УП часть 1 теория авт

любое из допустимых его состояний A={a1,…am…aF};

3.Автомат конечный - автомат, у которого одновременно конечны множества входного, выходного алфавитов и алфавита состояний, т.е. Z < ∞ , A < ∞ и

W< ∞ ;

4.Автомат бесконечный - автомат, у которого бесконечны хотя бы одно из множеств входного, выходного алфавитов или алфавита состояний, т.е. Z = ∞ , или A = ∞ , или W = ∞ ;

5.Автомат без памяти (комбинационный автомат) - автомат, у которого множество состояний состоит из одного элемента, т.е. A = 1. Для такого автомата

характерно то, что функция переходов вырождается (отсутствует), а функция выходов однозначно определяет выходной символ как некоторую функцию от входного символа, т.е. W= λ(Z);

6.Автомат без входов (автономный автомат) - автомат,

укоторого множество входных символов состоит из

одного элемента Z = 1, т.е. автомат не имеет входов

или, что то же самое, состояние его входа (входной символ) имеет неизменное значение, и функционирование автомата не зависит от входных символов. В этом смысле говорят, что автономный автомат является автоматом без входов. Для таких автоматов характерно то, что следующее состояние автомата и его выходной символ однозначно определяется только состоянием автомата в данный момент времени;

7. Автомат без выхода (распознаватель) - автомат, у которого множество выходных символов состоит из одного символа. Поведение автомата без выхода можно охарактеризовать тем, как последовательность входных символов перерабатывается в после-

19

довательность внутренних состояний автомата. Иногда поведение автомата без выхода рассматривают как поведение устройства, воспринимающего вопросы и дающего на них ответы "да" или "нет";

8.Детерминированный автомат - автомат, для которого функции переходов и выходов являются всюду определенными (однозначными) функциями;

9.Недетерминированный автомат - автомат, для которого допускаются многозначные функции переходов

ивыходов, т.е. при данных входном символе и внутреннем состоянии автомат может переходить в несколько различных состояний;

10.Вероятностный автомат - автомат, в котором функции переходов и выходов являются случайными функциями. Они задаются матрицей переходных и выходных вероятностей, в соответствии с которой при входном символе будет выбираться выходной символ и следующее состояние автомата;

11.Нечеткие автоматы - автоматы, для которых функции переходов и выходов заменяют нечеткими отношениями. Нечеткие автоматы являются математическими моделями некоторых распознающих устройств и используются в задачах распознавания образов.

2.4Математические модели автоматов

Все существующие математические модели автоматов можно разделить на общие и специализированные модели, что отражает многообразие разновидностей автоматов.

К общим моделям относят модели Мили и Мура, названные по имени впервые исследовавших эти модели американских ученых G.H. Mialy и E.F. Moore, а также модель С- автомата, которая является совмещением моделей Мили и Мура.

20

Из специализированных моделей, получившей распространение в автоматике и вычислительной технике, наиболее известна и широко используется модель микропрограммного автомата, как композиция управляющего автомата и операционного автомата.

2.4.1 Модель Мили.

Закон функционирования автомата типа Мили математически задается следующей системой уравнений (2.2):

где

a(t) – внутреннее состояние автомата в момент времени t (настоящий момент времени);

z (t) – входной сигнал в момент времени t; w (t) – выходной сигнал в момент времени t;

a (t+1) - внутреннее состояние автомата в момент времени (t+1) (в следующий момент времени);

δ - функция переходов; λ - функция выходов.

Первое уравнение в (2.2) отражает тот факт, что переход автомата в следующее состояние a(t+1) осуществляется только с приходом входного сигнала (входного символа) z(t) в момент времени t. При этом, то конкретное состояние, в которое перейдет автомат в момент времени (t+1), определятся парой (am, zf), т.е. состоянием автомата a(t) и входным сигналом (символом) z(t) в момент времени t.

Второе уравнение в (2.2) отражает закономерность формирования выходного сигнала (символа) автоматом типа Мили. Из уравнения видно, что выходной сигнал формируется автоматом в тот же момент времени t, в который действует входной сигнал z(t) и только до тех пор, пока автомат не перейдет в новое состояние a(t+1). Конкретное значение вы-

21

ходного сигнала (символа) однозначно определяется парой (am, zf), т.е. состоянием автомата a(t) и входным сигналом (символом) z(t) в момент времени t. Если автомат Мили перейдет в неиспользуемое состояние a(t+1), на котором функция переходов не определена, или в устойчивое состояние, из которого не возможен выход под действием такого же входного сигнала, как и действующего в момент времени t, то и с математической, и с технической точек зрения модель Мили корректна.

Возможна, также ситуация, при которой автомат под воздействием входного сигнала z(t) должен перейти в некоторое состояние a(t+1), из которого под воздействием такого же сигнала возможен переход в другое состояние автомата. В этом случае промежуточное состояние автомата будет неустойчивым (автомат его "проскочит"), если длительность входного сигнала будет превышать время переходного процесса в автомате (т.е. время перехода автомата из одного состояния в другое). Из данных рассуждений следует, что математическая и техническая корректность модели Мили обеспечивается только в том случае, если допустить, что длительность входного сигнала столь мала, что не превосходит времени переходных процессов в автомате. Но тогда, как следует из второго уравнения (2.2), длительность выходного сигнала будет не больше длительности входного сигнала и, следовательно, выходной сигнал в автомате Мили будет таким же "коротким", как и входной сигнал.

Характерной особенностью автомата типа Мили является также и то, что он "не помнит" предшествующей последовательности своих состояний и "не знает" своих последующих действий, отдаленных более чем на один такт автоматного времени. Данная особенность характерна и для большинства разновидностей дискретных автоматов, в том числе и для автоматов типа Мура, С-автоматов и микропрограммных автоматов.

22

2.4.2 Модель Мура.

Закон функционирования автомата типа Мура математически задается следующей системой уравнений (2.3):

где

a(t) – внутреннее состояние автомата в момент времени t (настоящий момент времени);

z (t) – входной сигнал в момент времени t; w (t) – выходной сигнал в момент времени t;

a (t+1) - внутреннее состояние автомата в момент времени (t+1) (в следующий момент времени);

δ - функция переходов; λ - функция выходов.

Первое уравнение в (2.3) отражает тот факт, что переход автомата в следующее состояние a(t+1) осуществляется только с приходом входного сигнала (входного символа) z(t) в момент времени t. При этом, то конкретное состояние, в которое перейдет автомат в момент времени (t+1), определятся парой (am, zf), т.е. состоянием автомата a(t) и входным сигналом (символом) z(t) в момент времени t. Функция переходов в автомате типа Мура имеет такой же вид, как и для автомата типа Мили со всеми рассмотренными ранее особенностями математической и технической корректности модели.

Второе уравнение в (2.2) отражает закономерность формирования выходного сигнала (символа) автоматом типа Мура. Из уравнения видно, что выходной сигнал определяется только состоянием автомата в момент времени t и в явном виде не зависит от входного сигнала z(t). Соответствующий состоянию a(t) выходной сигнал в автомате Мура формируется на всем протяжении времени, пока автомат находится в состоянии a(t). В связи с данной особенностью автомата типа Мура гово-

23

рят, что данный тип автомата формирует "длинные" выходные сигналы, которые однозначно определяются тем состоянием автомата, в котором он находится в данный момент времени.

Не смотря на то, что состояние выхода автомата Мура не зависит явно от состояния входа, его можно рассматривать как частный случай автоматов Мили. Действительно, так как для автоматов Мура справедливо

Соотношение (2.5) показывает, что в автомате Мура выходной сигнал реально зависит от входного сигнала, но только действующего в предыдущий момент времени. Различие между автоматами Мура и Мили состоит в том, что в автоматах Мили выходной сигнал возникает одновременно с вызывающим его входным сигналом, а в автоматах Мура - с опозданием (задержкой) на один такт автоматного времени. Поэтому автоматы Мура можно рассматривать как автоматы Мили, имея в виду, что последовательность состояний выхода автомата Мили опережает на один такт последовательность состояний выхода автомата Мура.

В теории автоматов доказано [11], что между автоматами Мили и Мура существует взаимооднозначное соответствие: любой автомат Мили может быть преобразован в эквивалентный ему автомат Мура и наоборот.

При переходе от автомата Мура к автомату Мили число состояний автомата не меняется, тогда как при обратном переходе число состояний в автомате Мура, как правило, возрастает. Таким образом, эквивалентные между собой автоматы могут иметь различное число состояний, в связи с чем в теории автоматов возникает задача нахождения минимального (с наименьшим числом состояний) автомата в классе эквивалентных между собой автоматов.

24

Существование для любого абстрактного автомата эквивалентного ему абстрактного автомата с минимальным числом внутренних состояний впервые было доказано Муром.

2.4.3 Модель совмещенного автомата (С-автомата)

Модель совмещенного автомата представляет собой комбинацию моделей Мили и Мура. Совмещенный автомат позволяет одновременно формировать выходные сигналы как "короткие", так и "длинные".

Абстрактный С-автомат - математическая модель дискретного устройства, для которого заданы следующие параметры:

Абстрактный С-автомат можно представить в виде устройства с одним входом, на который поступают сигналы из входного алфавита X, и двумя выходами, на которых появляются сигналы из выходных алфавитов Y и U (рис.2.2).

Отличие С-автомата от моделей Мили и Мура состоит в том, что он одновременно реализует две функции выходов l1 и

25

l2, каждая из которых характерна для этих моделей в отдельности. Этот автомат можно описать следующей системой уравнений:

ìq (t+1) = d (q(t), x(t));

Выходной сигнал u=l2(qs) выделяется все время, пока автомат находится в состоянии qs. Выходной сигнал y=l1(qs, xn) выдается во время действия входного сигнала xn при нахождении автомата в состоянии qs. От С-автомата легко перейти к автоматам Мили или Мура (с учетом возможных сдвигов во времени на один такт), так же как возможна трансформация автомата Мили в автомат Мура, и наоборот.

Рис. 2.2 Модель совмещенного автомата с одним входом и двумя выходами (С-автомат)

26

2.4.4 Модель микропрограммного автомата

Принцип функционирования микропрограммного автомата (МП-автомат) удобно рассматривать во взаимодействии с управляемыми им функциональными блоками (ФБ) [5]. При этом среди ФБ целесообразно выделить два типа блоков: операторные (ОФБ) и логические (ЛФБ). МА-автомат вырабатывает последовательность выходных сигналов (воздействий) zai и zpj, которые управляют работой ОФБ и ЛФБ.

При воздействии на ЛФБj им вырабатывается одно из двух возможных значений проверяемого параметра pj, которое поступает на вход микропрограммного автомата. Следовательно, на вход pj воздействие может поступить лишь в том случае, если имеется воздействие на выходе zpj. Поэтому все входы МП-автомата разделяют на две группы: внешние r1,…,rk и внутренние p1,…,pm. Выходы zp1,…,zpm можно назвать внутренними выходами, а za1,…,zak - внешними.

27

Наличие зависимости поступления воздействий на внутренние входы МП-автомата от его внутренних выходных воздействий является одной из основных особенностей МПавтомата. Второй особенностью является то, что при неизменном состоянии внешнего входа автомат вырабатывает последовательность сигналов на основных выходах.

Примем, что Q={q1,...,qn} множество внутренних состояний МП - автомата. Тогда его закон функционирования

Z p(t) = λ2((q(t)).

Соотношение (2.7) задает МП - автомат, который соответствует модели Мили, а соотношение (2.8) - соответствует модели Мура.

Глава 3 Структурные модели первого уровня абстрактных автоматов

Первый уровень структурной детализации автоматов может быть получен на основе рассмотренной формальной классификации разновидностей автоматов и их математических моделей.

3.1.Структурная модель автомата Мили

Вструктурной теории автомат представляется в виде совокупности некоторых элементарных автоматов, соединенных определенным образом.

Структурная модель первого уровня автомата Мили с учетом (2.2) может быть представлена в виде совокупности

28

комбинационных автоматов (КА1 и КА2) и автомата с памятью (кратко, памяти) следующим образом (рис. 3.1). Комбинационный автомат КА1 реализует функцию выходов, а комбинационный автомат КА2 совместно с памятью - функцию переходов.

λ (a(t),z(t))

КА2

δ (a(t),z(t))

память

Рис. 3.1 Структурная модель первого уровня автомата типа Мили

Задачей автомата с памятью (памяти) является запоминание на один такт автоматного времени внутреннего состояния автомата. Память состоит из элементарных элементов памяти с числом внутренних состояний не менее двух. Физическая реализация элементов памяти может быть различной, но они должны обеспечивать запоминание (фиксацию) воздействия, которое было на их входе в предыдущем автоматном такте. В частном случае в качестве элементов памяти могут применяться элементы задержки, которые формируют с запаздыванием на своем выходе воздействия, поданные на их вход в предшествующем такте автоматного времени.

Использовать элементы задержки не всегда удобно или возможно. Поэтому были разработаны более сложные (по сравнению с элементами задержки) элементарные автоматы с

двумя устойчивыми состояниями, которые получили название триггеры.

3.2. Структурная модель автомата Мура

Структурная модель первого уровня автомата Мура с учетом (2.3) может быть представлена в виде совокупности комбинационных автоматов (КА1 и КА2) и автомата с памятью (кратко, памяти) следующим образом (рис. 3.2).

Комбинационный автомат КА1 реализует функцию выходов, а комбинационный автомат КА2 совместно с памятью - функцию переходов.

Рис. 3.2 Структурная модель первого уровня автомата типа Мура

Память может быть реализована различными способами, но ее задача такая же, как и для автомата типа Мили.

Особенность структурной модели автомата типа Мура отражает специфику математической модели, а именно, неявную зависимость выходного сигнала (символа) от входного сигнала (символа).

3.3 Структурная модель С - автомата

Структурная модель первого уровня С - автомата с учетом (2.6) может быть представлена в виде совокупности комбинационных автоматов (КА1, КА2 и КА3) и автомата с памятью (кратко, памяти) следующим образом (рис. 3.3). Комбинационный автомат КА1 реализует функцию выходов первого типа u(t)=λ1(a(t)), комбинационный автомат КА2 - функцию выходов второго типа w(t)=λ2 (a(t),z(t)), а комбинационный автомат КА3 совместно с памятью - функцию переходов а(t+1)= =δ (a(t),z(t)).

Рис. 3.3 Структурная модель первого уровня C - автомата

31

3.4 Структурная модель микропрограммного автомата

При описании работы широкого класса дискретных систем, в том числе и микропрограммных автоматов, стало уже классическим их представление в виде композиции управляющего автомата (УА) и операционного автомата (ОА) (рис. 3.4).

Рис.3.4 Структурная модель первого уровня микропрограммного автомата.

Операционный автомат выполняет преобразование входных слов информации (двоичных векторов), поступающей на его входы γ. Такими словами могут быть: слагаемые или операнды для какой-либо арифметической операции, множимое и множитель для умножения и т.п. Результатом преобразования, реализуемого операционным автоматом, является информация, которая формируется на выходах β.

Задачей управляющего автомата является выработка распределённой во времени последовательности управляющих сигналов yi, под воздействием которых в операционном автомате выполняется некоторая операция.

Элементарный неделимый акт обработки информации в операционном автомате, происходящий в течение одного такта

32

автоматного времени, называют микрооперацией (yi). Каждая микрооперация возбуждается соответствующим сигналом yi, причем, если микрооперация выполняется, то yi=1, а если нет,

то yi=0.

Совокупность микроопераций, выполняемых одновременно за один такт автоматного времени, называется микрокомандой Yj. Для задания порядка следования микрокоманд вводятся и формируются специальные переменные, которые называют либо логическими условиями, либо осведомительными сигналами xm.

Проверка логического условия в каждом такте работы управляющего автомата однозначно определяет микрокоманду, реализуемую в следующем такте.

Таким образом, совокупность микрокоманд и функции переходов образует микропрограмму.

Операционный автомат, как правило, является комбинационным автоматом, управляющий автомат – всегда последовательностный автомат, следовательно, с памятью.

Глава 4. Способы задания абстрактных и структурных автоматов.

Взависимости от способа задания функцией переходов

ивыходов (δ и λ) в настоящее время выделяют два класса языков - начальные языки и стандартные, или автоматные языки, которые используют для задания (описания) абстрактных автоматов [12].

Вначальных языках автомат описывается на поведенческом уровне, т.е. функции переходов и выходов обычно в явном виде не заданы. Поведение автомата описывается в терминах входных и выходных последовательностей, реализуемых операторов (отображений) или управляющих последовательностей сигналов, воздействующих на операционный автомат.

Вавтоматных языках поведение автомата задается путем явного задания функций переходов и выходов.

Для описания, синтеза, анализа структурных автоматов широко используется язык (математический аппарат) алгебры логики и язык временных диаграмм.

4.1Начальные языки

4.1.1Язык регулярных выражений алгебры событий

Рассмотрим кратко язык регулярных выражений алгебры событий. Для заданного конечного множества входных букв X={x1...xn} регулярное выражение задается следующим образом. Для построения языка регулярных выражений используется три операции над событиями (две бинарных и одна унарная):

1)A B − объединение (дизъюнкция);

2)AB − умножение (конкатенация);

3){A} − итерация (обозначается также A*). Выражение, построенное из букв алфавита X и из сим-

волов операций объединения, умножения и итерации с использованием соответствующим образом расставленных скобок, называется регулярным выражением в алфавите X. Всякое регулярное выражение R определяет некоторое событие S (S получается в результате выполнения всех операций, входящих в выражение R). События, определяемые таким образом, называется регулярными событиями над алфавитом X. Другими словами, регулярным событием называется событие, полученное из элементарных событий (однобуквенных слов xi) применением конечного числа раз операций дизъюнкции, умножения и итерации. Например, в алфавите из трех букв x, y, z регулярное выражение x{x y z} (y z) задает регулярное событие из всех слов, которые начинаются буквой x и заканчиваются буквой y или z.

Пусть необходимо описать автомат, выдающий сигнал ω1 всякий раз, когда происходит изменение входной буквы с x1 на x2. Другими словами, сигнал ω1 должен выдаваться в ответ

на любые входные последовательности, кончающиеся последовательностью x1x2. Фраза «любые входные последовательности» формализуется всеобщим, или универсальным, событием, состоящим из всех возможных слов в алфавите x1x2. Такое событие записывается как {x1 x2}. Тогда событие S1, в ответ на которое должен выдаваться сигнал ω1, будет описываться регулярным выражением: S1/ω1={x1 x2} x1x2.

4.1.2Язык логических схем

В1953 г. А.А. Ляпунов предложил записывать алгоритмы в виде конечной строчки, состоящей из символов операторов, логических условий и верхних и нижних стрелок, которым приписаны натуральные числа.

Порядок выполнения операций в автомате определяется

программой (или микропрограммой), представляющей собой совокупность микроопераций и логических условий.

Под микрооперацией обычно понимается элементарный процесс переработки информации в одной из частей автомата, происходящий за время такта работы автомата. При этом устройство управления вырабатывает управляющие сигналы, ко-

торые обозначим символом V={v1,v2...vn}. Ход выполнения микроопераций может нарушаться в зависимости от условий,

задаваемых множеством Z={z1,z2...z3}.

Запись алгоритма, выполненная с учетом вышеизло-

женного, называется логической схемой алгоритма (ЛСА).

Логические схемы алгоритмов удовлетворяют следующим условиям:

1) содержат один начальный (vn) и один конечный оператор (vk);

2) перед оператором vn и после оператора vk стрелок быть не должно;

3) вслед за каждым логическим условием всегда стоит верхняя стрелка;

4) не существует двух одинаковых (с одинаковыми цифрами) нижних стрелок;

35

5)для каждой нижней стрелки должна быть, по крайней мере, одна соответствующая ей (с одинаковой цифрой) верхняя стрелка;

6)для каждой верхней стрелки должна быть точно одна соответствующая ей (с одинаковой цифрой) ниж-

няя стрелка.

Описание поведения автомата с помощью ЛСА поясним на следующем примере:

Эта ЛСА имеет операторы начала и конца (vn и vk), пять операторов (v1÷v5) и три логических условия (z1, z2, z3). Начальному оператору соответствует некоторое начальное состояние автомата, при котором никакие микрооперации не выполняются. Если в начальном состоянии на первый вход устройства придет сигнал, равный единице (z1=1), то устройство перейдет в новое состояние, в котором выполняется оператор v1 - первый справа после логического условия z1, а затем проверяется логическое условие z2. Если же z1=0, то

1

выходим по верхней стрелке − и входим по нижней стрелке с той же цифрой на проверку логического условия z2, минуя выполнение оператора v1. Если же z2=1, то выполняются операторы v2 и v3 и проверяется условие z3; если z3=0, то оператор v4 не выполняется, происходит переход к оператору v5. После выполнения оператора v5 происходит переход к конечному оператору, т.е. работа дискретного устройства заканчивается.

4.1.3 Язык граф – схем алгоритмов

Другой разновидностью языка, позволяющего описывать логические схемы алгоритмов, является язык граф-схем алгоритмов (ГСА). Граф-схема алгоритма − ориентированный связный граф, содержащий одну начальную вершину, произ-

36

вольное число условных и операторных вершин и одну конечную вершину.

а), б) - начальная и конечная вершины; в) - операторная вершина; г) - условная вершина.

Рис. 4.1 Графическое представление вершин ГСА.

Конечная, операторная и условная вершины имеют по одному входу, начальная вершина входов не имеет. Начальная и операторная вершины имеют по одному выходу. Конечная вершина выходов не имеет. Условная вершина имеет два выхода, помеченных символами 1 и 0. Граф-схема алгоритма удовлетворяет следующим условиям:

1)входы и выходы вершин соединяются друг с другом с помощью дуг, направленных всегда от выхода ко входу;

2)каждый выход соединен только с одним входом;

3)любой вход соединяется, по крайней мере, с одним выходом;

4)любая вершина графа лежит, по крайней мере, на одном пути из начальной к конечной вершине;

5)в каждой условной вершине записывается один из элемен-

тов множества логических условий Z={z1...zl}, разрешается в различных условных вершинах записывать одинаковые элементы множества Z;

6)в каждой операторной вершине записывается один из эле-

ментов множества операторов V={v1...vt}, разрешается в различных операторных вершинах запись одинаковых элементов множества V.

37