 1, |
I2 V O l .
Ре ш е н и е . Область определения этой функции D(f) — R. Функция f(x) является составной. Составляющие ее функции непрерывны на R. Поскольку функция зада ется различными выражениями, то проверить на непрерывность надо точки «стыка»,
т.е. xi = 0 , хг = 1. Именно в этих точках может нарушаться непрерывность иссле дуемой функции.
Исследуем точку х\ = 0 . Здесь f(0) = 0. Вычислим
|
lim |
f ( x ) — lim |
( — х) = 0, |
lim f ( x ) — |
lim |
(x2 + l ) = l . |
|
|
||||
|
X-+0—0 |
|
—0 |
|
*-*-0 + 0 |
*-*-0 |
+ 0 |
|
|
|
||
Так |
как lim |
f(x), |
lim |
f(x) существуют, |
конечны, |
но |
lim f(x) ф |
lim |
f(x), |
|||
to Xi = 0 |
x-+-0—0 |
дг-*-0+ 0 |
|
|
|
|
|
|
x_*-0 —0 |
jc-*“0 + |
0 |
|
— точка |
разрыва первого рода. |
В этой точке функция имеет скачок: |
|
|||||||||
|
|
|
lim |
f(x) - - |
lim |
f(x) = |
1 — 0 |
= |
1 . |
|
|
|
|
|
|
* -►0 + |
0 |
X - + - 0 — 0 |
|
|
|
|
|
|
91
Исследуем точку х г = |
1. Имеем f( 1 ) = 1. Кроме того, |
lim f ( x ) = |
lim (JC2 + 1) = 2 Л |
|
^ m ° K , ) = ^ m °2 = 2 |
У » * * № - № - * ■ |
|
|
||||||||||||
|
ж-*-1+ 0 |
ж-*-14*О |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
В точке хг = |
1 функция |
непрерывна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Итак, f(x) разрывна в точке Х\ = |
0 (х\ £D(J)). График этой функции |
приведен на |
|||||||||||||
рнс. 4.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х] = |
Пример 4.4. |
Исследовать на |
непрерывность |
функцию |
f(x) = 9 ‘/(2~*> в точках |
|||||||||||
О, x2 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х\ = |
Р е ш е н и е . Область определения данной функции D(f) = |
R\(2). Исследуем точку |
||||||||||||||
0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(0 ) = |
9 1/2 = |
-y9 = |
З,) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim |
f(x) = |
9 ‘ /2 = |
з Л о - |
lim f(x) = |
ДО) = |
3. |
|
|
|||||
|
|
|
х~+0 —0 |
|
|
|
|
I |
дг—*-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f(x) = |
9 ,/2 = |
3 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
*-► 0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, в точке |
х, = 0 |
f(x) |
непрерывна. Рассмотрим |
теперь |
точку |
= |
2 £D(f). |
||||||||
Т ак |
как функция |
не определена |
в этой |
точке, |
то |
хг = 2 — точка |
разрыва |
функции. |
||||||||
Исследуем характер |
разрыва: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim |
f ( x ) = |
|
lim |
9 1/(2- ' ) = |
9 + “ |
= |
оо, |
|
|
|
|||
|
|
|
x-*-2 —0 |
|
x-+-2 — 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim |
f(x) = |
lim |
9 i/(2"'j;) = |
9 " “ |
= |
0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
*-►2+ 0 |
|
*-*-2+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку один из односторонних |
пределов равен |
бесконечности, то х г |
= 2 |
— точка |
разрыва второго рода. Схематический график поведения функции в окрестности точки разрыва х 2 = 2 дан на рнс. 4.4.
Пример 4.5. Исследовать на непрерывность функцию
sin — V х ф 0, |
|
|
Р е ш е н и е . Область определения!даннойо/ |
функции,=о. |
D ( f ) = R. Докажем, исполь |
зуя определение предела по Гейне, что в точке |
«стыка» х — 0 lim f(x) не существует. |
|
|
|
х~+0 |
Д л я этого построим две последовательности значений аргумента:
_ 2 ___ 2_ |
2 |
_ 2 ____2_ |
2 |
5я ’ 9и ’ |
л(1 +■ 4л) ’ |
И 7п ’ 11 л ........ |
п(3 + 4п) ’ |
Обе последовательности сходятся к числу 0. Запишем последовательностя значений
92
функции sin ( I/ JC), соответствующие построенным |
последовательностям аргумента: |
|
1, 1..... |
1, ... н — 1...... |
—1, ... |
Пределами этих последовательностей будут числа 1 н — 1 соответственно. Таким образом, построены две последовательности значений аргумента функции }(х) = = sin (1 /jc), такие, что соответствующие последовательности значений дайной функции имеют различные пределы. Следовательно, функция sin(l/jc) при *-*-0 не имеет пре дела. Согласно классификации точек разрыва, х = 0 — точка разрыва второго рода. График функции изображен на рнс. 4.5.
4.3.Д Е Й С Т В И Я НАД Н Е П РЕРЫ В Н Ы М И ФУНКЦИЯМИ .
НЕ П РЕРЫ В Н О С Т Ь ОСНОВНЫ Х ЭЛЕМ ЕН ТА РНЫ Х Ф УНКЦИЙ
Сформулируем теоремы о непрерывности функций, полученных в результате арифметических действий над непрерывными функциями, а также их композиции.
Доказательства этих теорем однотипны и основываются на опре делении непрерывности функции в точке.
Теорема 4.1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то и функции f ( x ) ± g ( x ) , f(x)g(x) непрерывны в точке х й. Если, кроме того, g (x о) ф 0 , то функция f(x)/g(x) является также непрерывной
вточке х0.
>Докажем, например, непрерывность функции f(x)g(x) в точке
хо. Из непрерывности функций f(x) и g(x) |
в точке х 0 следует, что |
|||
lim f(x) = |
f(xo), limg-(x) = g-(xo). Тогда |
|
||
X-+-X0 |
X-*-Xo |
|
|
|
|
lim f(x)g(x) = |
lim f(x) lim g(x) = |
f(x0)g(x0), |
|
|
X-+-XQ |
X -* -X O |
X -* -X O |
|
т. e. функция f(x)g(x) непрерывна в точке x0. Аналогично доказы ваются другие утверждения теоремы. <
Теорему 4.1 можно обобщить на случай конечного числа функ ций: алгебраическая сумма и произведение конечного числа функций,
непрерывных в |
точке х о , непрырывны в точке х о . |
|
|
||||||
Следствиями теоремы 4.1 являются также теоремы 4.2 и 4.3. |
|||||||||
Теорема |
4.2. М ногочлен |
|
Рп(х) = а0 + |
aix + . .. + |
а пхп, |
а* £ R, |
|||
k = 0, п, является функцией, |
непрерывной |
для любого х £ R. |
|||||||
Теорема 4.3. Всякая рациональная функция P(x)/Q(x) непре |
|||||||||
рывна |
в любой |
точке дс 6 R, для |
которой Q(x) Ф 0, где Р(х), |
Q(x) — |
|||||
многочлены. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сформулируем теорему о непрырывности сложной функции. |
|||||||||
Теорема |
4.4. Сложная функция, являю щ аяся композицией ко |
||||||||
нечного числа |
непрерывных |
в |
точке хо |
функций, |
непрерывна в |
||||
точке |
х 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
Докаж ем |
эту теорему |
для случая, |
когда сложная функция |
является композицией двух непрерывных в точке лс0 функций / и ср. Пусть у = /(м), u = <p(jt), тогда по определению сложной функции
у = f° q > o y = /(ср(л:)) = F(x).
Теорема утверждает, что если функция <p(jc) непрерывна в точке хо, а функция f(u) непрерывна в точке м0, то сложная функция F(x) непрерывна в точке хо.
93
Действительно, пусть х-*-х0. Тогда из |
непрерывности |
функции |
||||
ф(лс) следует, что lim ф(лг) = |
ф(х0) = м0, т. |
|
е. что м->ы0- Поскольку |
|||
f(u ) непрерывна в точке |
и0, |
то |
lim f(u) = |
f(u0). Но так как |
и = ф(лс), |
|
|
|
|
U—►UQ |
|
|
|
то последнее равенство |
можно |
записать |
в |
виде |
|
lim /(ф(х)) = f(ф(*0))
Х -+ Х О
ИЛИ
lim F(x) = F(xо). <\
Х -* Х о
Из определения 4.1 непрерывной функции в точке х0 и теоремы 4.4 следует, что
}imf(q>(x)) = |
f(lim<p(x)) |
|
Х - + Х о |
X — ►ДкО |
|
или в частном случае |
|
|
lim f(x) = |
f(lim х), |
1 Jll!b |
X — ►ДкО |
Х -+ Х О |
|
т. е. символы предела и непрерывной функции перестановочны. Приведем без доказательства теорему о непрерывности обратной
функции.
Теорема 4.5. Пусть функция у = f(x) определена, непрерывна и монотонна на некотором множестве X и пусть Y — множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция х = f ~ ' (у) моно тонна и непрерывна.
Теорема 4.6. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих их области определения.
> Приведем доказательство только для тригонометрически и показательной функций. Будем исходить из определения 4.3 не прерывности функции в точке х 0. Д ля функции у = sin х
lim Дм = lim(sin(jt0 + Ал:) — sin дс0) = 0.
|
|
|
Д»-й) |
М |
|
|
|
|
Для функции у — cos л: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim Ay = |
lim (cos(jc0 -j- Ax) — cos jc0) = 0. |
|
|
||
|
|
|
i i - 4 |
A x — 0 |
|
|
|
|
Отсюда, на основании теоремы 4.1, следует, что соответствующие |
||||||||
частные |
функций sinдс и cos* являютсянепрерывными |
функциями |
||||||
в |
своих естественных областяхопределения: |
функция tg * |
непре |
|||||
рывна на множестве R, за |
исключением точек Xk = n /2 |
-\-kn, |
k £ Z : |
|||||
функция |
ctg х |
непрерывна |
на множестве R, за |
исключением |
точек |
|||
Xk = |
kn, |
k £ Z . |
|
функции у — ах (а>>0, |
а Ф 1) |
|
|
|
Д ля |
показательной |
имеем |
|
|||||
|
|
lim Ау = lim (ах°+Ах — ах°) — а*“ lim ahx — ах° = |
0. |
|
||||
|
|
Ajc-*-0 |
Дх-*0 |
|
Лх-^0 |
|
|
|
Непрерывность логарифмической функции и обратных тригоно метрических функций следует из теоремы 4.5 о непрерывности об ратной функции. <
Так как основные элементарные функции, согласно теореме 4.6,
94
непрерывны на своих естественных областях определения D(f), то из теорем 4.1 — 4.6 следует, что всякая элементарная функция не прерывна во всех точках, принадлежащих ее естественной области определения.
4.4. СВОЙСТВА Ф У Н К Ц И Й , Н Е П РЕРЫ В Н Ы Х НА О Т РЕ ЗК Е
Приведем несколько теорем, характеризующих свойства непре рывных на отрезке функций.
Теорема 4.7 (Вейерштрасса*). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь\ то на этом отрезке она ограничена и достигает своих нижней и верхней граней, т. е. на нем существуют по крайней мере две точки Ci и с2 (рис. 4.6), та^ие, что
|
|
|
/(с,) = |
inf /(jc), f(c2) = |
sup f(x). |
|
|||
|
|
|
|
[о; t>] |
|
[о; t>] |
|
|
|
|
Например, функция f(x) = |
x 2 непрерывна на |
отрезке |
[— 2; 3]. Она ограничена |
|||||
на |
[— 2; |
3] (I*2! < 9) и существуют такне две точки С| = 0 |
и с2 — 3, |
принадлежащие |
|||||
отрезку |
[— 2 ; 3], |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(ci) = o = |
inf х2, |
/(с2) = 9 = |
sup х2. |
|
||
|
|
|
|
[ — 2 ; 3] |
|
|
[ - 2 : 3 ] |
|
|
|
Заметим, |
что непрерывная |
функция |
на |
открытом |
промежутке |
|||
]а\ |
Ь[ |
может быть неограниченной и, следовательно, не иметь своих |
точных нижней и верхней граней. Такой функцией является, на пример, функция t g * на интервале ] — я / 2 ; л / 2 [.
Теорема 4.8. Если функция f(x) непрерывна в точке х 0 и f(x0) ф 0, то существует такая окрестность точки хо, в которой знак функции совпадает со знаком f(x о).
Геометрическая интерпретация теоремы 4.8 дана на рис. 4.7
(случаю f(x0) > 0 соответствует рис. |
4.7, а, случаю f(x0) < 0 — |
рис. 4.7, б). |
|
а |
5 |
Например, |
функция |
/(*) = sin * непрерывна в |
точке * 0 = |
л /4 , и sin (л/4) = |
|
— ~^Г/2 > 0. Существует |
такая |
окрестность точки |
хо = л /4 , |
в которой функция |
|
sin х сохраняет |
знак, т. е. |
sin х > |
0 . |
|
|
Теорема 4.9 (Больцано** — Коши). Если функция f(x) непре
*Карл Вейерштрасс (1815— 1897) — немецкий математик.
**Бернгард Больцано (1781— 1848) — чешский математик.
95
рывна на отрезке [а; Ь] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой значение ф ункции равно нулю:
f(x):f(a)f(b) < 0 =^Нлг0 £ ]а; b\: f(xо) = 0 .
Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки A (a; f(a)) и B{b \ f(b)) графика функции f(x), соответствующие концам отрезка [а; Ь], лежат по разные стороны от оси Ох (рис. 4.8), то график функции хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ох.
Функция f(x), |
график которой представлен на рнс. 4.9, имеет три точки: x t, хг, х3, |
где f(x) = 0. |
Если f(x) непрерывна и монотонна на [а; ft],то существует един |
З а м е ч а н и е . |
|
ственная точка хо, |
такая, что f(xо) = 0 . |
|
В (Ь ;№ ) |
A(a;f(a))
Р и с . 4.8
Теорема 4.10 (о промежуточных значениях). Пусть f(x) непре рывна на отрезке [а; Ь] и f(a) = A, f(b) = В. Тогда д ля любого числа С, заключенного между А и В, найдется такая точка с 6 [а; Ь], что
Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функ
ции f(x) (рис. 4.10). Пусть f(a) = A |
и f(b) = B. Тогда прямая у = С, |
где С — любое число, заключенное |
между А и В, пересечет график |
функции по крайней мере в одной точке. Если же f(x) непрерывна и монотонна на [а; Ь\, то существует единственная точка с 6 [a; bj, такая, что f(c) = С.
Теорему 4.10 можно переформулировать так: непрерывная ф унк ция, переходя от одного значения к другому, обязательно прини
мает все промежуточные значения. |
|
В курсе |
математического анализа |
встречаются кусочно-непрерывные на |
|
отрезке [а; |
Ь} функции. |
О п р е д е л е н и е 4.6. Ф ункция f(x) |
называется кусочно-непрерывной на от резке [а; Ь], если она непрерывна во всех внутренних точках [а; Ь] за исклю чением, быть может, конечного числа точек, в которых эта функция имеет разрыв первого рода или устранимый разрыв, и, кроме того, она имеет одно сторонние пределы в точках а и Ь.
96
Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на числовой пря мой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой прямой.
Например, функция f(x ) = [х] (см. рис. 2.4) кусочно-непрерывна на любом от резке, и, следовательно, иа всей числовой прямой. (Напомним, что запись [х] обозначает целую часть числа х.) Функция [jc] в точках x = ti, n £ Z , непрерывна справа н раз рывна слева; во всех остальных точках она непрерывна как справа, так и слева.
4.5. РАВНОМ ЕРНАЯ Н Е П РЕРЫ В Н О С Т Ь ФУНКЦИИ
Из множества функций, непрерывных на числовом промежутке,
полезно выделить равномерно-непрерывные. |
|
||
О п р е д е л е н и е 4.7. |
Ф ункция f(x) |
называется |
равномерно-не |
прерывной на множестве |
f l c R , если |
для любого |
е > О найдется |
6 (e) > 0, такое, что для лю бых х\, х 2 £ D, удовлетворяющих условию
l*i — х2\ < |
6 , выполняется неравенство \f(xi) — f(x2) \ <Се. |
|||
Пример |
4.6. Д оказать, что линейная функция |
f(x) = 2х + 1 равномерно-непре |
||
рывна на R. |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . Д л я доказательства равномерной |
непрерывности данной функции |
|||
для е > 0 выберем 6 = е/2 . Тогда для |
любых х\, |
x.i £ R, таких, что |
|xi — хэ| < 6 , |
|
выполняется |
неравенство I f(xi) — [(хг)1 < |
е, т. е. | 2 xi + 1 — 2 x2 — 1 | = |
2 |xi — х2| < |
|
< 26 = е. |
|
|
|
|
Следовательно, функция f ( x ) = 2 x + |
1 равномерно-непрерывна на |
R. Это значит, |
что малые изменения аргумента влекут за собой малые изменения функции на любом подмножестве множества R (рис. 4.11).
Если f(x) равномерно-непрерывна на множестве D, то она не прерывна на множестве D. Чтобы в этом убедиться, достаточно положить xi = х, х2 = х0. Тогда из определения равномерной непре рывности функции следует определение непрерывной функции в точке х0.
Обратное утверждение не всегда справедливо. Условие, при ко тором непрерывная функция является и равномерно-непрерывной, определяется теоремой Кантора* о равномерной непрерывности.
|
|
А |
|
Р и с . 4.11 |
Р и с . 4.12 |
* |
Георг Кантор (1845— 1918) — немецкий |
математик. |
4 Зак. |
1270 |
97 |