Пособие ДМ2

Пример. Рассмотрим автомат с двумя устойчивыми состояниями, изображенный на рисунке

.

В реальных устройствах увеличение числа внутренних состояний автомата приводит к росту числа электронных схем и следовательно к уменьшению надёжности, к усложнению ремонта и т.д. Поэтому число необходимых состояний автомата стремятся уменьшить, не ограничивая его возможностей. В связи с этим важна следующая задача.

Пусть фиксированы входной и выходной алфавиты.

входной и выходной алфавиты у этих автоматов общие и су-

Автомат, который нельзя покрыть меньшим автоматом называется минимальным. Можно проверить, что отношение

Если θ сюрьективно, то морфизм называется эпиморфизмом. Если θ биективно, то морфизм называется изоморфизмом (автоматом).

2)существует биекция : ̅такая, что любая входная строка перерабатывается в одну и ту же выходную строку автоматами и ̅ с начальными состояниями и .̅ соответственно.

Например, автоматы, представленные на рисунке

2.2.3. Эквивалентные состояния автоматов

Пусть дан автомат . Требуется построить новый автомат ̅, который:

1)покрывает (возможно, даже, эквивалентен ему)

2)имеет наименьшее число состояний среди всех автоматов,

покрывающих . Считается, что функции φ и ψ всюду определены.

Далее следует определить эквивалентные друг другу состояния автомата . Затем следует склеить все эквивалентные состояния в одно.

Определение. Состояния автоматов и называются r- эквивалентными, если для любой входной строки длины r

Отношения Er и E представляют собой отношения эквивалентности. Классы эквивалентности отношения E1 являются множествами всех пар состояний, перерабатывающих каждый входной символ в фиксированный выходной символ. То

В этом равенстве легко убедиться по таблице состояний. Например, для автомата, заданного таблицей состояний:

Задача минимизации сводится к определению попарно эквивалентных состояний и последующему их склеиванию. При этом, оказывается эффективнее всего выявить в начале неэквивалентные состояния.

Вводятся функции φ* и ψ*

указывает на то, что ̅ - есть последний символ выходной строки, которую печатает автомат, начав работу из состояния s0 и считав строку ̅ длины r.

Например, для первого автомата, изображенного на рисунке ( ) при имеем:

.

2.3. Процедура минимизации конечных автоматов

Процедура минимизация основана на рассмотрении отношений эквивалентности между упорядоченными парами состояний конечного автомата.

Рассмотрим таблицу состояний автомата.

Рис. 1. Таблица состояний автомата, подлежащего минимизации.

рично, то его всегда можно восстановить по множеству тех

={(1,3)(1,5)(1,7)(1,8)(3,5)(3,7)(3,8)(5,7)(5,8)(7,8,)(2,4)(2

,6)(2,9)(4,6)(4,9)(6,9)},

={(1,2)(1,4)(1,6)(1,9)(2,3)(3,4)(3,6)(3,9)(2,5)(4,5)(5,6)(5,

Рис. 2. Минимальный автомат, покрывающий автомат с рис. 1.

Практически необязательно перечислять все пары из G(Ei) и G( ).На каждом шаге достаточно смотреть, переводит ли некоторый входai A пару (si, sj) в разные классы эквивалентности . Если да, то на следующем шагеsiи sj следует развести по разным классам.

Пример.

Рассмотрим автомат с пятью состояниями:

Следующее разбиение π2состоит из классов эквивалентности

.

Дальнейшего измельчения не просходит, ибо ν переводит каждый элемент класса эквивалентности в тот же класс. Итак, состояния s0и s2 можно склеить в одно состояние ̅ , а состояния s1и s3 – в состояние ̅ . Состояние s4 получает пер-

вое обозначение s2. Новый минимальный автомат, покрывающий исходный автомат:

2.4.Автоматные функции и эксперименты с автоматами

2.4.1.Понятие ограниченной детерминированной функ-

множества все возможных последовательностей в алфавитах Aи B соответственно.

Определение 1. Отображение : → называется детерминированной функцией, если b(t)для любого t=1,2,… однозначно определяется поa(1),a(2),…,a(t).

Функция такая, что

a(1),a(2),…,a(t)— произвольная входная последовательность.

Определение 3. Детерминированная функция : → называется ограниченно-детерминированной функцией, если у нее имеется лишь конечное число различных остаточных

матной функцией, если существует автомат, который реализует это отображение. Справедливо утверждение. Справедливо утверждение: функция является автоматной тогда и только тогда, когда она ограниченно детерминированная.

Пример: Пусть , а система канонических уравнений выглядит следующим образом:

{

Такой автомат осуществляет отображение и называется единичной задержкой.