![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Принципы системного подхода
- •Принятие решений в условиях неопределенности
- •Критерий Гурвица
- •Теория многомерной полезности
- •1. Составные части системного анализа, основные определения.
- •4. Экспертные методы выбора решений.
- •2. Основные понятия исследования операций
- •3. Критерий Лапласа
- •Мера Шеннона, как обобщение меры Хартли для неравновероятных событий.
- •1 Задача принятия оптимальных решений
- •2 Задача линейного программирования
- •3 Задача нелинейного программирования
- •4 Задача стохастического программирования
- •Принятие решений в условиях риска
- •Критерий предельного уровня.
- •Критерий наиболее вероятного исхода.
- •Методология принятия решений в условиях риска и неопределенности. Матрица решений
- •Критерий Сэвиджа
- •Основные определения теории нечетких множеств
- •Метод анализа иерархий
-
Теория многомерной полезности
Теория многомерной полезности позволяет для задач в условиях риска и неопределенности получить функцию многомерной полезности, максимальное значение которой соответствует наиболее предпочтительному варианту. Многомерная функция полезности обычно получается как аддитивная или мультипликативная комбинация одномерных функций, которые строятся на основании опроса экспертов и позволяют провести ранжирование возможных исходов без взаимного сравнения альтернатив. При этом делается допущение о взаимной независимости критериев по полезности. Процедура построения функции полезности требует привлечения значительных объемов информации и является достаточно трудоемкой. Достоинством этого подхода является возможность оценки любого количества альтернативных вариантов с использованием полученной функции. В случае неустойчивой исходной информации применение методов теории полезности становится малоэффективным.
В общем случае полезность каждого варианта зависит от его оценок по многим частным критериям. Необходимость учета этого обстоятельства привела к созданию аксиоматической теории многомерной полезности (Multi-Attribute Utility Theory — MAUT), существенный вклад в построение которой внесли Р. Кини, Г. Рай- фа, П. Фишберн (США).
Теория опирается на формальные допущения (аксиомы), характеризующие предпочтения ЛПР и задающие определенный вид функции полезности. Предложены разные системы таких аксиом. Представим одну из наиболее известных аксиоматик многомерной полезности, которая включает в себя аксиомы, аналогичные используемым в теории одномерной полезности, и ряд дополнительных аксиом, устанавливающих независимость предпочтений ЛПР.
МП1.
Аксиома полной сравнимости.
При сравнении любых двух вариантоввыполняется
одно и только одно бинарное отношение
между полезностями вариантов
либо
равенство
,
либо строгий порядок
или
МП2. Аксиома транзитивности. Отношения равенства и строгого порядка между полезностями вариантов транзитивны:
МП3.
Аксиома растворимости.
Для любых вариантов
таких,
что
найдется
такая вероятность
р,
что полезности варианта
и
простой лотереи
равны:
МП4.
Аксиома
Архимеда.
Для любых вариантов
таких, что
|,
найдутся вероятности
р
и
q
такие,
что полезности вариантаи
простых лотерей
удовлетворяют
неравенствам
таких,
что
найдется
такая вероятность
р, что полезности
простых лотерей
и
при
любом варианте
удовлетворяют
неравенству
МП6.
Аксиома
независимости по полезности.
Для любых простых лотерейтаких,
что
,
найдется такая вероятность
р,
что полезности составных лотерей
и
при
любом варианте
удовлетворяют
неравенству
Аксиомы МП1 и МП2 совпадают с аксиомами ОП1 и ОП2. Аксиомы МПЗ и МП4 в совокупности аналогичны аксиомам ОПЗ и ОП4. Аксиомы независимости по предпочтению МП5 и полезности МП6 означают, что на результаты сравнения двух конкретных вариантов или лотерей не влияет присутствие каких-либо третьих вариантов. На критериальном языке это звучит так: предпочтительность вариантов и лотерей, которые различаются лишь значениями оценок по отдельным частным критериям, не зависит от одинаковых фиксированных значений оценок по остальным частным критериям.
Доказано, что при
выполнении аксиом МП1 — МП6 существует
действительная
многомерная функцияполезности,
заданная на множестве вариантов
в
виде полилинейной функции
Здесь—
полезность оценки
варианта
по
q-му
частному критерию
удовлетворяющая
условию нормировки
причем
худшая
и
лучшая
оценка по шкале критерия
частный
шкалирующий параметр, который определяется
значением функции полезности
Общая шкалирующая константа
находится
из характеристического уравнения
Прифункция
полезности
приобретает
аддитивную форму
а
при
мультипликативную
форму
При
к =
0 мультипликативная функция полезности
(15.5) сводится к аддитивной функции
(15.4). Как и в одномерном случае,
вариантпредпочтительнее
для ЛПР варианта
тогда
и только тогда, когда
варианты
эквивалентны для ЛПР
На практике
нахождение численных значений шкалирующих
константи
конкретного выражения для функции
многомерной полезности сопряжено
со значительными трудностями. Это
связано с большими расхождениями,
которые может допускать ЛПР при выражении
своих предпочтений.