Фермент-субстратная реакция Михаэлиса-Ментен

Классическим примером является модель базовой ферментативной реакции, предложенная Михаэлисом и Ментен в 1913 г.

Схема реакции может быть представлена в виде:

E + S ES, ES P + E(6.6)

Схема означает, что субстрат S соединяется с ферментом E в комплекс ES, в котором происходит химическое превращение, и который затем распадается на фермент E и продукт P. По закону действующих масс, скорость реакции пропорциональна произведению концентраций. Обозначив концентрации реагентов малыми буквами:

s=[S], e=[E], c=[ES], p=[P],

получим систему уравнений:

(6.7)

В системе (6.7.) учтены следующие процессы:

•         Субстрат S расходуется, образуя комплекс ES (бимолекулярная реакция), и его концентрация увеличивается при распаде комплекса;

•         Фермент E расходуется на образование комплекса ES, его концентрация увеличивается при распаде комплекса.

•         Комплекс ES образуется из фермента E и субстрата S (бимолекулярная реакция) и распадается на субстрат S и фермент E.

•         Продукт P образуется при распаде комплекса.

Для полной математической формулировки задачи Коши необходимо задать начальные условия:

s₀(0)=s₀, e(0)=e₀, c(0)=0, p(0)=0. (6.8)

Уравнения (6.7) не являются независимыми. Кроме того, последнее уравнение отделяется от первых трех. Если система первых трех уравнений решена, концентрация продукта может быть рассчитана по формуле:

В соответствии со схемой реакций (6.6-6.7) общее количество фермента, свободного и связанного в комплекс, сохраняется:

е(t) + с(t) = e₀.

Это условие позволяет одно из дифференциальных уравнений системы (6.7) заменить алгебраическим, и модель сводится к двум дифференциальным уравнениям:

(6.9)

c начальными условиями: s₀(0)=s₀ , c(0)=0.

Введем безразмерные переменные и параметры:

(6.10)

Запишем уравнения (6.9) в безразмерном виде:

(6.11)

Из (6.10) следует, что (К - l)>0.

Поскольку реакция превращения фермент-субстратного комплекса необратима, уже из схемы реакций (6.6) ясно, что с течением времени весь субстрат будет превращен в продукт, и в стационарном состоянии концентрации и субстрата и комплекса станут равны нулю: x=0, y=0.

Систему (6.7) нельзя решить аналитически. Проанализируем качественно, как ведут себя x(t) и y(t).

Вблизи t=0 dx/dt<0. Это означает, что x уменьшается от x=1. В то же время dy/dt>0, y растет от y=0 до величины y=x/(x+K), при которой правая часть уравнения для dy/dt обращается в нуль. После этого величина y будет уменьшаться до нуля. Таким образом, концентрация фермент-субстратного комплекса y проходит через максимум. В это время величина x (концентрация субстрата) монотонно уменьшается. Относительная концентрация свободного фермента e/e₀ сначала убывает а затем снова возрастает до величины e/e₀=1, поскольку с течением времени субстрат исчерпывается, и все меньшая доля фермента оказывается связанной. Кинетические кривые изображены на рис. 6.2.

 

 

Рис. 6.2. Кинетика изменения безразмерных переменных в уравнении Михаэлиса-Ментен. а – с учетом области переходных процессов на малых временах (полная система 6.11). б – без учета области переходных процессов (редуцированная система 6.12)

 

Предположим, что концентрация субстрата значительно превышает концентрацию фермента: s₀>>e₀. Тогда из соотношений (6.10) следует, что e<<1. Если условия Теоремы Тихонова выполняются (для уравнений Михаэлиса-Ментен это можно показать), мы имеем право заменить второе из уравнений (6.11) алгебраическим и найти «квазистационарную концентрацию» фермент-субстратного комплекса:

. (6.12)

По терминологии Тихонова, мы получим вырожденную систему:

(6.13)

Подставив выражение для y в дифференциальное уравнение для x, получим:

.

В размерном виде это – классическая формула Михаэлиса-Ментен для кинетики изменения субстрата в ферментативной реакции:

. (6.14)

Таким образом, формула (6.14) верно отражает изменение концентрации субстрата, но ничего не может сказать об изменении концентраций свободного фермента и фермент-субстратного комплекса, которые на малых временах ведут себя немонотонно (см. рис. 6.2).

Величина K_m называется константой Михаэлиса и имеет размерность концентрации. При s<K_m скорость пропорциональна концентрации: -m₀s/K_m. Она соответствует концентрации субстрата, при которой скорость равна половине максимальной. Максимальная скорость ферментативной реакции m₀=k₂e₀ и зависит линейно от константы скорости стадии распада ферментативного комплекса, которую называют лимитирующей стадией.

В эксперименте для оценки параметров ферментативной реакции используют кривую зависимости скорости реакции от концентрации субстрата (рис.6.3, формула 6.14)

В ферментативных реакциях возможны гораздо более сложные типы динамического поведения: два или несколько устойчивых стационарных состояния, автоколебания, квазистохастические режимы. Эти типы поведения мы рассмотрим в следующих лекциях. Они связаны с изменением характера фазового портрета системы, который содержит не одну стационарную точку, как это мы видели в лекциях 4, 5, а носить более сложный характер. Для того, чтобы понять, как возможны такие усложнения в поведении системы, рассмотрим понятие бифуркации.