§4. Классификация по нескольким признакам

В исследованиях, включающих в себя много фак­то­ров, неэффективно и не­эко­номично изучать поочередно дей­ст­вие каждого из них на результат. Та­кой способ не дает достаточной информации о возможных вза­и­мо­дей­ствиях меж­­ду соответствующими факторами. Сле­до­вательно, не­об­ходимо рас­смо­треть эксперименты, в ко­торых учи­ты­ва­ет­ся сразу несколько факторов. Для ло­гичности изложения рас­смотрим вначале слу­чай с дву­мя фак­то­ра­ми, затем с тре­мя и обобщим на бо­лее об­щий случай со многими фак­торами. Ус­ло­вим­ся, что когд­а в эксперименте действуют два фактора, то оба они мо­гут имет фиксированные (мо­дель I) или случайные (мо­дель II) уров­ни. Если один фак­тор имеет фик­си­ро­ван­ные уровни, а другой слу­чайные, то это будет при­мер смешанной модели.

Все дальнейшие рассуждения будем строить от­но­си­тель­­но модели I, а за­тем указывать необходимые из­ме­не­ния для применения полученных соотношений в слу­чае мо­де­ли II или сме­шанной. Для удобства будем поль­­зо­вать­ся теми же обозначениями, что и для клас­си­фи­каций по одному признаку (§3).

Пусть теперь два фактора А иВ имеют со­от­вет­ст­вен­ноpи qуровней свободы и пустьnнаблюдений составляют двумерную таблицу размером p ´ qтак, что все­го бу­детN= = npqнаблюдений. Тогда можно за­пи­сать на­блю­дения сле­ду­ю­щим образом:

, (6.5)

где m - общее среднее;F_i- влияние, обусловленноеi-м уровнем первого фак­тора;G_j- влияние, обусловленноеj -м уровнем второго фактора;I_ij- член, со­от­вет­ствую­щий взаимодействию, которое представляют собой от­кло­­не­ния среднего по наблюдениям в (ij)-й ячейке от сум­­мы первых трех членов в равенстве (1), аe_ija- учи­ты­­вает вариацию внутри отдельной ячейки. Пред­по­ло­жим, чтоe_ijaнор­маль­но распределено вокруг нулевого среднего с дис­пер­­си­ейs². Также предположим, что ма­те­матические ожи­да­нияF_i,G_j,I_i.,I_.jрав­ны нулю. Это ус­ловие не служит жес­т­ким огра­ни­чением, и если оно не со­­блю­дается, то к не­му мож­но пе­рей­ти или с помощью кор­ректировки других фак­то­ров, или применив спе­ци­аль­ные методы обработки экс­пе­ри­мен­тального ря­да (см.§1 и 2).

4.1. Двусторонняя классификация с повторениями

Примем для наблюдений x_ija модель I. Пользуясь то­чеч­ными обоз­на­че­ни­я­ми, как и в предыдущий раз, за­пи­шем

x_ija - x_...= (x_i..- x_...) + (x_.j.- x_...) + (x_ij.- x_i..- x_.j.+x_...) + (x_ija- x_ij.)

и, возведя обе части в квадрат, просуммировав по i, j, a, получим

(6.6)

117