2. Постоянный ток в проводящей среде

Основные формулы

• Плотность тока j, средняя скорость <v> упорядоченного движения носителей заряда и их концентрация n связаны соотношением

j=en<v>,

где е - элементарный заряд.

• Закон Ома в дифференциальной форме

j= γE,

где γ - удельная проводимость проводника; Е- напряженность электрического поля.

• Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме

ω=γE²,

где ω - объемная плотность тепловой мощности.

• Удельная электрическая проводимость

где е ит - заряд и масса электрона;п - концентрация электронов;<l>- средняя длина их свободного пробега;и - средняя скорость хаотического движении электронов

• Закон Видемана - Франца

где λ - теплопроводность.

• Термоэлектродвижущая сила, возникающая в термопаре,

ε = α (Т₁-Т₂) ,

где α - удельная термо-ЭДС; (Т₁-Т₂) - разность температур спаев термопары.

• Законы электролиза Фарадея. Первый закон

m=kQ,,

где m - масса вещества, выделившегося на электроде при прохождении через электролит электрического зарядаQ;k - электрохимический эквивалент вещества.

Второй закон

k=M/ (FZ),

где F - постоянная Фарадея (F=96,5 кКл/моль);М- молярная масса ионов данного вещества;Z - валентность ионов.

Объединенный закон,

где I - сила тока, проходящего через электролит;t - время, в течение которого шел ток.

• Подвижность ионов

b=<υ>/E,

где <υ> - средняя скорость упорядоченного движения ионов;Е напряженность электрического поля.

• Закон Ома в дифференциальной форме для электролитов и газов при самостоятельном разряде в области, далекой от насыщения,

j=Qn(b₊+b_-)E,

где Q-заряд иона;п- концентрация ионов;b₊иb_- - подвижности соответственно положительных и отрицательных ионов.

• Плотность тока насыщения

j_нac=Qn₀d,

где п₀- число пар ионов, создаваемых ионизатором в единице объема в единицу времени;d - расстояние между электродами.

n₀=N/(Vt), гдеN - число пар ионов, создаваемых ионизатором за времяt в пространстве между электродами;V - объем этого пространства.

Примеры решения задач

Пример 2.1.ТокI, равный 16 А, течет по проводнику длинойl, изготовленному из материала №3 таблицы 2.1(железо), диаметрd сечения проводника равен 0,6 мм,. Определить сpeднюю скорость <υ> направленного движения электронов, считая, что концентрацияn свободных электронов равна концентрациип' атомов проводника.

Решение. Средняя скорость направленного (упорядоченного) движения электронов определяется по формуле

<υ>=l/t, (1)

где t- время, в течение которого все свободные электроны, находящиеся в отрезке проводника между сечениямиI иII, пройдя через сечениеII (рис. 2.1), перенесут зарядQ=eN и создадут –ток

(2)

где е = 1,6*10^-19К - элементарный заряд;N- число электронов в отрезке проводника.

Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V можно выразить следующим образом:

N=nV=nlS, (3)

где S - площадь сечения.

По условию задачи, п=п'. Следовательно,

(4)

где N_A= 6,02*10²³к моль^-1- постоянная Авогадро;V_m- молярный объем металла;М = 55,85 - молярная масса металла из таблицы 2.1;ρ- его плотность. Для железаρ= 7,8*10³кг/м³.

Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в равенство (3) иN из формулы (3) в равенство (2), получим

Отсюда найдем

Подставив выражение l в формулу (1), сократив наt и выразив площадьS сечения проводника через диаметрd, найдем среднюю скорость направленного движения электронов:

(5)

Произведем по этой формуле вычисления:

Таблица 2.1. Характеристики материалов

№	Металл или сплав	Плотность, *103кг/м3	Молярная масса *10-3кг/моль
1	Алюминий	2,71	27
2	Дюралюминий	2,79	28
3	Железо	7,8	55,85
4	Золото	19,3	196,97
5	Инвар	8,7	114,8
6	Иридий	22,4	192,2
7	Латунь	8,6	67,3
8	Магннй	1,74	24,31
9	Медь	8,9	63,54
10	Платина	21,5	195,1
11	Свинец	11,34	207,2
12	Серебро	10,5	107,87
13	Титан	4,5	47,9
14	Цинк	7,1	65,38

Пример 2.2.В цепь источника постоянного тока с ЭДСε=6 В включен резистор сопротивлениемR=80 Ом. Определить: 1) плотность тока в соединительных проводах площадью поперечного сеченияS=2 мм²; 2) числоN электронов, проходящих через сечение проводов за времяt= 1 с. Сопротивлением источника тока и соединительных проводов пренебречь.

Решение. 1. Плотность тока по определению есть отношение силы токаIк площади поперечного сечения провода:

j=I/S. (1)

Силу тока в этой формуле выразим по закону Ома:

(2)

где R - сопротивление резистора;R₁ - сопротивление соединительных проводов;r_i - внутреннее сопротивление источника тока.

Пренебрегая сопротивлениями R_l иr_i из (2), получим

I =ε/R.

Подставив это выражение силы тока в (1), найдем

j=ε/(RS).

Произведя вычисления по этой формуле, получим j=3.75*10⁴ A/м

2. Число электронов, проходящих за время t через поперечное сечение, найдем, разделив зарядQ, протекающий за это время через сечение, на элементарный заряд

N =Q/e,

или с учетом того, что Q=It иI=ε/R,получим

.

Подставим сюда числовые значения величин и вычислим (элементарный заряд: e=1,60*10^-19Кл):

N=4,69*10¹⁷электронов.

Пример 2.3.Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объемV =375 см³и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатораS=250 см². При каком напряженииU между пластинами конденсатора сила токаI, протекающего через конденсатор, достигнет значения 2 мкА, если концентрацияn ионов обоих знаков в газе равна 5,3*10⁷см^-3. Принять подвижность ионовb₊=5,4*10^-4 м²/(В*с),b_–=7,4*10^-4м²/ (В*с).

Решение. НапряжениеU на пластинах конденсатора связано с напряженностьюЕ электрического поля между пластинами и расстояниемd между ними соотношением

U=Ed. (1)

Напряженность поля может быть найдена из выражения плотности тока

j=Qn(b₊+b_-)E,

где Q- заряд иона.

Отсюда

Расстояние d между пластинами, входящее в формулу (1), найдем из соотношения

d=V/S.

Подставив выражения Е и d в (1), получим

(2)

Проверим, дает ли правая часть полученной расчетной формулы единицу напряжения:

Подставим в формулу (2) значения величин и произведем вычисления:

Задача 2.1

Вариант №	Материал	Ток I, А	Диаметр d, мм
1	1	17,3	1,08
2	2	16,39	1,09
3	3	17,9	1,46
4	4	17,24	1,3
5	5	17,61	1,42
6	6	17,4	0,94
7	7	17,2	1,1
8	8	17,77	0,93
9	9	17,76	1,37
10	10	17,18	1,51
11	11	17,19	1,42
12	12	17,77	1,57
13	13	16,37	1,17
14	14	17,73	1,34
15	1	16,32	1,4
16	2	17,88	0,61
17	3	17,73	0,72
18	4	16,99	1,05
19	5	17,71	0,88
20	6	17,04	1,58
21	7	16,14	1,55
22	8	17,49	1,16
23	9	16,05	1,11
24	10	17,03	1,37
25	11	16,31	0,74
26	12	16,42	0,73
27	13	16,39	0,66
28	14	16,02	0,97
29	1	17,66	0,77
30	2	17,66	0,91

Задача 2.2

Вариант №	ЭДС, В	Резистор R, Ом	Сечение S, мм2	Время t, с
1	6,82	80,77	2,93	1,6
2	6,65	83,82	2,01	1,01
3	6,46	82,81	2,42	1,02
4	7,63	81,19	2,39	1,32
5	7,31	82,73	2,08	1,99
6	7,38	84,96	2,33	1,78
7	7,39	80,3	2,6	1,68
8	6,77	81,5	2,33	1,26
9	6,33	80,16	3	1,42
10	6,05	80,27	2,87	1,85
11	7,34	84,03	2,84	1,9
12	6,39	80,14	2,54	1,6
13	7,44	84,46	2,69	1,39
14	6,01	83,3	2,89	1,4
15	7,71	84,23	2,59	1,28
16	7,58	84,94	2,16	1,75
17	6,53	84,84	2,75	1,04
18	6,71	84,35	2,72	1,25
19	6,56	83,31	2,89	1,52
20	7,4	82,3	2,58	1,93
21	7,37	82,25	2,7	1,98
22	7,85	83,5	2,41	1,41
23	7,78	81,78	2,51	1,92
24	7,82	81,07	2,46	1,72
25	7,73	83,72	2,44	1,83
26	6,2	83,78	2,74	1,68
27	6,61	83,26	2,8	1,22
28	6,26	82,05	2,46	1,74
29	6,49	84,2	2,38	1,32
30	6,92	85	2,31	1,41

Задача 2.3

Вариант №	Объем V, см3	Площадь S, см2	Ток I, мкА	Концентрация n, *107см-3
1	381	258	2,31	5,59
2	385	254	2,6	5,96
3	382	253	2,68	5,83
4	390	253	2,3	5,47
5	383	252	2,48	6,06
6	379	258	2,74	6,16
7	385	254	2,88	5,96
8	388	252	2,34	5,58
9	377	250	2,38	5,32
10	390	257	2,26	5,5
11	382	253	2,66	5,49
12	383	251	2,07	5,43
13	388	259	2,22	6,01
14	386	251	2,67	6,3
15	394	254	2,05	5,91
16	386	259	2,97	5,93
17	388	259	2,1	6,23
18	375	254	2,42	5,65
19	392	252	2,7	5,86
20	390	260	2,82	5,94
21	390	258	2,32	5,52
22	380	259	2,94	6,16
23	380	254	2,2	5,65
24	384	257	2,41	6,2
25	390	258	2,94	5,7
26	378	253	2,49	5,78
27	380	258	2,84	5,6
28	392	255	2,31	6,16
29	376	250	2,16	6,14
30	392	260	2,46	5,38