§ 4. Классификация по нескольким признакам
или после переобозначения некоторых членов и приведения подобных
S = S1 + S2 + S3 + S4 .
Члены с перекрестными произведениями обращаются в нуль, как и в случае с одним фактором. Теперь Sбудет иметь (N - 1) , S1 - (p - 1), S2 - (q - 1), S4 - (N - pq) степеней свободы, поскольку они все вычислены исходя из отклонений наблюдений от различных выборочных средних. Для того чтобы в обеих частях равенства (6.6) количество степеней свободы было равным,S3 должно иметь (p - 1)(q- - 1) степеней свободы. Общее количество наблюдений при этомN = npq.
Соответственно этому получим таблицу дисперсионного анализа (табл. 6.8).
Теперь существование эффекта взаимодействияможно проверять, сравнивая соотношенияМ3 / М4 сF-распределением с (p - 1)(q - 1) и (N ‑ pq) степенями свободы. Таким же образом главные влияния, обусловленные факторамиАиВ,можно проверить при помощи соотношений соответственноМ1 / М4 иМ2 / М4. В случае модели II для проверки соотношенияМ3 / М4 сF-распределением можно использоватьF-распределение с теми же степенями свободы. Однако для проверки гипотез относительно главного влияния двух факторов соответствующие квадраты следует разделить на средний квадрат взаимодействия, а не на средний квадрат “внутри ячеек”или остаточный средний квадрат. Это одно из самых важных различий между этими моделями.
Для смешанной модели можно положить, что фактор Аимеет случайные уровни, а факторВ- фиксированные. Тогда гипотеза относительно члена, соответствующего взаимодействию между уровнями, проверяется из сравнениясоотношенияМ3 / М4 сF-распределением с (p - 1)(q -1) и(N - pq) степенями свободы. Существование эффектов слу-
чайности для фактора Апроверяется делением среднего квадратаМ1 на средний квадрат “внутри ячеек” или остаточный средний квадрат. Критерий для главного эффекта фактораВ получают, разделивМ2 на средний квадрат взаимодействия. Таким образом, критерии для проверки гипотез относительно главных эффектов в смешанной модели действуют обратно критериям для моделей I и II.
4.2. Удобные вычислительные формулы
Как и в случае с одним фактором, различные суммы, приведенные в табл. 6.8, можно выразить в формулах, удобных для выполнения вычислений. формулы приведем без вывода:
; (6.7)
; (6.8)
; (6.9)
; (6.10)
Таблица 6.8
Источник изменчивости |
Сумма квадратов |
Степени свободы |
Средние квадраты |
Влияние фактора А |
p - 1 | ||
Влияние фактора В |
q - 1 | ||
Взаимодействие АхВ |
(p-1) (q-1) | ||
Различия внутри ячеек |
N - pq | ||
Сумма |
N - 1 |
|
. (6.11)
В формулах (6.7) - (6.11) использованы обозначения: Тij - сумма наблюдений вij-й ячейке;Тi. - сумма наблюдений дляi-го уровня; Т.j - сумма наблюдений дляj‑го уровня.
Таким образом, необходимо образовать суммы внутри каждой ячейки Тijи суммы по рядамТi. и столбцам Т.j. Одновременно следует проверить равенство сумм=. При этом если количество наблюдений велико, то рекомендуется использовать персональный компьютер и, в частности, электронные таблицы.