Герасимович(математический анализ)
.pdf1 |
А, |
|
Р и с . 10.5 |
резке [а; Ь],этот отрезок разбивают на частичные отрезки, на каждом из которых функция f(x) — g(x) сохраняет знак. Например, для слу чая, изображенного на рис. 1 0 .6 , площадь заштрихованной фигуры находится по формуле
S = |
\ (fix) - g(x))dx + |
J (g(x) — f(x))dx + |
J (f(x) — g(x))dx. |
|
a |
с |
d |
Пример |
10.1. Вычислить площ адь фигуры, ограниченной косинусоидой у = cos х |
||
и осью Ох при условии 0 < х < я |
(рис. 10.7). |
|
Рис. 10.6 |
|
|
Р и с . |
10.7 |
|
Р е ш е н и е . |
Так как |
cos х > |
0 V х £ [0; я /2 ] |
иcosх < 0 V х 6 [я/2; я], то |
|
|
|
я / 2 |
я |
|
я |
s = |
Si + S i = |
^ cos xdx + | J^cos x d x | |
= |
^ |cos x\ dx. |
Поскольку
л /2
S
I"/2 |
я |
si |
cos xdx = |
sin x I = s i n --------------------------- |
S 2 Hicos x d x I = sin x\I n/2 = I sin я — sin 2 | = | — 1J = 1,
я/2
TO S = 1 + 1 = 2 .
2 4 8
|
Пример 10.2. Вычислить площ адь фигуры, ограниченной |
линиями х = 0, х = |
2, |
|||||||||
у = |
2х — х2, у = |
2“ (рис. 10.8). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Р е ш е н и е . |
Функция |
у — 2х — х2 достигает своего |
наибольшего |
значения |
на |
||||||
отрезке |
[0; |
2] при х = |
1, функция 2х > |
1 на |
отрезке [0; |
2], |
т. е. 2х > 2 х — х г при |
|||||
0 < |
х < |
2. |
Тогда требуемую |
площадь находим |
по формуле |
|
|
|
||||
|
|
|
S = J |
(2* - |
(2* - |
**))dx = |
- |
(* * - |
|[ = |
- |
- i . |
|
о
Пример |
10.3. |
Определить |
|
площадь |
S части |
круга |
х 2 + |
у 2 < |
5(* > |
0 П У ^ 0), |
||||
ограниченной |
кривыми |
у 2 = 4х, |
х 2 — 4у |
(рис. |
10.9). |
|
|
|
|
|
||||
Р е ш е н и е . |
Решив систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
У2 = |
4х, |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 + |
</2 = |
5, |
} |
|
|
|
|
|
найдем точку Л(1; 2) пересечения сжружности х 2 |
у2 = Ь (х ^ |
0 [} у ^ 0) |
и параболы |
|||||||||||
у1 = 4х. Аналогичным |
образом, |
из системы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
хг = 4уУ, 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
х2 + |
у 1 — Ь |
) |
|
|
|
|
|
|
определим |
координаты |
точки |
В |
пересечения |
окружности |
r* + |
</2 = |
5 ( х ^ О П У ^ О ) |
||||||
и параболы |
х 1 — 4у. Получим |
точку В ( 2; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д л я вычисления искомой площади |
применим формулу |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = \(f2( x ) - f t(x))dx, |
|
|
|
|
||||
е f \ |
х 2 |
|
. |
r J t e |
|
V дс 6 [0; 1], |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
|
|
|
|
1 \ |
8 |
, 1 |
|
|
2 , 5 |
. 3 |
|
|
|
|
|
|
- arcs,n Zfi)~W + T 2 - T + T arcs,n T - |
|
|
||||||||
|
Если криволинейная трапеция ограничена линией, заданной урав |
||||||||||||
нениями в параметрической форме х = |
x(t), у = |
y(t), |
где t\ < 1 |
t ^ |
U, |
||||||||
осью Ох и прямыми х = а, х = Ь, |
причем x(t\) — a, |
x(t2) = b , |
то ее |
||||||||||
площадь S при y ( t ) ^ Q вычисляется |
по формуле |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
\y{t)x'(t)dt, |
|
|
(10.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
которая |
получена из |
формулы |
( 1 0 . 1 ) |
заменой |
переменной x = |
x(t), |
|||||||
у = |
y{t), |
dx = |
x'(t)dt. |
Пределы |
tu |
t2 определяют из уравнений |
а — |
||||||
= |
x ( t i), |
b = x(t2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10.4. Найти |
площ адь эллипса |
(рис. 10.10), используя его параметри |
||||||||||
ческие уравнения |
х = a cos t , y = |
b s i n t , 0 ^ |
t ^ |
2я. |
|
|
|
|
|||||
|
Р е ш е н и е . |
Ввиду |
симметрии |
эллипса |
достаточно |
вычислить площ адь |
его |
||||||
четвертой части ОВА, расположенной |
в первом |
квадранте: |
|
|
|
|
\ s = \ y d x .
Сделаем замену переменной, воспользовавшись параметрическими уравнениями эллипса: у = b sin t, х = a cos t. Тогда d x = — a sin tdt. Если Х\ = 0, то 11 = я /2 , если Хг = а, то t г = 0. Следовательно,
а |
|
|
0 |
|
|
я /2 |
|
|
S = 4^1/dx = |
— 4ab $ sin2 tdt — |
+ 2 ab |
^ (1 — cos 2t)dt = |
|
||||
|
= |
2a b ^ t — |
sin 2 |
^ ^ |
= |
я ab. |
|
|
Отсюда при a = b — R |
получим формулу площади круга: Si = я R 2. |
осью Ох |
||||||
Пример 10.5. Вычислить |
площ адь фигуры (рис. 10.11), ограниченной |
|||||||
и одной аркой циклоиды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* - a ( < - s i n / ) 0 < / < 2 Л |
|
||||||
|
у |
= |
а(\ — cos /), |
|
|
) |
|
|
Р е ш е н и е . По формуле |
(10.3) |
имеем |
|
|
|
|
||
2л |
|
|
|
|
|
|
2л |
|
S = ^ a ( l — cos < ) e ( l — cos t)dt |
= |
a 2^ ( l — cos t)2d t — |
|s«< |
|||||
2л |
2л |
|
|
2я |
|
|
. |
|
— a 2( \ d t — 2 J cos tdt + |
J cos2 tdt) = |
a 2( (t — 2 sin t) | §"+ |
|
|||||
o |
o |
|
o |
|
|
|
V |
|
250
2л
|
4 - |
(1 + |
cos 2 t)dt^ = |
а 2 ^ 2 я + |
+ |
-i - s in 2<^ ^ = |
Зяа2. |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
10.2. В Ы Ч И С Л Е Н И Е |
П Л О Щ А ДЕЙ |
ПЛОСКИХ ФИГУР |
||||
|
|
В П О Л Я РН О Й СИСТЕМ Е КОО РДИ НАТ |
|
||||
|
Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной ли |
||||||
нией I, заданной в полярной системе координат {О, г, ф} уравнением |
|||||||
г = |
г(ф ), а ^ |
ф ^ |
р. За базовую фигуру в полярной системе коорди |
||||
нат |
принимается |
криволинейный |
сектор — фигура, |
ограниченная |
|||
линией г = |
г(ф ) и |
радиусами-векторами |
ф = а, ф = Р |
(рис. 1 0 . 1 2 ). |
При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой,
т. е. такой, что любой луч ф = |
ф*, а ^ |
ф* < 1 |
р, исходящий из полюса |
||||||||||
О, пересекает линию |
г =<г(ф) |
не более, чем в одной точке. Будем |
|||||||||||
такж е |
предполагать, |
что функция г = |
г(ф ) |
непрерывна на |
отрезке |
||||||||
Д ля |
вычисления |
площади |
криволинейного сектора |
ОАВ приме |
|||||||||
ним _ алгоритм |
составления |
интегральной |
суммы |
с |
последующим |
||||||||
предельным переходом к определенному интегралу (см. § 1 0 . 1 ). |
|||||||||||||
1. Разобьем |
отрезок |
[а; |
|3] на п |
частичных |
отрезков |
точками |
|||||||
а = фо < ф1 < ... < |
фп = |
Р- |
Обозначим Аф* = ф* — ф*_1, |
k = l, п. |
|||||||||
Проведем лучи |
ф = |
ф&, k = |
\, |
п. Тогда криволинейный сектор ОАВ |
|||||||||
разобьется на |
п |
частичных |
криволинейных |
секторов |
(рис. 10.13). |
||||||||
2. На каждом |
частичном |
отрезке |
[ф*; ф*_ i], k — l, п, |
выберем |
|||||||||
произвольным |
образом |
точку |
и найдем |
значения |
функции г(ф) |
||||||||
в этих |
точках: г* = |
r(0 *), k = l , п. |
|
|
|
|
|
||||||
3. Предположим, что на каждом из частичных отрезков [ф*—i; |
|||||||||||||
Ф*] функция г = |
л(ф) постоянна и совпадает со значением Гк = г(0 *). |
Тогда каждый частичный криволинейный сектор можно заменить круговым сектором с радиусом гк = /"(0 *) и центральным углом Дф* (см. рис. 10.13). Площадь такого кругового сектора вычисляется по формуле
За площадь S криволинейного сектора ОАВ примем площадь фигуры, состоящей из п частичных круговых секторов:
Г = г(<р)
А
0 |
U |
0 |
U |
Р и с . |
10.12 |
|
Р и с . 10.13 |
251
пп
S « ^ A S ft = ^ 1 г 2 (0*)Аф*. |
(10.4) |
*=i *=i
Приближенное равенство (10.4) тем точнее, чем меньше отрезки [ф*_ь ф*], т. е. чем больше п. П равая часть равенства (10.4) является
интегральной суммой для непрерывной функции у / - 2 (ф) на отрезке
[а; Р1-
4. За точное значение площади S криволинейного сектора ОАВ
примем предел интегральной суммы (10.4) при к = тах{Дф*} -►0: [<*;М
s = i'™ т Х Л Э Д А ф ^ |
у ^ С ф ^ ф - |
(«-►во) *=1 |
а |
Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется
по формуле |
__________________ |
|
р |
|
(10.5) |
Пример 10.6. Вычислить площ адь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a( 1 +
+cos ф) (рис. 10.14).
Ре ш е н и е . Кардиоида симметрична относительно полярной оси, следовательно, искомая площадь равиа удвоенной площади криволинейного сектора АВО . Д уга А В О описывается концом полярного радиуса г при изменении полярного угла от 0 д о 'я .
Поэтому, согласно формуле (10.5),
ЛЛ
5 = 2* |
r2dy> = а 2 ^ (I + cos q>)2dq> = |
оо
а 2^ 1 + 2 cos ф + * + c^o s 2Ф ^ _
о
|
3 |
I |
\ Iя |
3 |
|
( |
|
|
у я |
|
у ф + 2 sin ф + - J sin 29 j | o = |
|||
Пример 10.7. Вычислить площ адь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли |
||||
(.х2 + у 1)2 = а 2(х2 — у 2). |
х и у входят в исходное уравнение в четных |
|||
Р е ш е н и е . Так |
как переменные |
|||
степенях, то кривая, |
ограничиваю щая |
фигуру, |
симметрична относительно осей ко |
ординат Ох и Оу. Следовательно, для решения задачи достаточно вычислить площадь четвертой части фигуры, расположенной, например, в первом квадранте, и получен ный результат увеличить в четыре раза.
Запишем уравнение лемнискаты Бернулли в полярной системе координат. Тогда
х = г cos ф, у = г sin ф |
и уравнение |
данной кривой примет вид |
|
(г2 cos2 ф + |
л2 sin2 ф)2 = |
a 2(r2 cos2tp — л2 sin2 ф)=*-л2 = |
a2 cos 2ф |
|
|
г = а -у cos 2ф. |
|
Первому квадранту декартовой системы координат соответствует изменение |
|||
полярного угла ф от 0 до я / 4 (рис. |
10.15). Используя формулу |
(10.5), получаем |
252
в
|
л / 4 |
|
|
|
л / 4 |
S = 4 • -i- ^ a 2 cos 2фйф |
■ 2а2 j cos 2фйф = |
||||
|
о |
|
/ |
я |
о |
1 |
I " / 4 |
= |
\ |
||
= 2а2 у sin 2ф I |
a 2^ s i n - 2 -----s i n 0 j = a 2. |
||||
Пример 10.8. Вычислить |
площ адь |
фигуры, |
ограниченной окружностями г = |
=ЗлГ2а cos ф и г = За sin ф.
Ре ш е н и е . Решив совместно данные уравнения, найдем точку А пересечения окружностей:
гГ2 З^П ф 0 5 ф’Ь ^ ,») = ^ Ф= агс^ ' =
Итак, A (a rc tg “\/2; а-у/б").
Построив эти окружности (рис. 10.16), заметим, что искомая площадь S фигуры равна сумме площадей криволинейных секторов ОСА и ОВА. Д уга ОСА описывается концом полярного радиуса окружности г — За sin ф при изменении полярного угла ф
от 0 до arctg-^§! дуга ОВА — концом полярного радиуса окружности г = 3~\j2a cos ф
при изменении ф от a r c t g - ^ до л /2 . Поэтому
|
a r c t g V 2 |
л / 2 |
S = у |
^ |
9а2 sin2 ф^ф + у ^ 18а2 соз2 ф^ф = |
|
0 |
arctgV2 |
Р и с . 10.16
253
|
arctgV 2 |
|
я /2 |
|
|
|
|
9 |
о |
Г |
1 —*cos 2ф„ Г |
1 + |
cos 2ф |
, |
|
= Т |
а |
1 ------2 ~ |
^ |
Ф + 9а* J |
2 |
• ^ |
= |
|
|
О |
|
arctgVsF |
|
|
|
- ! « ■ ( » - |
^-sm 2») | ; - |
^ |
+ | . а - ( » + i - ,i„ 2») ^ |
_ |
|||
|
|
= Т |
— arct8 "'/^----^Г~) |
|
|
|
|
10.3. В Ы Ч И С Л Е Н И Е Д Л И Н Ы ДУГИ |
К РИ ВОЙ |
|
Д лина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция у = /(х) определена и непрерывна на отрезке [а; Ь\ и кривая I — график этой функции (рис. 10.17). Требуется найти длину дуги плоской кривой I, заключенной между вертикальными прямыми х = а и х = Ь.
Определим вначале, что мы будем понимать под длиной дуги АВ
плоской |
кривой I. Д ля этого |
разобьем |
отрезок [а; Ъ] |
произвольным |
|||
образом |
на п частей точками |
а = хо < |
Х\ < |
... <С х„ = |
Ь. Обозначим |
||
Axk = Xk — Xk-i, |
k — l, п. Через |
точки |
i = |
1, п, проведем верти |
|||
кальные |
прямые, |
параллельные |
оси Оу, до пересечения с кривой I. |
Тогда дуга А В разобьется на п частей. Соединив каждые две соседние
точки |
разбиения |
кривой |
I отрезками (хордами), |
получим |
ломаную |
||
A M \ M i . . M n - \ B , |
вписанную в дугу АВ. |
Обозначим |
длину |
ломаной |
|||
через |
In'. |
|
|
|
|
|
|
|
1п = \ Ш Л + |
\ Ж М 2\ + . . . + |
\Мп- х В \ = |
2 |
Ak, |
|
|
|
|
|
|
|
*=i |
|
|
где Aik — длина |
хорды, |
стягивающей дугу M k-\Mk. |
|
|
Длина ломаной является приближенным значением длины дуги А В (I « 1п). Очевидно, что если увеличивать число п точек разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрезки так, чтобы длина максимального из них стремилась к нулю, то длина вписанной ломаной стремится к длине дуги кривой АВ . Если существует конечный предел /„ при
К = max{AjCfe}-»-0 , то этот предел принимается за длину дуги I, а саму
[а; 6]
254
дугу называют спрямляемой:
п
/ = lim 2 A/ft. |
(10.6) |
Если конечный предел /„ не существует, то и длина дуги не сущест вует, а сама дуга называется неспрямляемой.
Покажем теперь, что если функция f ( x ) на отрезке [а; b} имеет
непрерывную производную f ' ( x ) , то кривая I — спрямляемая, |
и вы |
||||
ведем формулу для вычисления ее длины. |
|
|
|||
Вычислим длину стягивающей хорды Mk-iMk- Так как М к- \ { х к - й |
|||||
f ( x k - 1)), M k { X k \ |
f ( Xk) ) , т о |
|
' |
|
|
Ah = |
\M k-[Mk\ = - \/A X* + Ayl |
= ~ \ 1J |
Axk. |
|
|
По теореме Л агранж а (см. § 5.14) |
имеем |
|
|
||
|
|
|
be]*-,; |
«[. |
|
Следовательно, |
----------------- |
|
|
||
|
A l k = i \ + ( f ' ( l k ) f A x k . |
|
|
||
Подставляя полученное выражение в формулу |
(10.6), получаем |
||||
|
I = lim S |
V l + ( Г Ы 2Ахк. |
|
(Ю.7) |
|
|
*.-»о k = 1 |
|
|
|
|
В правой части формулы |
(10.7) стоит интегральная сумма для |
||||
функции у 1 + ( f ' ( x )) 2 на отрезке [а; 6 ]. Предел такой суммы |
суще |
ствует и равен определенному интегралу от.этой функции на от
резке [a; b\. |
п |
h |
I = |
litn 2 |
V 1 +(f'(lk))2Axk ш 5V l + (f'(x))2dx. |
|
* = 1 |
|
Итак, если функция f(x) имеет на отрезке [а\ Ь] непрерывную производную, то дуга А В — спрямляемая и ее длина I вычисляется по формуле
|
|
|
I = \ V 1 + (f'(x))2 ix. |
|
|
(10.8) |
|||
Пример |
10.9. Вычислить длину окружности х 2 + |
у 2 = |
R 2. |
|
|
||||
Р е ш е н и е . |
Найдем |
сначала длину |
четвертой |
части |
окружности, |
лежащей в |
|||
первом квадранте. Уравнение дуги этой окружности, лежащ ей |
в первом |
квадранте, |
|||||||
имеет вид у = ~\jR2 — х2, 0 ^ х ^ |
R. Отсюда |
|
|
|
|
||||
|
|
|
У |
' = ~ |
|
|
|
|
|
Следовательно. |
|
V я2 - * 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 , |
R |
|
|
Г |
|
„ |
|
|
я |
С |
Г ~ . |
X2 |
R d x |
|
х (К |
||||
т |
W |
1+ |
"х- |
|
|
” |
*1” |
|
255
Итак, длина всей окружности I = 2л R.
Найдем теперь длину дуги плоской кривой в случае, когда урав
нение |
кривой задано |
параметрически |
x = x(t), у = y(t), |
t £ [ t t; ^], |
||
где x(t), y(t) — непрерывные функции |
с |
непрерывными |
производ |
|||
ными, |
причем x'(t)=jt=0 V t £ [ t i; ^]- |
|
|
|
|
|
Д ля вычисления |
длины дуги |
кривой |
воспользуемся |
формулой |
||
( 1 0 .8 ), |
предварительно выполнив |
замену |
переменной: |
|
||
|
x = |
x(t)=>dx = x'(t)dt, |
y'x = y'i/x'i. |
|
||
Имеем |
|
|
|
|
|
или
|
|
(10.9) |
Пример |
10.10. Вычислить длину дуги циклоиды x = a{t — sin t), у = а(1 — cos t), |
|
0 < t < 2л |
(см. рис. |
10.12). |
Р е ш е н и е . |
На основании формулы (10.9) имеем |
0 |
0 |
0 |
t |
I 9-fr |
4а + 4а = 8а. |
= * — 4а cos у |
L = |
Если пространственная кривая задана параметрическими урав нениями x = x(t), y — y(t), z = z{t\ где x(t), y(t), z(t) —
непрерывные функции, имеющие непрерывные производные на от резке [h; /2], то длина дуги этой кривой определяется по формуле
( 10.10)
|
Пример 10.11. Вычислить длину дуги |
винтовой |
линии * = a c o s f , y = |
a s i n t , |
|
г = |
amt, 0 sg / ^ 2л. |
|
|
|
|
|
Р е ш е и и е. И з параметрических уравнений находим :х', = |
— a sin t,y i = |
а cos t, |
||
г', = |
am. Подставляя полученные значения |
в формулу |
(10.10), |
имеем |
|
Д лина дуги кривой в полярной системе координат. Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением г = г(ф) V ф 6 [а; Р]- Предположим, что г(ф) и г'(ф) непрерывны на отрезке [а; Р]. Покажем, что эту кривую можно задать параметрически. Действительно, между декартовыми и полярными координатами существует следующая зависимость:
256
X = r C O S фЛ |
|
У == г sin ф .} |
|
Принимая во внимание, что г — г(ф), |
получаем |
Х= г(фк08ф,у |
[ р]| |
У=г(ф)81Пф |
) |
Эти уравнения можно рассматривать как параметрические урав
нения кривой и для вычисления длины дуги применить |
формулу |
|||||||||||||||
(10.9). Найдем производные от х |
и у |
по |
параметру |
ф: |
|
|
||||||||||
|
1 |
= |
г: cos ф - |
r sin ф,ь |
« |
) |
2 + |
ю |
|
2 = |
г2 + |
( г ? . |
|
|
||
|
Уф = |
г ' sm ф |
г cos ф ) |
v |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 = )л1г2 + |
{г')2^ . |
|
|
|
|
|
(10.11) |
|||||
Пример 10.12. |
Вычислить длину |
кардиоиды |
г = |
а(\ + |
cos ф) |
(см. |
рис. |
10.14). |
||||||||
Р е ш е н и е . |
Изменяя полярный |
угол |
ф от |
0 |
до |
л, |
получим |
половину |
искомой |
|||||||
дуги. На |
основании формулы |
(10.11) с учетом того, |
что |
г ' = — a sin ф и |
л*-|-(л')2 = |
|||||||||||
= а 2(1 + |
cos ф)2 + |
а 2 sin2 ф = |
2а2(1 + cos ф) = |
4а2 сов2(ф/2), |
имеем |
|
|
|
||||||||
|
|
|
Я |
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I — 2 ^ -у/г2 + (r’)2d<p = |
4а ^ cos у ^ ф |
= |
8а sin |
= |
8а. |
|
|
||||||||
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется |
||||||||||||||||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = W |
1 + { f'{ x )fd x , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где у = f(x) V х 6 [а; b]. Предположим, что в этой формуле нижний предел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:
l(x) = \ ^ j \ + ( f ' ( t t f d t .
а
Согласно теореме 9.4, функция 1(х) дифференцируема, а ее про изводная определяется формулой
/ '( * ) = л / 1 + (Г (* ))2-
Отсюда дифференциал дуги dl = l'(x)dx или
d/ = V l + ( y ') 2dx.
Так как у' — dy/d x, то
dl = - y j 1 |
dx = ^ jd x 2 + dy2, |
9 Зак. 1270 |
257 |