Пособие ДМ2

∑

В частности, если последовательность конечна, т.е. , то ряд представляет собой многочлен. При определенных ограничениях, ряд будет сходиться и тогда, в неко-

торой области он будет задавать функцию

∑

Функция F(x) называется производящей функцией для заданной последовательности комбинаторных чисел {ak} относительно заданной базисной последовательности функций

.

Наиболее часто в качестве базисной рассматривается последовательность , (k = 0,1,..). Получающиеся при этом производящие функции называются обычными. Т.е. обычные производящие функции имеют вид:

∑

В комбинаторном анализе используются также экспоненциальные производящие функции

∑

Для производящих функций по аналогии со сходящимися рядами определяются операции сложения, умножения, дифференцирования, интегрирования и т.д. при этом x является действительной или комплексной переменной. При выполнении условий сходимости производящие функции являются аналитическими.

Рассмотрим ряд примеров.

1.5.2. Производящая функция для биноминальных коэффициентов

Получим производящую функцию для конечной последовательности чисел, представляющих собой различное число сочетаний изn элементов - . Известно, что

и

Эти равенства являются частными случаями более общей формулы, дающей разложение для . Запишем

в виде

Раскроем скобки в правой части этого равенства, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся. Например, запишем в виде:

а- в виде:

Видно, что в верхнюю формулу входят все размещения с повторениями, составленные из букв и по две буквы в каждом размещении, а в нижнюю формулу - размещения с повторениями из тех же букв, но состоящие из трех букв каждое. То же самое и в общем случае — после раскрытия скобок в формуле мы получим всевозможные размещения с повторениями букв и , состоящие из элементов. Приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв (тогда и букв в них будет поровну). Найдем, сколько будет членов, в которые входит букв и, соответственно, букв . Эти члены являются перестановками с повторениями, составленными из букв

ибукв . Поэтому их число равно

Отсюда вытекает, что после приведения подобных чле-

Это равенство принято называть формулой бинома Ньютона.

функции можно сравнительно просто доказать многие свойства чисел .

Пусть

Тогда

∑

В данном случае в качестве производящей функции выступает бином Ньютона .

Используя заданную производящую функцию, докажем тождество:

∑

Для этого возьмем тождество

Они эквивалентны следующему

∑(∑ ) (∑ )

Сравнивая коэффициенты при xn, получим

∑∑

1.5.3.Производящая функция для чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи – это элементы числовой последовательности, в которой каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Т.е. последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным уравнением:

и

Воспользуемся понятием производящей функции для выражения общего члена чисел Фибоначчи.

Возьмем в качестве последовательности базисных

Помножив данное выражение на x и на , получим:

∑

∑

Сложив эти два выражения имеем:

∑

∑

Следовательно

.

Отсюда получается явный вид производящей функции

Корни знаменателя определяются из уравнения

√

Разложим F(x) на элементарные дроби, т.е.

( )

Рассмотрим сумму бесконечно убывающих геометрических прогрессий

∑ ∑

1.6.Z - преобразование

1.6.1.Определение Z – преобразования

При анализе и синтезе дискретных устройств широко используется Z–преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам. Рассмотрим основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства.

Одностороннее Z-преобразование последовательностиx(n) определяется формулой:

∑

где z – комплексная переменная , а n интерпретируется как дискретное время. Из этого следует, что Z- преобразование представляет собой частный случай производящей функции в

которой в качестве базисной используется последователь-

Пример 2. Найти Z-преобразование единичного сигнала Решение. В данном случае x(u) 1, для n 0

∑

Данный ряд представляет собой бесконечную сумму убывающей геометрической последовательности знаменатель

1.6.2. Обратное преобразование

Очень важно уметь переходить не только от последовательности к ее Z – преобразованию, но и обратно от Z– преобразования к последовательности. Последний переход формально определяется соотношением

{∑

Например, рассмотрим выражение

Его можно записать в виде

1.6.3.Свойства Z-преобразования

1)Линейности

2)Задержки

где – функция единичного скачка

3)Умножения на экспоненту

4)Умножения на n

5)Опережающего сдвига

( )

6) Свертки

∑

Указанные свойства упрощают получение преобразований и их обращений.

1.6.4. Использование Z-преобразований для решения рекуррентных уравнений

В качестве примера рассмотрим рекуррентное уравнение первого порядка

с начальным условием Пусть на вход поступает последовательность (правая часть рекуррентного уравнения)

Умножаем обе части рекуррентного уравнения на величину и просуммируем по n от 0 до :

∑∑ ∑

Используя свойство задержки, имеем

Откуда

Т.к. , то То

Разложив второе слагаемое на простые дроби, получим

⁄

⁄

Вычислим обратное Z-преобразование